8.若式子$(a+1)^{-1}$有意义，则实数a的取值范围是（）.

A.$a≠ -1$
B.$a≠ 0$
C.$a≠ 1$
D.$a=-1$

8.A

【分析】
要确定式子$(a+1)^{-1}$有意义时$a$的取值范围，首先回忆负整数指数幂的相关规定：负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，而倒数的分母不能为0，因此只需保证负指数幂的底数不为0即可，据此列不等式求解就能得到$a$的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：当$p$为正整数时，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$），可得：
$(a+1)^{-1}=\frac{1}{a+1}$
要使该式有意义，则分母不能为0，即：
$a+1≠0$
解得$a≠-1$，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
负整数指数幂的定义；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，核心考查负整数指数幂有意义的前提是底数不为0，只要熟练掌握负整数指数幂的相关规定，就能快速得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.9

9.已知$3^m=\frac{1}{81}$，则$m=\_\_\_\_\_\_$

9.$-4$

【分析】
解题时先将等式右侧的$\frac{1}{81}$转化为以3为底的幂的形式：首先通过乘方运算得出$3^4=81$，再结合负整数指数幂的性质，把$\frac{1}{81}$改写为3的负指数幂，最后根据同底数幂相等时指数相等的规律，即可求出m的值。
【解析】
1. 先计算3的乘方：$3^4=3×3×3×3=81$；
2. 根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得$\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=3^{-4}$；
3. 已知$3^m=\frac{1}{81}$，代入得$3^m=3^{-4}$，由于两个同底数幂相等时指数相等，因此$m=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
负整数指数幂、乘方运算、同底数幂的性质
【点评】
本题是整数指数幂的基础考查题，解题核心是熟练掌握负整数指数幂的定义，将分数形式转化为同底数的负指数幂即可快速求解。
【难度系数】
0.8

10.若$x + x^{-1} = 3$，则$(x^2 - x^{-2})^2 =$.

10.$45$

【分析】
本题可通过整体代入法求解，无需直接计算x的值。首先观察已知条件$x + x^{-1}=3$和所求式子$(x^2 - x^{-2})^2$的结构特征：第一步，先将已知条件两边平方，利用完全平方公式求出$x^2 + x^{-2}$的值；第二步，再利用完全平方公式求出$(x - x^{-1})^2$的值；第三步，利用平方差公式将$x^2 - x^{-2}$分解为$(x - x^{-1})(x + x^{-1})$，进而将所求式子转化为含$(x - x^{-1})^2$和$(x + x^{-1})^2$的形式，代入数值计算即可。
【解析】
1. 对已知条件两边平方：
已知$x + x^{-1}=3$，两边平方得$(x + x^{-1})^2=3^2$，
根据完全平方公式展开：$x^2 + 2· x· x^{-1} + x^{-2}=9$，
因为$x· x^{-1}=1$，所以化简得$x^2 + x^{-2} + 2=9$，解得$x^2 + x^{-2}=7$。
2. 计算$(x - x^{-1})^2$的值：
根据完全平方公式展开得$(x - x^{-1})^2=x^2 - 2· x· x^{-1} + x^{-2}=(x^2 + x^{-2}) - 2$，
代入$x^2 + x^{-2}=7$，得$(x - x^{-1})^2=7 - 2=5$。
3. 化简并计算所求式子：
根据平方差公式，$x^2 - x^{-2}=(x - x^{-1})(x + x^{-1})$，
所以$(x^2 - x^{-2})^2=[(x - x^{-1})(x + x^{-1})]^2=(x - x^{-1})^2· (x + x^{-1})^2$，
代入$(x - x^{-1})^2=5$，$(x + x^{-1})^2=9$，得原式$=5×9=45$。
【答案】
45
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整数指数幂运算
【点评】
本题侧重考查整式乘法公式在整数指数幂运算中的灵活应用，解题核心是利用公式对已知和所求式子进行合理变形，通过整体代入的方法简化计算，避免了直接求解x的复杂过程，是整式运算中常见的技巧类题型。
【难度系数】
0.6

11.若 $ a = 0.3^2 $，$ b = -3^{-2} $，$ c = (-\dfrac{1}{3})^{-2} $，$ d = (-\dfrac{1}{3})^0 $，则 $ a, b, c, d $ 的大小关系是 .

11.$c＞d＞a＞b$

【分析】
要比较a、b、c、d的大小，首先需要依据整数指数幂的相关运算法则，分别计算出四个数的具体数值，再根据有理数大小比较的规则（正数大于0和负数，0大于负数，正数之间数值大的更大，负数之间绝对值大的反而小）进行排序即可。
【解析】
分别计算四个数的值：
1. 计算$a$：$a = 0.3^2 = 0.3×0.3 = 0.09$；
2. 计算$b$：根据负整数指数幂法则$p^{-n}=\frac{1}{p^n}$（$p≠0$），得$b = -3^{-2} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}\approx -0.11$；
3. 计算$c$：$c = (-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$；
4. 计算$d$：根据零指数幂法则$p^0=1$（$p≠0$），得$d = (-\frac{1}{3})^0 = 1$。
将四个数值比较大小：$9＞1＞0.09＞-\frac{1}{9}$，即$c＞d＞a＞b$。
【答案】
$c＞d＞a＞b$
【知识点】
乘方运算；负整数指数幂运算；零指数幂运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查整数指数幂的运算规则，解题的关键是运算时注意区分负号的位置，避免符号计算错误，准确得到每个数的数值后即可轻松比较大小。
【难度系数】
0.7

12.计算.
(1)
(2) $[3(a+2)^{-1}-(a-2)^{-1}]÷(4-a^2)^{-1}.$

12.(1)$-(x+y)$. (2)$8-2a$.

【分析】
这两道题是整数指数幂与分式运算的综合题，解题思路如下：
(1) 首先回忆负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$，除以一个式子的$-5$次方可转化为乘该式子的$5$次方；再对分式的分子分母因式分解，先化简括号内的分式，再结合乘方、约分运算求解，注意符号变化。
(2) 先将所有负整数指数幂转化为分式形式，把除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再对多项式因式分解，用乘法分配律简化计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 分步化简计算：
① 化简第一个分式：
$\frac{x^2+xy}{x}=\frac{x(x+y)}{x}=x+y$
② 化简括号内的分式：
$\frac{x^2-xy}{xy-x^2}=\frac{x(x-y)}{x(y-x)}=\frac{x(x-y)}{-x(x-y)}=-1$
③ 处理负指数幂并计算：
原式$=(x+y) ÷ (-1)^{-5}$
根据负指数幂法则，$(-1)^{-5}=\frac{1}{(-1)^5}=-1$，因此：
原式$=(x+y) ÷ (-1) = -(x+y)$
(2) 分步化简计算：
① 负指数幂转化为分式，除法变乘法：
原式$=( \frac{3}{a+2} - \frac{1}{a-2} ) ÷ \frac{1}{4-a^2}=( \frac{3}{a+2} - \frac{1}{a-2} ) × (4-a^2)$
② 因式分解后用分配律展开：
$4-a^2=(2-a)(2+a)=-(a-2)(a+2)$，代入得：
$=\frac{3}{a+2} × (4-a^2) - \frac{1}{a-2} × (4-a^2)$
③ 分别计算两项再合并：
第一项：$\frac{3}{a+2} × (2-a)(2+a)=3(2-a)=6-3a$
第二项：$-\frac{1}{a-2} × [-(a-2)(a+2)] = a+2$
合并得：$6-3a+a+2=8-2a$
【答案】
(1) $\boxed{-(x+y)}$；(2) $\boxed{8-2a}$
【知识点】
整数指数幂运算、分式乘除运算、因式分解
【点评】
本题重点考查负整数指数幂与分式运算的综合应用，解题核心是先将负指数幂转化为正指数幂的分式形式，再结合因式分解对分式约分简化，计算过程中要注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

13.若实数$m$满足$m^2 - \sqrt{10}m +1=0$，求下列各式的值.
(1)$m + m^{-1}$;(2)$m^2 + m^{-2}$;(3)$m - m^{-1}$;(4)$m^4 + m^{-4}$.

13.(1)$\sqrt{10}$. (2)$8$. (3)$\pm\sqrt{6}$. (4)$62$.

【分析】
首先根据已知方程判断$m≠0$（若$m=0$，代入原方程左边=1≠0，矛盾），因此可对原方程两边同时除以$m$，直接求出第(1)问$m+m^{-1}$的值；后续的(2)(3)(4)问均利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为含$m+m^{-1}$或更低次已求结果的形式，整体代入计算即可，无需单独求解$m$的值，简化运算。
【解析】
首先证明$m≠0$：将$m=0$代入原方程$m^2 - \sqrt{10}m +1=0$，左边=1≠右边，因此$m≠0$，原方程两边可同时除以$m$。
(1) 原方程两边除以$m$得：$m - \sqrt{10} + m^{-1}=0$，移项得$m + m^{-1}=\sqrt{10}$；
(2) 根据完全平方公式变形：$m^2 + m^{-2}=(m + m^{-1})^2 - 2· m· m^{-1}$，代入$m + m^{-1}=\sqrt{10}$，且$m· m^{-1}=1$，得原式$=(\sqrt{10})^2 - 2×1=10-2=8$；
(3) 先求$(m - m^{-1})^2$，由完全平方公式得：$(m - m^{-1})^2=(m + m^{-1})^2 - 4· m· m^{-1}$，代入值得原式$=(\sqrt{10})^2 -4×1=10-4=6$，因此$m - m^{-1}=\pm\sqrt{6}$；
(4) 对$m^4 + m^{-4}$变形：$m^4 + m^{-4}=(m^2 + m^{-2})^2 - 2· m^2· m^{-2}$，代入$m^2 + m^{-2}=8$，且$m^2· m^{-2}=1$，得原式$=8^2 -2×1=64-2=62$。
【答案】
(1)$\sqrt{10}$；(2)$8$；(3)$\pm\sqrt{6}$；(4)$62$
【知识点】
整数指数幂运算；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是整数指数幂相关求值的典型题型，解题核心是利用整体代入思想，结合完全平方公式的变形进行计算，避免求解$m$的具体值，大幅简化运算过程，熟练掌握公式变形是解题关键。
【难度系数】
0.7