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2 二次函数的图象(第1课时)
课堂精要·梳理内容
| 二次函数 | $y=x^2$ | $y=-x^2$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 图象 | | |
| 顶点坐标 | | |
| 对称轴 | 图1 | |
| 开口方向 | | |
| 增减性 | | |
| 最值 | | |
课堂精要·梳理内容
| 二次函数 | $y=x^2$ | $y=-x^2$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 图象 | | |
| 顶点坐标 | | |
| 对称轴 | 图1 | |
| 开口方向 | | |
| 增减性 | | |
| 最值 | | |
答案
| 二次函数 | $y=x^2$ | $y=-x^2$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 图象 |
| 
|| 顶点坐标 | $(0,0)$ | $(0,0)$ |
| 对称轴 | $y$轴 | $y$轴 |
| 开口方向 | 开口向上 | 开口向下 |
| 增减性 | 当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小 | 当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大 |
| 最值 | 当$x=0$时，$y$有最小值0 | 当$x=0$时，$y$有最大值0 |
解析
【分析】
研究$y=x^2$和$y=-x^2$的性质可按以下逻辑推导：
1. 先确定顶点：代入x=0可得两个函数的y值都为0，因此顶点都在原点；
2. 确定对称轴：形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为y轴；
3. 判断开口方向：由二次项系数a的符号决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下；
4. 推导增减性：以对称轴为界，结合开口方向分别分析x＞0和x＜0区间内y随x的变化规律；
5. 判断最值：开口向上时顶点是最低点，对应最小值；开口向下时顶点是最高点，对应最大值；图象根据开口方向匹配对应图形即可。
【解析】
我们逐项对比两个函数的性质：
1. 图象：$y=x^2$开口向上，对应第一张图；$y=-x^2$开口向下，对应第二张图。
2. 顶点坐标：两个函数x=0时y=0，顶点坐标均为$(0,0)$。
3. 对称轴：两个函数都属于$y=ax^2$的形式，对称轴均为y轴。
4. 开口方向：$y=x^2$的二次项系数为1＞0，开口向上；$y=-x^2$的二次项系数为-1＜0，开口向下。
5. 增减性：
$y=x^2$开口向上，因此$x＜0$时y随x增大而减小，$x＞0$时y随x增大而增大；
$y=-x^2$开口向下，因此$x＜0$时y随x增大而增大，$x＞0$时y随x增大而减小。
6. 最值：
$y=x^2$开口向上，顶点是最低点，x=0时y取最小值0；
$y=-x^2$开口向下，顶点是最高点，x=0时y取最大值0。
【答案】
| 二次函数 | $y=x^2$ | $y=-x^2$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 图象 | | |
| 顶点坐标 | $(0,0)$ | $(0,0)$ |
| 对称轴 | $y$轴 | $y$轴 |
| 开口方向 | 开口向上 | 开口向下 |
| 增减性 | 当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小 | 当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大 |
| 最值 | 当$x=0$时，$y$有最小值0 | 当$x=0$时，$y$有最大值0 |
【知识点】
1. $y=ax^2$的图象特征
2. $y=ax^2$的性质
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查最简二次函数$y=ax^2$的图象与性质，是后续学习平移类、一般式二次函数的重要基础，需要熟练掌握二次项系数对开口、增减性、最值的影响。
【难度系数】
0.9
研究$y=x^2$和$y=-x^2$的性质可按以下逻辑推导：
1. 先确定顶点：代入x=0可得两个函数的y值都为0，因此顶点都在原点；
2. 确定对称轴：形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为y轴；
3. 判断开口方向：由二次项系数a的符号决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下；
4. 推导增减性：以对称轴为界，结合开口方向分别分析x＞0和x＜0区间内y随x的变化规律；
5. 判断最值：开口向上时顶点是最低点，对应最小值；开口向下时顶点是最高点，对应最大值；图象根据开口方向匹配对应图形即可。
【解析】
我们逐项对比两个函数的性质：
1. 图象：$y=x^2$开口向上，对应第一张图；$y=-x^2$开口向下，对应第二张图。
2. 顶点坐标：两个函数x=0时y=0，顶点坐标均为$(0,0)$。
3. 对称轴：两个函数都属于$y=ax^2$的形式，对称轴均为y轴。
4. 开口方向：$y=x^2$的二次项系数为1＞0，开口向上；$y=-x^2$的二次项系数为-1＜0，开口向下。
5. 增减性：
$y=x^2$开口向上，因此$x＜0$时y随x增大而减小，$x＞0$时y随x增大而增大；
$y=-x^2$开口向下，因此$x＜0$时y随x增大而增大，$x＞0$时y随x增大而减小。
6. 最值：
$y=x^2$开口向上，顶点是最低点，x=0时y取最小值0；
$y=-x^2$开口向下，顶点是最高点，x=0时y取最大值0。
【答案】
| 二次函数 | $y=x^2$ | $y=-x^2$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 图象 |
| || 顶点坐标 | $(0,0)$ | $(0,0)$ |
| 对称轴 | $y$轴 | $y$轴 |
| 开口方向 | 开口向上 | 开口向下 |
| 增减性 | 当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小 | 当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大 |
| 最值 | 当$x=0$时，$y$有最小值0 | 当$x=0$时，$y$有最大值0 |
【知识点】
1. $y=ax^2$的图象特征
2. $y=ax^2$的性质
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查最简二次函数$y=ax^2$的图象与性质，是后续学习平移类、一般式二次函数的重要基础，需要熟练掌握二次项系数对开口、增减性、最值的影响。
【难度系数】
0.9
1. 函数 $y=-x^2$ 的图象大致为(
A
)。答案
1.A
解析
【分析】
要判断二次函数$y=-x^2$的图象，可结合二次函数$y=ax^2$的图象特征逐步筛选选项：首先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再结合函数的顶点位置、对称轴特征，进一步筛选得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，选项B、C的图象开口向上，直接排除B、C；
2. 该函数的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴，选项D的顶点在$y$轴正半轴，不符合特征，排除D。
综上符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数开口方向判断
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，核心考查最简二次函数的图象特征，熟记相关规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数$y=-x^2$的图象，可结合二次函数$y=ax^2$的图象特征逐步筛选选项：首先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再结合函数的顶点位置、对称轴特征，进一步筛选得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，选项B、C的图象开口向上，直接排除B、C；
2. 该函数的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴，选项D的顶点在$y$轴正半轴，不符合特征，排除D。
综上符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数开口方向判断
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，核心考查最简二次函数的图象特征，熟记相关规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2.观察二次函数$y=x^2$的图象，则下列判断正确的是(
A.若$a,b$互为相反数，则$x=a$与$x=b$的函数值相同
B.对于同一个自变量$x$，有两个函数值与它对应
C.对任意一个实数$y$，有两个$x$与它对应
D.对于任意实数$x$，都有$y＞0$
A
)。A.若$a,b$互为相反数，则$x=a$与$x=b$的函数值相同
B.对于同一个自变量$x$，有两个函数值与它对应
C.对任意一个实数$y$，有两个$x$与它对应
D.对于任意实数$x$，都有$y＞0$
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的性质相关判断，解题时首先回忆$y=x^2$的图象特征：开口向上、对称轴为y轴、顶点在原点、函数值$y≥0$，再结合函数定义、相反数的性质，逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a,b$互为相反数，则$b=-a$，当$x=a$时，函数值为$a^2$；当$x=b=-a$时，函数值为$(-a)^2=a^2$，二者函数值相同，该选项正确。
B选项：根据函数的定义，对于每一个确定的自变量$x$，都有且只有一个确定的函数值$y$与之对应，该选项错误。
C选项：当$y=0$时，仅$x=0$与之对应，并非任意实数$y$都对应两个$x$，该选项错误。
D选项：当$x=0$时，$y=0$，不满足$y＞0$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；函数的概念；相反数的性质
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对二次函数$y=x^2$基础性质的掌握，同时结合函数定义、相反数的概念进行综合判断，熟练掌握基础知识点即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=x^2$的性质相关判断，解题时首先回忆$y=x^2$的图象特征：开口向上、对称轴为y轴、顶点在原点、函数值$y≥0$，再结合函数定义、相反数的性质，逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a,b$互为相反数，则$b=-a$，当$x=a$时，函数值为$a^2$；当$x=b=-a$时，函数值为$(-a)^2=a^2$，二者函数值相同，该选项正确。
B选项：根据函数的定义，对于每一个确定的自变量$x$，都有且只有一个确定的函数值$y$与之对应，该选项错误。
C选项：当$y=0$时，仅$x=0$与之对应，并非任意实数$y$都对应两个$x$，该选项错误。
D选项：当$x=0$时，$y=0$，不满足$y＞0$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；函数的概念；相反数的性质
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对二次函数$y=x^2$基础性质的掌握，同时结合函数定义、相反数的概念进行综合判断，熟练掌握基础知识点即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
3.抛物线$y=-x^2$不具有的性质是(
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.与y轴不相交
D.最高点是原点
C
)。A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.与y轴不相交
D.最高点是原点
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时可先回忆$y=ax^2$的各项性质规律，再逐一判断每个选项的正误，最终选出符合题意的答案即可。首先明确：对于$y=ax^2$，$a$的符号决定开口方向，对称轴固定为y轴，顶点为原点，代入$x=0$可求与y轴的交点。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 抛物线$y=-x^2$中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，该性质是抛物线具有的，不符合题意；
B. 形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为y轴（即直线$x=0$），该性质是抛物线具有的，不符合题意；
C. 令$x=0$，代入解析式得$y=0$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,0)$，二者是相交的，该性质是抛物线不具有的，符合题意；
D. 抛物线开口向下，顶点为原点$(0,0)$，因此最高点是原点，该性质是抛物线具有的，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；二次函数开口判断；二次函数坐标轴交点
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对最简单的二次函数$y=ax^2$相关性质的掌握，只要牢记相关基础结论就能快速作答，出错多是对基础性质记忆不牢导致。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时可先回忆$y=ax^2$的各项性质规律，再逐一判断每个选项的正误，最终选出符合题意的答案即可。首先明确：对于$y=ax^2$，$a$的符号决定开口方向，对称轴固定为y轴，顶点为原点，代入$x=0$可求与y轴的交点。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 抛物线$y=-x^2$中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，该性质是抛物线具有的，不符合题意；
B. 形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为y轴（即直线$x=0$），该性质是抛物线具有的，不符合题意；
C. 令$x=0$，代入解析式得$y=0$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,0)$，二者是相交的，该性质是抛物线不具有的，符合题意；
D. 抛物线开口向下，顶点为原点$(0,0)$，因此最高点是原点，该性质是抛物线具有的，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；二次函数开口判断；二次函数坐标轴交点
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对最简单的二次函数$y=ax^2$相关性质的掌握，只要牢记相关基础结论就能快速作答，出错多是对基础性质记忆不牢导致。
【难度系数】
0.9
4.在二次函数$y=x^2$中，若$y＞0$，则自变量$x$的取值范围是(
A.可取一切实数
B.$x≠0$
C.$x＞0$
D.$x＜0$
B
)。A.可取一切实数
B.$x≠0$
C.$x＞0$
D.$x＜0$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的性质及平方的非负性：任意实数的平方都是非负数，只有当底数为0时，平方结果为0，其余情况平方结果均为正数。要找$y＞0$时$x$的取值范围，只需排除使得$y=0$的$x$值即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2$，根据平方的非负性可知：对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，当且仅当$x=0$时，$x^2=0$，即此时$y=0$。
要求$y＞0$，即$x^2＞0$，因此只需满足$x≠0$即可。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；平方的非负性
【点评】
本题是基础题，核心考查对二次函数$y=x^2$取值规律的掌握，熟练掌握其图象和基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的性质及平方的非负性：任意实数的平方都是非负数，只有当底数为0时，平方结果为0，其余情况平方结果均为正数。要找$y＞0$时$x$的取值范围，只需排除使得$y=0$的$x$值即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2$，根据平方的非负性可知：对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，当且仅当$x=0$时，$x^2=0$，即此时$y=0$。
要求$y＞0$，即$x^2＞0$，因此只需满足$x≠0$即可。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；平方的非负性
【点评】
本题是基础题，核心考查对二次函数$y=x^2$取值规律的掌握，熟练掌握其图象和基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5.点$A(4,b)$是抛物线$y=x^2$上的一点，则$b=$
16
；点$A$关于$y$轴的对称点$B$是(-4,16)
，它在
（填“在”或“不在”）抛物线$y=x^2$上。点$A$关于原点的对称点$C$是(-4,-16)
，它不在
（填“在”或“不在”）抛物线$y=x^2$上。答案
5.16；(-4,16)；在；(-4,-16)；不在
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，牢记“函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式”，把点A的横坐标代入抛物线解析式就能算出b的值；第二步，回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数，得到点B的坐标后，代入抛物线解析式验证是否成立，就能判断点B是否在抛物线上；第三步，回忆关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标都变为相反数，得到点C的坐标后，同样代入解析式验证，判断点C是否在抛物线上。
【解析】
1. 计算b的值：
∵点$A(4,b)$在抛物线$y=x^2$上，将$x=4$代入解析式得：
$b=4^2=16$
2. 求点A关于y轴的对称点B并判断位置：
关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此点B的坐标为$(-4,16)$。
将$x=-4$代入$y=x^2$得：$y=(-4)^2=16$，和点B的纵坐标相等，因此点B在抛物线$y=x^2$上。
3. 求点A关于原点的对称点C并判断位置：
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点C的坐标为$(-4,-16)$。
将$x=-4$代入$y=x^2$得：$y=(-4)^2=16≠-16$，因此点C不在抛物线$y=x^2$上。
【答案】
16；$(-4,16)$；在；$(-4,-16)$；不在
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标性质；关于原点对称的点的坐标性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查函数图象与点坐标的对应关系，以及常见的坐标对称变换规律，熟练掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题可按三步思考：第一步，牢记“函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式”，把点A的横坐标代入抛物线解析式就能算出b的值；第二步，回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数，得到点B的坐标后，代入抛物线解析式验证是否成立，就能判断点B是否在抛物线上；第三步，回忆关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标都变为相反数，得到点C的坐标后，同样代入解析式验证，判断点C是否在抛物线上。
【解析】
1. 计算b的值：
∵点$A(4,b)$在抛物线$y=x^2$上，将$x=4$代入解析式得：
$b=4^2=16$
2. 求点A关于y轴的对称点B并判断位置：
关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此点B的坐标为$(-4,16)$。
将$x=-4$代入$y=x^2$得：$y=(-4)^2=16$，和点B的纵坐标相等，因此点B在抛物线$y=x^2$上。
3. 求点A关于原点的对称点C并判断位置：
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点C的坐标为$(-4,-16)$。
将$x=-4$代入$y=x^2$得：$y=(-4)^2=16≠-16$，因此点C不在抛物线$y=x^2$上。
【答案】
16；$(-4,16)$；在；$(-4,-16)$；不在
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标性质；关于原点对称的点的坐标性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查函数图象与点坐标的对应关系，以及常见的坐标对称变换规律，熟练掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6.二次函数$y=(m+1)x^2$的图象过点$(-2,4)$，则$m=$
0
，这个二次函数的表达式为$y=x^2$
。当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
（填“增大”或“减小”）；当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
（填“增大”或“减小”）。答案
6.0；$y=x^2$；减小；增大
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知点坐标代入二次函数表达式，求解参数m，题目已明确是二次函数，求解出的m需满足二次项系数不为0；第二步，将m代入原式得到完整的二次函数表达式；第三步，根据二次项系数的正负判断开口方向，结合对称轴为y轴的性质，判断不同区间内y随x的变化规律。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 二次函数$y=(m+1)x^2$的图象过点$(-2,4)$
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入解析式得：
$4=(m+1)×(-2)^2$
即$4=4(m+1)$
两边同时除以4得：$1=m+1$
解得$m=0$，此时二次项系数$m+1=1≠0$，符合二次函数定义。
2. 求二次函数表达式：
将$m=0$代入$y=(m+1)x^2$，得$y=x^2$。
3. 判断增减性：
该二次函数的二次项系数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）：
当$x＜0$时，图象在对称轴左侧，y的值随着x值的增大而减小；
当$x＞0$时，图象在对称轴右侧，y的值随着x值的增大而增大。
【答案】
0；$y=x^2$；减小；增大
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的增减性；二次函数表达式的确定
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对二次函数基本性质的掌握，以及利用图象上的点求解函数参数的方法，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为三步：第一步，利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知点坐标代入二次函数表达式，求解参数m，题目已明确是二次函数，求解出的m需满足二次项系数不为0；第二步，将m代入原式得到完整的二次函数表达式；第三步，根据二次项系数的正负判断开口方向，结合对称轴为y轴的性质，判断不同区间内y随x的变化规律。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 二次函数$y=(m+1)x^2$的图象过点$(-2,4)$
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入解析式得：
$4=(m+1)×(-2)^2$
即$4=4(m+1)$
两边同时除以4得：$1=m+1$
解得$m=0$，此时二次项系数$m+1=1≠0$，符合二次函数定义。
2. 求二次函数表达式：
将$m=0$代入$y=(m+1)x^2$，得$y=x^2$。
3. 判断增减性：
该二次函数的二次项系数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）：
当$x＜0$时，图象在对称轴左侧，y的值随着x值的增大而减小；
当$x＞0$时，图象在对称轴右侧，y的值随着x值的增大而增大。
【答案】
0；$y=x^2$；减小；增大
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的增减性；二次函数表达式的确定
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对二次函数基本性质的掌握，以及利用图象上的点求解函数参数的方法，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
7.已知$A(-3,y_1),B(-2,y_2)$是二次函数$y=x^2$的图象上的两点,则$y_1$与$y_2$的大小关系是
$y_1＞y_2$
。答案
7.$y_1＞y_2$
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用思路：一是直接将两点的横坐标代入二次函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体数值再比较；二是利用二次函数的增减性判断。首先回忆二次函数$y=x^2$的性质：它的开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴左侧（$x＜0$时），y随x的增大而减小。已知A、B两点的横坐标都小于0，都在对称轴左侧，只需要比较两个横坐标的大小，就能结合增减性判断函数值的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(-3,y_1)$代入$y=x^2$，得$y_1=(-3)^2=9$；
将点$B(-2,y_2)$代入$y=x^2$，得$y_2=(-2)^2=4$；
$\because9＞4$，$\therefore y_1＞y_2$。
方法二：利用增减性判断
二次函数$y=x^2$中，$a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，
当$x＜0$时，y随x的增大而减小，
$\because-3 ＜ -2 ＜ 0$，
$\therefore y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题时既可以直接代入计算数值比较，也可以结合函数的增减性快速判断，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴及对应区间的增减性是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用思路：一是直接将两点的横坐标代入二次函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体数值再比较；二是利用二次函数的增减性判断。首先回忆二次函数$y=x^2$的性质：它的开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴左侧（$x＜0$时），y随x的增大而减小。已知A、B两点的横坐标都小于0，都在对称轴左侧，只需要比较两个横坐标的大小，就能结合增减性判断函数值的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(-3,y_1)$代入$y=x^2$，得$y_1=(-3)^2=9$；
将点$B(-2,y_2)$代入$y=x^2$，得$y_2=(-2)^2=4$；
$\because9＞4$，$\therefore y_1＞y_2$。
方法二：利用增减性判断
二次函数$y=x^2$中，$a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，
当$x＜0$时，y随x的增大而减小，
$\because-3 ＜ -2 ＜ 0$，
$\therefore y_1＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题时既可以直接代入计算数值比较，也可以结合函数的增减性快速判断，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴及对应区间的增减性是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
8.已知正方形的边长为x，面积为y。
(1)求y与x之间的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出图象；
(2)根据图象，求出当y=1时，正方形的边长；
(3)根据图象，求出当x取何值时，y≥4。
(1)求y与x之间的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出图象；
(2)根据图象，求出当y=1时，正方形的边长；
(3)根据图象，求出当x取何值时，y≥4。
答案
8.解:(1)$y=x^2(x＞0)$,图象如图
。(2)当$y=1$时,正方形的边长为1。
(3)由图象可知,当$x≥2$时,$y≥4$。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：根据正方形面积公式可直接推导函数关系式，注意正方形边长是正数，因此自变量x的取值范围为x＞0；画图象时只需画出二次函数$y=x^2$在第一象限的部分，原点处画空心点表示x取不到0。
2. 第(2)问：可将y=1代入函数解析式求解，舍去不符合实际意义的负根，也可直接观察图象找到y=1对应的横坐标得到边长。
3. 第(3)问：可先求解当y=4时x的取值，再结合二次函数在x＞0时的增减性，或者直接观察图象得到y≥4时x的取值范围。
【解析】
(1) 根据正方形面积=边长×边长，可得$y=x^2$，
∵ 正方形边长为正数，
∴ $x＞0$，即y与x的函数关系式为$y=x^2(x＞0)$；
图象为二次函数$y=x^2$在第一象限的分支，原点为空心点，如参考图所示。
(2) 将$y=1$代入$y=x^2$，得$x^2=1$，
解得$x=1$或$x=-1$，
∵ $x＞0$，
∴ $x=1$，即正方形边长为1。
(3) 令$y=4$，代入$y=x^2$得$x^2=4$，解得$x=2$（$x=-2$舍去），
∵ $x＞0$时，$y=x^2$的y随x的增大而增大，
∴ 当$x≥2$时，$y≥4$。
【答案】
(1)$y=x^2(x＞0)$,图象如图。
(2)当$y=1$时,正方形的边长为1。
(3)由图象可知,当$x≥2$时,$y≥4$。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象与性质；二次不等式求解
【点评】
本题结合几何实际背景考查二次函数基础知识点，解题时需注意实际问题中自变量的取值限制，可通过数形结合的方法快速求解相关范围问题，侧重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
1. 第(1)问：根据正方形面积公式可直接推导函数关系式，注意正方形边长是正数，因此自变量x的取值范围为x＞0；画图象时只需画出二次函数$y=x^2$在第一象限的部分，原点处画空心点表示x取不到0。
2. 第(2)问：可将y=1代入函数解析式求解，舍去不符合实际意义的负根，也可直接观察图象找到y=1对应的横坐标得到边长。
3. 第(3)问：可先求解当y=4时x的取值，再结合二次函数在x＞0时的增减性，或者直接观察图象得到y≥4时x的取值范围。
【解析】
(1) 根据正方形面积=边长×边长，可得$y=x^2$，
∵ 正方形边长为正数，
∴ $x＞0$，即y与x的函数关系式为$y=x^2(x＞0)$；
图象为二次函数$y=x^2$在第一象限的分支，原点为空心点，如参考图所示。
(2) 将$y=1$代入$y=x^2$，得$x^2=1$，
解得$x=1$或$x=-1$，
∵ $x＞0$，
∴ $x=1$，即正方形边长为1。
(3) 令$y=4$，代入$y=x^2$得$x^2=4$，解得$x=2$（$x=-2$舍去），
∵ $x＞0$时，$y=x^2$的y随x的增大而增大，
∴ 当$x≥2$时，$y≥4$。
【答案】
(1)$y=x^2(x＞0)$,图象如图
。(2)当$y=1$时,正方形的边长为1。
(3)由图象可知,当$x≥2$时,$y≥4$。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象与性质；二次不等式求解
【点评】
本题结合几何实际背景考查二次函数基础知识点，解题时需注意实际问题中自变量的取值限制，可通过数形结合的方法快速求解相关范围问题，侧重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
