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9.已知$W=(\dfrac{1}{a-3}+\dfrac{1}{a+3})÷\dfrac{2a}{a^2-6a+9}$.
(1)化简$W$.
(2)若$a,2,3$恰好是$△ ABC$三条边的长，请选取合适的整数$a$代入$W$，求出$W$的值.
(1)化简$W$.
(2)若$a,2,3$恰好是$△ ABC$三条边的长，请选取合适的整数$a$代入$W$，求出$W$的值.
答案
9.(1)$W=(\dfrac{1}{a-3}+\dfrac{1}{a+3})÷\dfrac{2a}{a^2-6a+9}$
$=\dfrac{a+3+a-3}{(a-3)(a+3)}×\dfrac{a^2-6a+9}{2a}$
$=\dfrac{2a}{(a-3)(a+3)}×\dfrac{(a-3)^2}{2a}$
$=\dfrac{a-3}{a+3}$.
(2)$\because a,2,3$恰好是$△ ABC$的三边长，
$\therefore 3-2＜a＜3+2. \therefore 1＜a＜5$.
又$\because (a+3)(a-3)\ne0,a\ne0,\therefore a\ne\pm3,a\ne0$.
$\therefore a$可以取整数2或4.
当$a=2$时，$W=\dfrac{2-3}{2+3}=-\dfrac{1}{5}$；
当$a=4$时，$W=\dfrac{4-3}{4+3}=\dfrac{1}{7}$.
$=\dfrac{a+3+a-3}{(a-3)(a+3)}×\dfrac{a^2-6a+9}{2a}$
$=\dfrac{2a}{(a-3)(a+3)}×\dfrac{(a-3)^2}{2a}$
$=\dfrac{a-3}{a+3}$.
(2)$\because a,2,3$恰好是$△ ABC$的三边长，
$\therefore 3-2＜a＜3+2. \therefore 1＜a＜5$.
又$\because (a+3)(a-3)\ne0,a\ne0,\therefore a\ne\pm3,a\ne0$.
$\therefore a$可以取整数2或4.
当$a=2$时，$W=\dfrac{2-3}{2+3}=-\dfrac{1}{5}$；
当$a=4$时，$W=\dfrac{4-3}{4+3}=\dfrac{1}{7}$.
解析
【分析】
(1) 化简分式时遵循分式混合运算顺序：先计算括号内的分式加法，通过通分化为同分母分式相加，再将除法运算转化为乘法运算，同时对多项式因式分解，最后约分化为最简分式即可。
(2) 先根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）求出a的取值范围，再结合分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）筛选出合适的整数a，最后代入化简后的式子计算W的值。
【解析】
(1) 化简W：
$W=(\dfrac{1}{a-3}+\dfrac{1}{a+3})÷\dfrac{2a}{a^2-6a+9}$
对括号内通分，公分母为$(a-3)(a+3)$，同时将除法转化为乘法：
$=\dfrac{a+3+a-3}{(a-3)(a+3)}×\dfrac{a^2-6a+9}{2a}$
合并分子、对二次三项式因式分解：
$=\dfrac{2a}{(a-3)(a+3)}×\dfrac{(a-3)^2}{2a}$
约去公因式$2a$和$(a-3)$：
$=\dfrac{a-3}{a+3}$
(2) 选取合适的a计算W：
∵a，2，3是△ABC的三边长，根据三角形三边关系可得：
$3-2＜a＜3+2$，即$1＜a＜5$
又
∵分式有意义需满足分母不为0、除数不为0：
∴$(a-3)(a+3)≠0$且$2a≠0$，解得$a≠±3$，$a≠0$
结合$1＜a＜5$，可取的整数a为2或4
当$a=2$时，代入得：$W=\dfrac{2-3}{2+3}=-\dfrac{1}{5}$
当$a=4$时，代入得：$W=\dfrac{4-3}{4+3}=\dfrac{1}{7}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{W=\dfrac{a-3}{a+3}}$；
(2) 当$a=2$时，$\boldsymbol{W=-\dfrac{1}{5}}$；当$a=4$时，$\boldsymbol{W=\dfrac{1}{7}}$
【知识点】
分式的混合运算、三角形三边关系、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算和三角形性质的综合基础题，解题时需注意分式化简过程中隐含的取值限制，避免代入使分式无意义的数值，要养成先判断取值范围再代入计算的习惯。
【难度系数】
0.7
(1) 化简分式时遵循分式混合运算顺序：先计算括号内的分式加法，通过通分化为同分母分式相加，再将除法运算转化为乘法运算，同时对多项式因式分解，最后约分化为最简分式即可。
(2) 先根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）求出a的取值范围，再结合分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）筛选出合适的整数a，最后代入化简后的式子计算W的值。
【解析】
(1) 化简W：
$W=(\dfrac{1}{a-3}+\dfrac{1}{a+3})÷\dfrac{2a}{a^2-6a+9}$
对括号内通分，公分母为$(a-3)(a+3)$，同时将除法转化为乘法：
$=\dfrac{a+3+a-3}{(a-3)(a+3)}×\dfrac{a^2-6a+9}{2a}$
合并分子、对二次三项式因式分解：
$=\dfrac{2a}{(a-3)(a+3)}×\dfrac{(a-3)^2}{2a}$
约去公因式$2a$和$(a-3)$：
$=\dfrac{a-3}{a+3}$
(2) 选取合适的a计算W：
∵a，2，3是△ABC的三边长，根据三角形三边关系可得：
$3-2＜a＜3+2$，即$1＜a＜5$
又
∵分式有意义需满足分母不为0、除数不为0：
∴$(a-3)(a+3)≠0$且$2a≠0$，解得$a≠±3$，$a≠0$
结合$1＜a＜5$，可取的整数a为2或4
当$a=2$时，代入得：$W=\dfrac{2-3}{2+3}=-\dfrac{1}{5}$
当$a=4$时，代入得：$W=\dfrac{4-3}{4+3}=\dfrac{1}{7}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{W=\dfrac{a-3}{a+3}}$；
(2) 当$a=2$时，$\boldsymbol{W=-\dfrac{1}{5}}$；当$a=4$时，$\boldsymbol{W=\dfrac{1}{7}}$
【知识点】
分式的混合运算、三角形三边关系、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算和三角形性质的综合基础题，解题时需注意分式化简过程中隐含的取值限制，避免代入使分式无意义的数值，要养成先判断取值范围再代入计算的习惯。
【难度系数】
0.7
10.计算.
(1) $\dfrac{16 - a^2}{a^2 + 4a + 4} ÷ \dfrac{a - 4}{2a + 4} · \dfrac{a + 2}{a + 4}$
(2) $\dfrac{2a - 1}{a^2 - 4} ÷ (1 - \dfrac{3 - a}{a + 2})$
(3) $(\dfrac{x - 1}{x^2 + x} - \dfrac{x - 3}{x^2 - 1}) ÷ (\dfrac{2x^2 + x + 1}{x^2 - x} - 1)$
(4) $(a - 1 + \dfrac{1}{a - 3}) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a - 3}$
(1) $\dfrac{16 - a^2}{a^2 + 4a + 4} ÷ \dfrac{a - 4}{2a + 4} · \dfrac{a + 2}{a + 4}$
(2) $\dfrac{2a - 1}{a^2 - 4} ÷ (1 - \dfrac{3 - a}{a + 2})$
(3) $(\dfrac{x - 1}{x^2 + x} - \dfrac{x - 3}{x^2 - 1}) ÷ (\dfrac{2x^2 + x + 1}{x^2 - x} - 1)$
(4) $(a - 1 + \dfrac{1}{a - 3}) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a - 3}$
答案
10.(1)$-2$. (2)$\dfrac{1}{a-2}$. (3)$\dfrac{1}{x^2+2x+1}$. (4)$\dfrac{a-2}{a+2}$.
解析
【分析】
分式混合运算的核心解题思路如下：1. 运算顺序：有括号先计算括号内的式子，无括号时先将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；2. 因式分解：把每个分式的分子、分母分解因式，方便后续约分；3. 约分化简：按从左到右的顺序计算乘法，约去所有公因式，最终结果化为最简分式即可，计算过程中要注意符号变化。
【解析】
(1) 先对各分子分母因式分解，再统一为乘法运算：
$16-a^2=-(a-4)(a+4)$，$a^2+4a+4=(a+2)^2$，$2a+4=2(a+2)$
原式$=\dfrac{-(a-4)(a+4)}{(a+2)^2} × \dfrac{2(a+2)}{a-4} × \dfrac{a+2}{a+4}$
约去公因式$(a-4)、(a+4)、(a+2)^2$后，得结果为$-2$。
(2) 先计算括号内的减法，再做除法运算：
括号内通分：$1-\dfrac{3-a}{a+2}=\dfrac{a+2}{a+2}-\dfrac{3-a}{a+2}=\dfrac{a+2-3+a}{a+2}=\dfrac{2a-1}{a+2}$
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，原式转化为：
$\dfrac{2a-1}{(a+2)(a-2)} × \dfrac{a+2}{2a-1}$
约去公因式$(2a-1)、(a+2)$后，得结果为$\dfrac{1}{a-2}$。
(3) 分别计算两个括号内的分式减法，再做除法运算：
第一个括号：分母$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，通分后计算：
$\dfrac{(x-1)^2 - x(x-3)}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{x^2-2x+1-x^2+3x}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+1}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x(x-1)}$
第二个括号：分母$x^2-x=x(x-1)$，通分后计算：
$\dfrac{2x^2+x+1 - x(x-1)}{x(x-1)}=\dfrac{2x^2+x+1-x^2+x}{x(x-1)}=\dfrac{(x+1)^2}{x(x-1)}$
原式转化为：$\dfrac{1}{x(x-1)} × \dfrac{x(x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{x^2+2x+1}$。
(4) 先计算括号内的加法，再做除法运算：
括号内通分：$a-1+\dfrac{1}{a-3}=\dfrac{(a-1)(a-3)+1}{a-3}=\dfrac{a^2-4a+3+1}{a-3}=\dfrac{(a-2)^2}{a-3}$
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，原式转化为：
$\dfrac{(a-2)^2}{a-3} × \dfrac{a-3}{(a+2)(a-2)}$
约去公因式$(a-3)、(a-2)$后，得结果为$\dfrac{a-2}{a+2}$。
【答案】
(1)$-2$；(2)$\dfrac{1}{a-2}$；(3)$\dfrac{1}{x^2+2x+1}$；(4)$\dfrac{a-2}{a+2}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，考察分式运算的基本规则，解题的关键是准确对分子分母因式分解，严格按照运算顺序计算，注意符号和公因式的判断，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
分式混合运算的核心解题思路如下：1. 运算顺序：有括号先计算括号内的式子，无括号时先将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；2. 因式分解：把每个分式的分子、分母分解因式，方便后续约分；3. 约分化简：按从左到右的顺序计算乘法，约去所有公因式，最终结果化为最简分式即可，计算过程中要注意符号变化。
【解析】
(1) 先对各分子分母因式分解，再统一为乘法运算：
$16-a^2=-(a-4)(a+4)$，$a^2+4a+4=(a+2)^2$，$2a+4=2(a+2)$
原式$=\dfrac{-(a-4)(a+4)}{(a+2)^2} × \dfrac{2(a+2)}{a-4} × \dfrac{a+2}{a+4}$
约去公因式$(a-4)、(a+4)、(a+2)^2$后，得结果为$-2$。
(2) 先计算括号内的减法，再做除法运算：
括号内通分：$1-\dfrac{3-a}{a+2}=\dfrac{a+2}{a+2}-\dfrac{3-a}{a+2}=\dfrac{a+2-3+a}{a+2}=\dfrac{2a-1}{a+2}$
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，原式转化为：
$\dfrac{2a-1}{(a+2)(a-2)} × \dfrac{a+2}{2a-1}$
约去公因式$(2a-1)、(a+2)$后，得结果为$\dfrac{1}{a-2}$。
(3) 分别计算两个括号内的分式减法，再做除法运算：
第一个括号：分母$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，通分后计算：
$\dfrac{(x-1)^2 - x(x-3)}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{x^2-2x+1-x^2+3x}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+1}{x(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x(x-1)}$
第二个括号：分母$x^2-x=x(x-1)$，通分后计算：
$\dfrac{2x^2+x+1 - x(x-1)}{x(x-1)}=\dfrac{2x^2+x+1-x^2+x}{x(x-1)}=\dfrac{(x+1)^2}{x(x-1)}$
原式转化为：$\dfrac{1}{x(x-1)} × \dfrac{x(x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{x^2+2x+1}$。
(4) 先计算括号内的加法，再做除法运算：
括号内通分：$a-1+\dfrac{1}{a-3}=\dfrac{(a-1)(a-3)+1}{a-3}=\dfrac{a^2-4a+3+1}{a-3}=\dfrac{(a-2)^2}{a-3}$
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，原式转化为：
$\dfrac{(a-2)^2}{a-3} × \dfrac{a-3}{(a+2)(a-2)}$
约去公因式$(a-3)、(a-2)$后，得结果为$\dfrac{a-2}{a+2}$。
【答案】
(1)$-2$；(2)$\dfrac{1}{a-2}$；(3)$\dfrac{1}{x^2+2x+1}$；(4)$\dfrac{a-2}{a+2}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，考察分式运算的基本规则，解题的关键是准确对分子分母因式分解，严格按照运算顺序计算，注意符号和公因式的判断，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
11.先化简,再求值:$(\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x} - \dfrac{4 - x^2}{x^2 + 2x}) · \dfrac{x}{x - 4}$,其中$x$为满足$-3 ＜ x ＜ 2$的整数.
答案
11.原式$=[\dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)}+\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}]·\dfrac{x}{x-4}$
$=(\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x-2}{x})·\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{2x-3}{x}·\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{2x-3}{x-4}$.
$\because x$为满足$-3＜x＜2$的整数，$\therefore x=-2$或$-1$或0或1，经分析$x\ne-2$且$x\ne0$且$x\ne1$，
$\therefore x=-1$，代入化简后的分式得：
原式$=\dfrac{2×(-1)-3}{-1-4}=\dfrac{-5}{-5}=1$.
$=(\dfrac{x-1}{x}+\dfrac{x-2}{x})·\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{2x-3}{x}·\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{2x-3}{x-4}$.
$\because x$为满足$-3＜x＜2$的整数，$\therefore x=-2$或$-1$或0或1，经分析$x\ne-2$且$x\ne0$且$x\ne1$，
$\therefore x=-1$，代入化简后的分式得：
原式$=\dfrac{2×(-1)-3}{-1-4}=\dfrac{-5}{-5}=1$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：①先处理括号内的两个分式：分别对分子、分母因式分解，约分后转化为同分母分式，再按照同分母分式加法法则计算；②将括号内的计算结果与括号外的分式相乘，约分后得到最简分式；③确定x的取值：先找出给定范围内的所有整数，再结合分式有意义（所有分母不为0）的条件，排除不符合要求的x值，最后把符合条件的x代入最简式计算结果即可。
【解析】
原式$=[\dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)} + \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}] · \dfrac{x}{x-4}$
根据分式有意义的条件，先确定$x≠0$、$x≠1$、$x≠-2$、$x≠4$，对括号内的分式约分可得：
$=(\dfrac{x-1}{x} + \dfrac{x-2}{x}) · \dfrac{x}{x-4}$
按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$=\dfrac{x-1 + x - 2}{x} · \dfrac{x}{x-4} = \dfrac{2x - 3}{x} · \dfrac{x}{x-4}$
约掉公因式$x$，得到最简分式：
$=\dfrac{2x - 3}{x - 4}$
已知$x$为满足$-3 ＜ x ＜ 2$的整数，因此$x$的可能取值为$-2、-1、0、1$，结合前面的分式有意义的条件排除$-2、0、1$，仅剩$x=-1$符合要求。
将$x=-1$代入最简分式：
原式$=\dfrac{2×(-1) - 3}{-1 - 4} = \dfrac{-5}{-5} = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简求值；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型题型，运算过程中优先通过因式分解约分可简化计算步骤，易错点是容易忽略分式有意义的前提，直接代入取值范围内的所有整数计算，解题时要先排除使分母为0的取值再代入。
【难度系数】
0.6
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：①先处理括号内的两个分式：分别对分子、分母因式分解，约分后转化为同分母分式，再按照同分母分式加法法则计算；②将括号内的计算结果与括号外的分式相乘，约分后得到最简分式；③确定x的取值：先找出给定范围内的所有整数，再结合分式有意义（所有分母不为0）的条件，排除不符合要求的x值，最后把符合条件的x代入最简式计算结果即可。
【解析】
原式$=[\dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)} + \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}] · \dfrac{x}{x-4}$
根据分式有意义的条件，先确定$x≠0$、$x≠1$、$x≠-2$、$x≠4$，对括号内的分式约分可得：
$=(\dfrac{x-1}{x} + \dfrac{x-2}{x}) · \dfrac{x}{x-4}$
按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$=\dfrac{x-1 + x - 2}{x} · \dfrac{x}{x-4} = \dfrac{2x - 3}{x} · \dfrac{x}{x-4}$
约掉公因式$x$，得到最简分式：
$=\dfrac{2x - 3}{x - 4}$
已知$x$为满足$-3 ＜ x ＜ 2$的整数，因此$x$的可能取值为$-2、-1、0、1$，结合前面的分式有意义的条件排除$-2、0、1$，仅剩$x=-1$符合要求。
将$x=-1$代入最简分式：
原式$=\dfrac{2×(-1) - 3}{-1 - 4} = \dfrac{-5}{-5} = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简求值；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式运算的典型题型，运算过程中优先通过因式分解约分可简化计算步骤，易错点是容易忽略分式有意义的前提，直接代入取值范围内的所有整数计算，解题时要先排除使分母为0的取值再代入。
【难度系数】
0.6
12.定义:若两个分式的差为2,则这两个分式属于“友好分式组”.
(1)下列三组分式①$\frac{3a}{a+1}$与$\frac{a}{a+1}$,②$\frac{3a}{a-1}$与$\frac{a+2}{a-1}$,③$\frac{a}{2a+1}$与$\frac{5a+2}{2a+1}$中,属于“友好分式组”的有________(填写序号).
(2)若$a,b$均为非零实数,且分式$\frac{3a^2}{a^2-4b^2}$与$\frac{a}{a+2b}$属于“友好分式组”,求分式$\frac{a^2-2b^2}{ab}$的值.
(1)下列三组分式①$\frac{3a}{a+1}$与$\frac{a}{a+1}$,②$\frac{3a}{a-1}$与$\frac{a+2}{a-1}$,③$\frac{a}{2a+1}$与$\frac{5a+2}{2a+1}$中,属于“友好分式组”的有________(填写序号).
(2)若$a,b$均为非零实数,且分式$\frac{3a^2}{a^2-4b^2}$与$\frac{a}{a+2b}$属于“友好分式组”,求分式$\frac{a^2-2b^2}{ab}$的值.
答案
12.(1)②③ (2)$-\dfrac{7}{2}$或$-\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题围绕新定义“友好分式组”展开，解题思路如下：
(1) 第一问根据新定义，分别计算每组两个分式的差，同分母分式相减时分母不变、分子相减，约分化简后判断结果是否为2即可。
(2) 第二问因未明确两个分式的相减顺序，分两种情况讨论：①第一个分式减第二个分式等于2；②第二个分式减第一个分式等于2。先利用平方差公式对分母因式分解，再通分计算分式的差，化简得到a与b的数量关系，最后将关系整体代入所求分式约分计算，注意a、b均为非零实数，可约去不为0的因式简化运算。
【解析】
(1) 分别计算三组分式的差：
① $\frac{3a}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{3a - a}{a+1} = \frac{2a}{a+1}$，结果不一定为2，不属于“友好分式组”；
② $\frac{3a}{a-1} - \frac{a+2}{a-1} = \frac{3a - (a+2)}{a-1} = \frac{2a - 2}{a-1} = \frac{2(a-1)}{a-1} = 2$（$a≠1$），差为2，属于“友好分式组”；
③ $\frac{5a+2}{2a+1} - \frac{a}{2a+1} = \frac{5a+2 - a}{2a+1} = \frac{4a + 2}{2a+1} = \frac{2(2a+1)}{2a+1} = 2$（$a≠-\frac{1}{2}$），差为2，属于“友好分式组”。
(2) 分两种情况讨论：
情况1：$\frac{3a^2}{a^2-4b^2} - \frac{a}{a+2b} = 2$
对分母因式分解得$a^2-4b^2=(a+2b)(a-2b)$，通分计算左边：
左边$= \frac{3a^2}{(a+2b)(a-2b)} - \frac{a(a-2b)}{(a+2b)(a-2b)} = \frac{2a^2 + 2ab}{a^2 - 4b^2}$
因此$\frac{2a^2 + 2ab}{a^2 - 4b^2} = 2$，两边同乘$a^2-4b^2$得$2a^2 + 2ab = 2(a^2 - 4b^2)$，化简得$ab=-4b^2$。
因为$b≠0$，两边除以$b$得$a=-4b$，代入所求分式：
$\frac{a^2 - 2b^2}{ab} = \frac{16b^2 - 2b^2}{-4b · b} = \frac{14b^2}{-4b^2} = -\frac{7}{2}$。
情况2：$\frac{a}{a+2b} - \frac{3a^2}{a^2-4b^2} = 2$
通分计算左边：
左边$= \frac{a(a-2b) - 3a^2}{(a+2b)(a-2b)} = \frac{-2a^2 - 2ab}{a^2 - 4b^2}$
因此$\frac{-2a^2 - 2ab}{a^2 - 4b^2} = 2$，两边同乘$a^2-4b^2$整理得$2a^2 + ab - 4b^2 = 0$，变形得$a^2 - 2b^2 = -\frac{1}{2}ab$。
代入所求分式：
$\frac{a^2 - 2b^2}{ab} = \frac{-\frac{1}{2}ab}{ab} = -\frac{1}{2}$（$ab≠0$可约去）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{7}{2}}$或$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查分式运算，第一问较为基础，直接按同分母分式减法规则计算即可；第二问需要注意分类讨论两个分式的相减顺序，计算时无需单独求出a、b的取值，整体代入可简化运算，能有效考查学生的分类讨论思想和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
本题围绕新定义“友好分式组”展开，解题思路如下：
(1) 第一问根据新定义，分别计算每组两个分式的差，同分母分式相减时分母不变、分子相减，约分化简后判断结果是否为2即可。
(2) 第二问因未明确两个分式的相减顺序，分两种情况讨论：①第一个分式减第二个分式等于2；②第二个分式减第一个分式等于2。先利用平方差公式对分母因式分解，再通分计算分式的差，化简得到a与b的数量关系，最后将关系整体代入所求分式约分计算，注意a、b均为非零实数，可约去不为0的因式简化运算。
【解析】
(1) 分别计算三组分式的差：
① $\frac{3a}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{3a - a}{a+1} = \frac{2a}{a+1}$，结果不一定为2，不属于“友好分式组”；
② $\frac{3a}{a-1} - \frac{a+2}{a-1} = \frac{3a - (a+2)}{a-1} = \frac{2a - 2}{a-1} = \frac{2(a-1)}{a-1} = 2$（$a≠1$），差为2，属于“友好分式组”；
③ $\frac{5a+2}{2a+1} - \frac{a}{2a+1} = \frac{5a+2 - a}{2a+1} = \frac{4a + 2}{2a+1} = \frac{2(2a+1)}{2a+1} = 2$（$a≠-\frac{1}{2}$），差为2，属于“友好分式组”。
(2) 分两种情况讨论：
情况1：$\frac{3a^2}{a^2-4b^2} - \frac{a}{a+2b} = 2$
对分母因式分解得$a^2-4b^2=(a+2b)(a-2b)$，通分计算左边：
左边$= \frac{3a^2}{(a+2b)(a-2b)} - \frac{a(a-2b)}{(a+2b)(a-2b)} = \frac{2a^2 + 2ab}{a^2 - 4b^2}$
因此$\frac{2a^2 + 2ab}{a^2 - 4b^2} = 2$，两边同乘$a^2-4b^2$得$2a^2 + 2ab = 2(a^2 - 4b^2)$，化简得$ab=-4b^2$。
因为$b≠0$，两边除以$b$得$a=-4b$，代入所求分式：
$\frac{a^2 - 2b^2}{ab} = \frac{16b^2 - 2b^2}{-4b · b} = \frac{14b^2}{-4b^2} = -\frac{7}{2}$。
情况2：$\frac{a}{a+2b} - \frac{3a^2}{a^2-4b^2} = 2$
通分计算左边：
左边$= \frac{a(a-2b) - 3a^2}{(a+2b)(a-2b)} = \frac{-2a^2 - 2ab}{a^2 - 4b^2}$
因此$\frac{-2a^2 - 2ab}{a^2 - 4b^2} = 2$，两边同乘$a^2-4b^2$整理得$2a^2 + ab - 4b^2 = 0$，变形得$a^2 - 2b^2 = -\frac{1}{2}ab$。
代入所求分式：
$\frac{a^2 - 2b^2}{ab} = \frac{-\frac{1}{2}ab}{ab} = -\frac{1}{2}$（$ab≠0$可约去）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{7}{2}}$或$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查分式运算，第一问较为基础，直接按同分母分式减法规则计算即可；第二问需要注意分类讨论两个分式的相减顺序，计算时无需单独求出a、b的取值，整体代入可简化运算，能有效考查学生的分类讨论思想和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
