登录
1.计算$3^{-2}$的结果是(
A.9
B.－9
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{6}$
C
).A.9
B.－9
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。本题中底数3不为0，符合公式适用条件，我们只需将底数和指数代入公式计算，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
将$a=3$，$p=2$代入公式可得：
$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对负整数指数幂运算法则的记忆与运用，做题时需注意不要混淆负指数的含义，避免出现将负号直接转移给底数、或是直接将指数和底数相乘的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。本题中底数3不为0，符合公式适用条件，我们只需将底数和指数代入公式计算，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
将$a=3$，$p=2$代入公式可得：
$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对负整数指数幂运算法则的记忆与运用，做题时需注意不要混淆负指数的含义，避免出现将负号直接转移给底数、或是直接将指数和底数相乘的错误。
【难度系数】
0.8
2.计算$2^0 × 2^{-3}$的结果是(
A.$-\dfrac{1}{8}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.0
D.6
B
).A.$-\dfrac{1}{8}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.0
D.6
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的运算，解题时可以从两个思路入手：一是先分别计算两个幂的值，再相乘；二是先利用同底数幂的乘法法则合并指数，再计算结果。需要用到的核心规则有：①非零数的0次幂等于1；②负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加，任选一种思路都能得出结果。
【解析】
方法一：分别计算幂的值再相乘
1. 根据零指数幂的性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，可得$2^0=1$；
2. 根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$；
3. 计算乘积：$2^0 × 2^{-3}=1×\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$。
方法二：先利用同底数幂乘法法则计算
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为整数），可得：
$2^0 × 2^{-3}=2^{0+(-3)}=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心考察对整数指数幂相关运算规则的记忆与应用，熟练掌握相关法则即可快速解题，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题考查整数指数幂的运算，解题时可以从两个思路入手：一是先分别计算两个幂的值，再相乘；二是先利用同底数幂的乘法法则合并指数，再计算结果。需要用到的核心规则有：①非零数的0次幂等于1；②负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加，任选一种思路都能得出结果。
【解析】
方法一：分别计算幂的值再相乘
1. 根据零指数幂的性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，可得$2^0=1$；
2. 根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$；
3. 计算乘积：$2^0 × 2^{-3}=1×\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$。
方法二：先利用同底数幂乘法法则计算
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为整数），可得：
$2^0 × 2^{-3}=2^{0+(-3)}=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心考察对整数指数幂相关运算规则的记忆与应用，熟练掌握相关法则即可快速解题，不易出错。
【难度系数】
0.9
3.下列计算正确的是(
A.$(-0.1)^{-2}=100$
B.$-10^{-3}=\frac{1}{1000}$
C.$\frac{1}{5^{-2}}=\frac{1}{25}$
D.$2a^{-3}=\frac{1}{2a^3}$
A
).A.$(-0.1)^{-2}=100$
B.$-10^{-3}=\frac{1}{1000}$
C.$\frac{1}{5^{-2}}=\frac{1}{25}$
D.$2a^{-3}=\frac{1}{2a^3}$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的运算，解题核心是牢记负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。解题时需逐个选项代入法则计算，对比运算结果判断选项是否正确，最终选出符合要求的答案。
【解析】
根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），逐一计算各选项：
选项A：$(-0.1)^{-2}=\frac{1}{(-0.1)^2}=\frac{1}{0.01}=100$，计算正确；
选项B：$-10^{-3}=-\frac{1}{10^3}=-\frac{1}{1000}≠\frac{1}{1000}$，计算错误；
选项C：$\frac{1}{5^{-2}}=5^2=25≠\frac{1}{25}$，计算错误；
选项D：$2a^{-3}=2×\frac{1}{a^3}=\frac{2}{a^3}≠\frac{1}{2a^3}$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础考查题，易错点为混淆负号的位置、忽略负指数运算中系数的处理，做题时牢记运算法则，逐个验算即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.75
本题考查负整数指数幂的运算，解题核心是牢记负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。解题时需逐个选项代入法则计算，对比运算结果判断选项是否正确，最终选出符合要求的答案。
【解析】
根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），逐一计算各选项：
选项A：$(-0.1)^{-2}=\frac{1}{(-0.1)^2}=\frac{1}{0.01}=100$，计算正确；
选项B：$-10^{-3}=-\frac{1}{10^3}=-\frac{1}{1000}≠\frac{1}{1000}$，计算错误；
选项C：$\frac{1}{5^{-2}}=5^2=25≠\frac{1}{25}$，计算错误；
选项D：$2a^{-3}=2×\frac{1}{a^3}=\frac{2}{a^3}≠\frac{1}{2a^3}$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础考查题，易错点为混淆负号的位置、忽略负指数运算中系数的处理，做题时牢记运算法则，逐个验算即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.75
4.计算$a^3 · a^4 · a$的结果是
$a^8$
.答案
4.$a^8$
解析
【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；其次要注意单独的字母$a$的指数是1，不要遗漏，最后将所有因式的指数相加即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
单独的因式$a$可以写成$a^1$，因此：
$a^3 · a^4 · a = a^3 · a^4 · a^1$
将所有指数相加可得：$3+4+1=8$，底数保持$a$不变，因此计算结果为$a^8$。
【答案】
$a^8$
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握同底数幂的乘法法则，解题时要注意单独的字母的指数为1，避免因漏加指数1导致计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；其次要注意单独的字母$a$的指数是1，不要遗漏，最后将所有因式的指数相加即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
单独的因式$a$可以写成$a^1$，因此：
$a^3 · a^4 · a = a^3 · a^4 · a^1$
将所有指数相加可得：$3+4+1=8$，底数保持$a$不变，因此计算结果为$a^8$。
【答案】
$a^8$
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握同底数幂的乘法法则，解题时要注意单独的字母的指数为1，避免因漏加指数1导致计算错误。
【难度系数】
0.9
5.计算$(a^2)^5 ÷ a^3$的结果是
$a^7$
.答案
5.$a^7$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的运算，解题时需遵循先乘方后除法的运算顺序：第一步先运用幂的乘方法则计算$(a^2)^5$，第二步再运用同底数幂的除法法则计算除法即可得到结果。解题时要注意区分两种幂运算的指数计算规则，避免混淆指数相乘和指数相减的用法。
【解析】
解：① 先计算幂的乘方：根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”，可得
$(a^2)^5 = a^{2×5}=a^{10}$
② 再计算同底数幂的除法：根据同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”，可得
$a^{10}÷ a^3 = a^{10-3}=a^7$
【答案】
$a^7$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的除法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是熟练掌握幂的相关运算法则，解题时注意运算顺序和指数运算的规则，避免因法则混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查整数指数幂的运算，解题时需遵循先乘方后除法的运算顺序：第一步先运用幂的乘方法则计算$(a^2)^5$，第二步再运用同底数幂的除法法则计算除法即可得到结果。解题时要注意区分两种幂运算的指数计算规则，避免混淆指数相乘和指数相减的用法。
【解析】
解：① 先计算幂的乘方：根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”，可得
$(a^2)^5 = a^{2×5}=a^{10}$
② 再计算同底数幂的除法：根据同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”，可得
$a^{10}÷ a^3 = a^{10-3}=a^7$
【答案】
$a^7$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的除法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是熟练掌握幂的相关运算法则，解题时注意运算顺序和指数运算的规则，避免因法则混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.9
6.若$a=(-\dfrac{1}{2})^{-1}$，$b=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，则$a$，$b$的大小关系是________.
答案
6.$a＜b$
解析
【分析】
要比较a、b的大小，首先需要根据负整数指数幂的运算法则分别计算出a、b的具体数值，再按照有理数大小比较的规则判断二者大小即可。负整数指数幂的运算规则为：对于非零数a、正整数p，有$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，我们可以利用这个规则把负指数转化为正指数计算。
【解析】
1. 计算a的值：
根据负整数指数幂的运算法则：
$a=(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$
2. 计算b的值：
同理可得：
$b=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
3. 比较大小：
因为负数小于正数，所以$-2＜4$，即$a＜b$
【答案】
$a＜b$
【知识点】
负整数指数幂运算、有理数大小比较
【点评】
本题考查负整数指数幂的基础运算和有理数大小比较，核心是熟练掌握负整数指数幂的转化规则，计算时注意底数的符号对结果的影响，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.9
要比较a、b的大小，首先需要根据负整数指数幂的运算法则分别计算出a、b的具体数值，再按照有理数大小比较的规则判断二者大小即可。负整数指数幂的运算规则为：对于非零数a、正整数p，有$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，我们可以利用这个规则把负指数转化为正指数计算。
【解析】
1. 计算a的值：
根据负整数指数幂的运算法则：
$a=(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$
2. 计算b的值：
同理可得：
$b=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
3. 比较大小：
因为负数小于正数，所以$-2＜4$，即$a＜b$
【答案】
$a＜b$
【知识点】
负整数指数幂运算、有理数大小比较
【点评】
本题考查负整数指数幂的基础运算和有理数大小比较，核心是熟练掌握负整数指数幂的转化规则，计算时注意底数的符号对结果的影响，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.9
7.计算.
(1) $(x^{-2}y^{3})^{-3}$.
(2) $(\dfrac{-3x}{y^{3}z})^{-2}$.
(3) $a^{2}b^{3}·(ab^{2})^{-2}$.
(4) $4xy^{2}z÷(-2x^{-2}yz^{-1})$.
(1) $(x^{-2}y^{3})^{-3}$.
(2) $(\dfrac{-3x}{y^{3}z})^{-2}$.
(3) $a^{2}b^{3}·(ab^{2})^{-2}$.
(4) $4xy^{2}z÷(-2x^{-2}yz^{-1})$.
答案
7.(1)$\frac{x^6}{y^9}$. (2)$\frac{y^6 z^2}{9x^2}$. (3)$\frac{1}{b}$. (4)$-2x^3 y z^2$.
解析
【分析】
这几道题均为整数指数幂的运算题，解题时可遵循以下思路：首先回忆整数指数幂的相关运算法则：幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为整数，$a≠0$）、积的乘方$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为整数，$a≠0,b≠0$）、同底数幂相乘$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m,n$为整数，$a≠0$）、同底数幂相除$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$m,n$为整数，$a≠0$）、负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$p$为正整数，$a≠0$）。运算时按照先算乘方、再算乘除的顺序逐步计算，最后将负指数转化为正指数形式即可。
【解析】
(1) 先利用积的乘方展开，再计算幂的乘方，最后转化负指数：
$\begin{aligned}(x^{-2}y^{3})^{-3}&=(x^{-2})^{-3}·(y^{3})^{-3}\\&=x^{(-2)×(-3)}·y^{3×(-3)}\\&=x^6·y^{-9}\\&=\frac{x^6}{y^9}\end{aligned}$
(2) 先将负指数幂转化为倒数的正指数幂，再计算乘方：
$\begin{aligned}(\frac{-3x}{y^{3}z})^{-2}&=(\frac{y^{3}z}{-3x})^{2}\\&=\frac{(y^3z)^2}{(-3x)^2}\\&=\frac{(y^3)^2·z^2}{(-3)^2·x^2}\\&=\frac{y^6z^2}{9x^2}\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再算同底数幂的乘法，最后化简：
$\begin{aligned}a^{2}b^{3}·(ab^{2})^{-2}&=a^2b^3·a^{-2}·(b^2)^{-2}\\&=a^2b^3·a^{-2}b^{-4}\\&=a^{2+(-2)}·b^{3+(-4)}\\&=a^0·b^{-1}\\&=\frac{1}{b}\end{aligned}$
(4) 将系数和同底数幂分别相除，再合并结果：
$\begin{aligned}4xy^{2}z÷(-2x^{-2}yz^{-1})&=[4÷(-2)]·x^{1-(-2)}·y^{2-1}·z^{1-(-1)}\\&=-2·x^3·y·z^2\\&=-2x^3yz^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{x^6}{y^9}$；(2)$\frac{y^6 z^2}{9x^2}$；(3)$\frac{1}{b}$；(4)$-2x^3 y z^2$
【知识点】
整数指数幂运算、负整数指数幂、同底数幂乘除运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心考查各类指数幂运算法则的应用，解题时要注意指数的符号变化，严格按照先乘方后乘除的顺序计算，避免因混淆法则或符号判断失误出错。
【难度系数】
0.8
这几道题均为整数指数幂的运算题，解题时可遵循以下思路：首先回忆整数指数幂的相关运算法则：幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为整数，$a≠0$）、积的乘方$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为整数，$a≠0,b≠0$）、同底数幂相乘$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m,n$为整数，$a≠0$）、同底数幂相除$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$m,n$为整数，$a≠0$）、负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$p$为正整数，$a≠0$）。运算时按照先算乘方、再算乘除的顺序逐步计算，最后将负指数转化为正指数形式即可。
【解析】
(1) 先利用积的乘方展开，再计算幂的乘方，最后转化负指数：
$\begin{aligned}(x^{-2}y^{3})^{-3}&=(x^{-2})^{-3}·(y^{3})^{-3}\\&=x^{(-2)×(-3)}·y^{3×(-3)}\\&=x^6·y^{-9}\\&=\frac{x^6}{y^9}\end{aligned}$
(2) 先将负指数幂转化为倒数的正指数幂，再计算乘方：
$\begin{aligned}(\frac{-3x}{y^{3}z})^{-2}&=(\frac{y^{3}z}{-3x})^{2}\\&=\frac{(y^3z)^2}{(-3x)^2}\\&=\frac{(y^3)^2·z^2}{(-3)^2·x^2}\\&=\frac{y^6z^2}{9x^2}\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再算同底数幂的乘法，最后化简：
$\begin{aligned}a^{2}b^{3}·(ab^{2})^{-2}&=a^2b^3·a^{-2}·(b^2)^{-2}\\&=a^2b^3·a^{-2}b^{-4}\\&=a^{2+(-2)}·b^{3+(-4)}\\&=a^0·b^{-1}\\&=\frac{1}{b}\end{aligned}$
(4) 将系数和同底数幂分别相除，再合并结果：
$\begin{aligned}4xy^{2}z÷(-2x^{-2}yz^{-1})&=[4÷(-2)]·x^{1-(-2)}·y^{2-1}·z^{1-(-1)}\\&=-2·x^3·y·z^2\\&=-2x^3yz^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{x^6}{y^9}$；(2)$\frac{y^6 z^2}{9x^2}$；(3)$\frac{1}{b}$；(4)$-2x^3 y z^2$
【知识点】
整数指数幂运算、负整数指数幂、同底数幂乘除运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心考查各类指数幂运算法则的应用，解题时要注意指数的符号变化，严格按照先乘方后乘除的顺序计算，避免因混淆法则或符号判断失误出错。
【难度系数】
0.8
