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一、选择题
1.下列计算中，正确的是（
A.$a^2 · a^5 = a^{10}$
B.$a^2 + a^5 = a^7$
C.$(a^5)^2 = a^7$
D.$a^5 · a^2 = a^7$
1.下列计算中，正确的是（
D
）.A.$a^2 · a^5 = a^{10}$
B.$a^2 + a^5 = a^7$
C.$(a^5)^2 = a^7$
D.$a^5 · a^2 = a^7$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题主要考查整式运算中的幂的运算法则以及同类项的合并规则，解题时需要逐个分析每个选项，对应相应的运算规则判断正误即可：首先回忆同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则，以及同类项才能合并的要求，逐一验证四个选项的计算是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2 · a^5 = a^{2+5}=a^7≠ a^{10}$，故A错误；
B选项：$a^2$与$a^5$所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并相加，故B错误；
C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^5)^2 = a^{5×2}=a^{10}≠ a^7$，故C错误；
D选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^5 · a^2 = a^{5+2}=a^7$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂运算的基本法则和同类项的识别，解题的关键是熟练区分不同幂运算的指数计算规则，明确只有同类项才能合并，避免混淆运算规则导致出错。
【难度系数】
0.9
这道题主要考查整式运算中的幂的运算法则以及同类项的合并规则，解题时需要逐个分析每个选项，对应相应的运算规则判断正误即可：首先回忆同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则，以及同类项才能合并的要求，逐一验证四个选项的计算是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2 · a^5 = a^{2+5}=a^7≠ a^{10}$，故A错误；
B选项：$a^2$与$a^5$所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并相加，故B错误；
C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^5)^2 = a^{5×2}=a^{10}≠ a^7$，故C错误；
D选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^5 · a^2 = a^{5+2}=a^7$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂运算的基本法则和同类项的识别，解题的关键是熟练区分不同幂运算的指数计算规则，明确只有同类项才能合并，避免混淆运算规则导致出错。
【难度系数】
0.9
2.计算$(-2x^2)^3 · (-x)^2$的结果是(
A.$-8x^8$
B.$8x^8$
C.$-8x^7$
D.$-6x^8$
A
).A.$-8x^8$
B.$8x^8$
C.$-8x^7$
D.$-6x^8$
答案
2.A
解析
【分析】
本题属于整式乘法运算题，解题需遵循先乘方、后乘法的运算顺序。首先需要分别计算两个乘方项：计算$(-2x^2)^3$时，要运用积的乘方法则，将积的每个因式分别乘方后再把所得幂相乘；计算$(-x)^2$时，要注意负数的偶次幂为正，先判断符号再化简。最后将两个乘方的结果相乘，运用同底数幂的乘法法则计算即可，计算过程中要重点关注符号是否正确，避免出错。
【解析】
第一步：计算乘方项
① 计算$(-2x^2)^3$，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(-2x^2)^3=(-2)^3 · (x^2)^3=-8 · x^{2×3}=-8x^6$
② 计算$(-x)^2$，根据偶次幂的性质，负数的偶次幂是正数：
$(-x)^2=x^2$
第二步：计算乘法运算
将上述结果代入原式，根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n=a^{m+n}$：
$(-2x^2)^3 · (-x)^2=-8x^6 · x^2=-8x^{6+2}=-8x^8$
因此计算结果为$-8x^8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的应用，属于基础运算类题型，解题时要严格按照运算顺序计算，尤其要注意符号的判断，避免因混淆运算法则或符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7
本题属于整式乘法运算题，解题需遵循先乘方、后乘法的运算顺序。首先需要分别计算两个乘方项：计算$(-2x^2)^3$时，要运用积的乘方法则，将积的每个因式分别乘方后再把所得幂相乘；计算$(-x)^2$时，要注意负数的偶次幂为正，先判断符号再化简。最后将两个乘方的结果相乘，运用同底数幂的乘法法则计算即可，计算过程中要重点关注符号是否正确，避免出错。
【解析】
第一步：计算乘方项
① 计算$(-2x^2)^3$，根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$：
$(-2x^2)^3=(-2)^3 · (x^2)^3=-8 · x^{2×3}=-8x^6$
② 计算$(-x)^2$，根据偶次幂的性质，负数的偶次幂是正数：
$(-x)^2=x^2$
第二步：计算乘法运算
将上述结果代入原式，根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n=a^{m+n}$：
$(-2x^2)^3 · (-x)^2=-8x^6 · x^2=-8x^{6+2}=-8x^8$
因此计算结果为$-8x^8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的应用，属于基础运算类题型，解题时要严格按照运算顺序计算，尤其要注意符号的判断，避免因混淆运算法则或符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7
3.下列各式中,能用平方差公式计算的是(
A.$(x-2)(x+1)$
B.$(2x+y)(2y-x)$
C.$(1+x)(-1-x)$
D.$(c-b)(-b-c)$
D
).A.$(x-2)(x+1)$
B.$(2x+y)(2y-x)$
C.$(1+x)(-1-x)$
D.$(c-b)(-b-c)$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断式子能否用平方差公式计算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方。解题时只需逐个分析每个选项的两个括号内的项，判断是否满足“一组相同项、一组互为相反数的项”的特征即可。
【解析】
平方差公式为$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，需同时满足两个特征：①是两个二项式相乘；②有一组完全相同的项，另一组互为相反数的项。
对各选项逐一分析：
选项A：$(x-2)(x+1)$，相同项是$x$，剩余项为$-2$和$+1$，不互为相反数，不符合特征，排除；
选项B：$(2x+y)(2y-x)$，两个括号中无完全相同的项，也没有成对的互为相反数的项，不符合特征，排除；
选项C：$(1+x)(-1-x)=-(1+x)(1+x)$，两个括号内所有项都互为相反数，无相同项，是完全平方公式的适用形式，不符合，排除；
选项D：$(c-b)(-b-c)$可变形为$(-b+c)(-b-c)$，其中相同项是$-b$，相反项是$c$和$-c$，完全符合平方差公式的结构特征，可以用平方差公式计算。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题主要考查平方差公式的结构识别，解题的关键是准确找出两个多项式中的相同项和相反项，牢记公式结构即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要判断式子能否用平方差公式计算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方。解题时只需逐个分析每个选项的两个括号内的项，判断是否满足“一组相同项、一组互为相反数的项”的特征即可。
【解析】
平方差公式为$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，需同时满足两个特征：①是两个二项式相乘；②有一组完全相同的项，另一组互为相反数的项。
对各选项逐一分析：
选项A：$(x-2)(x+1)$，相同项是$x$，剩余项为$-2$和$+1$，不互为相反数，不符合特征，排除；
选项B：$(2x+y)(2y-x)$，两个括号中无完全相同的项，也没有成对的互为相反数的项，不符合特征，排除；
选项C：$(1+x)(-1-x)=-(1+x)(1+x)$，两个括号内所有项都互为相反数，无相同项，是完全平方公式的适用形式，不符合，排除；
选项D：$(c-b)(-b-c)$可变形为$(-b+c)(-b-c)$，其中相同项是$-b$，相反项是$c$和$-c$，完全符合平方差公式的结构特征，可以用平方差公式计算。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题主要考查平方差公式的结构识别，解题的关键是准确找出两个多项式中的相同项和相反项，牢记公式结构即可快速判断。
【难度系数】
0.8
4.如果$(2x+3)(x-4)=2x^2+mx-n$，那么$m,n$的值为(
A.$m=-5,n=12$
B.$m=-5,n=-12$
C.$m=5,n=12$
D.$m=5,n=-12$
A
).A.$m=-5,n=12$
B.$m=-5,n=-12$
C.$m=5,n=12$
D.$m=5,n=-12$
答案
4.A
解析
【分析】
本题需要求出m、n的值，解题思路是先运用多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开，再合并同类项，最后将展开结果与等式右边的多项式对比，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，即可求出m、n的取值。
【解析】
首先计算等式左边的乘积：
$\begin{aligned}(2x+3)(x-4)&=2x· x + 2x·(-4) + 3· x + 3·(-4)\\&=2x^2 -8x +3x -12\\&=2x^2 -5x -12\end{aligned}$
已知$(2x+3)(x-4)=2x^2+mx-n$，因此可得：
$2x^2 -5x -12 = 2x^2 +mx -n$
根据等式两边对应项系数相等：
一次项系数：$m=-5$
常数项：$-n=-12$，解得$n=12$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、对应系数相等
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查多项式的乘法运算，计算时需要注意各项的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
本题需要求出m、n的值，解题思路是先运用多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开，再合并同类项，最后将展开结果与等式右边的多项式对比，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，即可求出m、n的取值。
【解析】
首先计算等式左边的乘积：
$\begin{aligned}(2x+3)(x-4)&=2x· x + 2x·(-4) + 3· x + 3·(-4)\\&=2x^2 -8x +3x -12\\&=2x^2 -5x -12\end{aligned}$
已知$(2x+3)(x-4)=2x^2+mx-n$，因此可得：
$2x^2 -5x -12 = 2x^2 +mx -n$
根据等式两边对应项系数相等：
一次项系数：$m=-5$
常数项：$-n=-12$，解得$n=12$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、对应系数相等
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查多项式的乘法运算，计算时需要注意各项的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
5.若$(x-2y)^2 + N = (x+2y)^2$，则$N$为（
A.$8xy$
B.$2xy$
C.$4xy$
D.$-4xy$
A
）.A.$8xy$
B.$2xy$
C.$4xy$
D.$-4xy$
答案
5.A
解析
【分析】
要求N的值，可先根据等式的性质将N单独放在等式一侧，即$N=(x+2y)^2 - (x-2y)^2$，再利用完全平方公式分别将两个平方项展开，最后通过去括号、合并同类项即可求出N的结果。
【解析】
根据等式变形可得：
$N=(x+2y)^2 - (x-2y)^2$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开得：
$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2$
代入上式计算：
$\begin{aligned}N&=(x^2+4xy+4y^2)-(x^2-4xy+4y^2)\\&=x^2+4xy+4y^2 - x^2 +4xy -4y^2\\&=8xy\end{aligned}$
因此N为8xy，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查完全平方公式的灵活应用，解题时需注意去括号时符号的变化，熟练掌握公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要求N的值，可先根据等式的性质将N单独放在等式一侧，即$N=(x+2y)^2 - (x-2y)^2$，再利用完全平方公式分别将两个平方项展开，最后通过去括号、合并同类项即可求出N的结果。
【解析】
根据等式变形可得：
$N=(x+2y)^2 - (x-2y)^2$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开得：
$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2$
代入上式计算：
$\begin{aligned}N&=(x^2+4xy+4y^2)-(x^2-4xy+4y^2)\\&=x^2+4xy+4y^2 - x^2 +4xy -4y^2\\&=8xy\end{aligned}$
因此N为8xy，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查完全平方公式的灵活应用，解题时需注意去括号时符号的变化，熟练掌握公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
6.若$x+m$与$x+3$的乘积中不含$x$的一次项，则$m$的值为(
A.－3
B.3
C.0
D.1
A
).A.－3
B.3
C.0
D.1
答案
6.A
解析
【分析】
解题核心逻辑是：两个多项式相乘后不含x的一次项，意味着展开合并同类项后，x的一次项的系数等于0。解题步骤可分为三步：①利用多项式乘多项式的法则计算(x+m)(x+3)的结果；②合并同类项，找到x一次项的系数；③令一次项系数为0，列方程求解m的值即可。
【解析】
解：根据多项式乘多项式的运算法则展开乘积：
$\begin{aligned}(x+m)(x+3)&=x· x + x·3 + m· x + m·3\\&=x^2 + 3x + mx + 3m\end{aligned}$
合并同类项可得：$x^2 + (3+m)x + 3m$
∵乘积中不含x的一次项，
∴x的一次项系数为0，即：
$3 + m = 0$
解得：$m = -3$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题关键是理解“多项式中不含某一项，即该项的系数为0”的规则，掌握多项式乘法运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题核心逻辑是：两个多项式相乘后不含x的一次项，意味着展开合并同类项后，x的一次项的系数等于0。解题步骤可分为三步：①利用多项式乘多项式的法则计算(x+m)(x+3)的结果；②合并同类项，找到x一次项的系数；③令一次项系数为0，列方程求解m的值即可。
【解析】
解：根据多项式乘多项式的运算法则展开乘积：
$\begin{aligned}(x+m)(x+3)&=x· x + x·3 + m· x + m·3\\&=x^2 + 3x + mx + 3m\end{aligned}$
合并同类项可得：$x^2 + (3+m)x + 3m$
∵乘积中不含x的一次项，
∴x的一次项系数为0，即：
$3 + m = 0$
解得：$m = -3$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题关键是理解“多项式中不含某一项，即该项的系数为0”的规则，掌握多项式乘法运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
7.如果$x^m = a$，$x^n = b$，那么$x^{2m + n}$的值为(
A.$2a - b$
B.$a^2 - b$
C.$\frac{a^2}{b}$
D.$a^2b$
D
).A.$2a - b$
B.$a^2 - b$
C.$\frac{a^2}{b}$
D.$a^2b$
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题时可先将所求的幂的表达式进行拆分变形：首先根据同底数幂乘法的逆运算，将指数为“和”的形式拆成两个同底数幂相乘，即$x^{2m+n}=x^{2m}·x^n$；再根据幂的乘方的逆运算，将$x^{2m}$变形为$(x^m)^2$，最后将已知的$x^m=a$、$x^n=b$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
根据幂的运算法则的逆用进行变形计算：
1. 由同底数幂乘法的逆运算可得：$x^{2m + n} = x^{2m} · x^n$
2. 由幂的乘方的逆运算可得：$x^{2m} = (x^m)^2$
3. 把$x^m = a$，$x^n = b$代入得：
$x^{2m + n} = (x^m)^2 · x^n = a^2 · b = a^2b$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查幂的相关运算性质的逆用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，能将所求代数式根据法则转化为含有已知条件的形式，再代入求值即可。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的运算性质的应用，解题时可先将所求的幂的表达式进行拆分变形：首先根据同底数幂乘法的逆运算，将指数为“和”的形式拆成两个同底数幂相乘，即$x^{2m+n}=x^{2m}·x^n$；再根据幂的乘方的逆运算，将$x^{2m}$变形为$(x^m)^2$，最后将已知的$x^m=a$、$x^n=b$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
根据幂的运算法则的逆用进行变形计算：
1. 由同底数幂乘法的逆运算可得：$x^{2m + n} = x^{2m} · x^n$
2. 由幂的乘方的逆运算可得：$x^{2m} = (x^m)^2$
3. 把$x^m = a$，$x^n = b$代入得：
$x^{2m + n} = (x^m)^2 · x^n = a^2 · b = a^2b$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查幂的相关运算性质的逆用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，能将所求代数式根据法则转化为含有已知条件的形式，再代入求值即可。
【难度系数】
0.9
8.已知$2^a=8$，则$2^{a-2}$的值为（
A.6
B.1
C.2
D.4
C
）。A.6
B.1
C.2
D.4
答案
8.C
解析
【分析】
解题思路有两种：① 利用同底数幂除法的逆运算，将待求式$2^{a-2}$转化为含已知条件$2^a$的形式，再代入计算；② 先根据乘方的意义求出a的值，再将a代入$2^{a-2}$计算结果。两种思路均符合幂运算的知识要求，计算难度低。
【解析】
方法一：利用同底数幂除法的逆运算求解
根据同底数幂除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$（$a≠0$，m、n为正整数），可得：
$2^{a-2}=2^a÷2^2$
已知$2^a=8$，$2^2=4$，代入得：
$2^{a-2}=8÷4=2$
方法二：先求a的值再代入求解
因为$2^a=8=2^3$，所以可得$a=3$
将$a=3$代入$2^{a-2}$得：
$2^{3-2}=2^1=2$
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法、乘方的意义
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题方法灵活，既可以逆用同底数幂的除法法则直接代入已知条件计算，也可以先求出指数a的取值再代入求解，熟练掌握幂的相关运算法则是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
解题思路有两种：① 利用同底数幂除法的逆运算，将待求式$2^{a-2}$转化为含已知条件$2^a$的形式，再代入计算；② 先根据乘方的意义求出a的值，再将a代入$2^{a-2}$计算结果。两种思路均符合幂运算的知识要求，计算难度低。
【解析】
方法一：利用同底数幂除法的逆运算求解
根据同底数幂除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$（$a≠0$，m、n为正整数），可得：
$2^{a-2}=2^a÷2^2$
已知$2^a=8$，$2^2=4$，代入得：
$2^{a-2}=8÷4=2$
方法二：先求a的值再代入求解
因为$2^a=8=2^3$，所以可得$a=3$
将$a=3$代入$2^{a-2}$得：
$2^{3-2}=2^1=2$
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法、乘方的意义
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题方法灵活，既可以逆用同底数幂的除法法则直接代入已知条件计算，也可以先求出指数a的取值再代入求解，熟练掌握幂的相关运算法则是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
9.已知$(x-2023)^2+(x-2025)^2=24$，则$(x-2024)^2$的值是（
A.12
B.11
C.13
D.10
B
）。A.12
B.11
C.13
D.10
答案
9.B
解析
【分析】
观察已知等式中两个平方项的底数$x-2023$和$x-2025$，二者的中间值为$x-2024$，可以采用换元法简化运算：设$y=x-2024$，则$x-2023=y+1$，$x-2025=y-1$，代入原式后利用完全平方公式展开，一次项会相互抵消，即可直接求出$y^2$也就是所求式子的值。
【解析】
设$ y = x - 2024 $，则：
$ x - 2023 = (x - 2024) + 1 = y + 1 $
$ x - 2025 = (x - 2024) - 1 = y - 1 $
将上述两个式子代入已知等式$ (x-2023)^2 + (x-2025)^2 = 24 $，可得：
$ (y+1)^2 + (y-1)^2 = 24 $
根据完全平方公式展开得：
$ y^2 + 2y + 1 + y^2 - 2y + 1 = 24 $
合并同类项：
$ 2y^2 + 2 = 24 $
移项化简得：
$ 2y^2 = 22 $，即$ y^2 = 11 $
因此$ (x-2024)^2 = y^2 = 11 $
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，换元法求值
【点评】
本题通过换元将相差为2的两个底数转化为和与差的形式，利用完全平方公式展开后一次项相互抵消，有效降低了计算量，避免了直接展开大数运算的错误。
【难度系数】
0.7
观察已知等式中两个平方项的底数$x-2023$和$x-2025$，二者的中间值为$x-2024$，可以采用换元法简化运算：设$y=x-2024$，则$x-2023=y+1$，$x-2025=y-1$，代入原式后利用完全平方公式展开，一次项会相互抵消，即可直接求出$y^2$也就是所求式子的值。
【解析】
设$ y = x - 2024 $，则：
$ x - 2023 = (x - 2024) + 1 = y + 1 $
$ x - 2025 = (x - 2024) - 1 = y - 1 $
将上述两个式子代入已知等式$ (x-2023)^2 + (x-2025)^2 = 24 $，可得：
$ (y+1)^2 + (y-1)^2 = 24 $
根据完全平方公式展开得：
$ y^2 + 2y + 1 + y^2 - 2y + 1 = 24 $
合并同类项：
$ 2y^2 + 2 = 24 $
移项化简得：
$ 2y^2 = 22 $，即$ y^2 = 11 $
因此$ (x-2024)^2 = y^2 = 11 $
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，换元法求值
【点评】
本题通过换元将相差为2的两个底数转化为和与差的形式，利用完全平方公式展开后一次项相互抵消，有效降低了计算量，避免了直接展开大数运算的错误。
【难度系数】
0.7
10.如图,在矩形$ABCD$中,$AB=10$,$BC=5$,点$M$和点$N$分别在边$AB$和$BC$上,并且$AM - CN = 1$,分别以$BM$和$BN$为边向上、向右作正方形,两个正方形的面积分别为$S_1$和$S_2$,且$S_1 + S_2 = 50$,则图中阴影部分的面积为(
A.15
B.17
C.19
D.21
B
).A.15
B.17
C.19
D.21
答案
10.B
解析
【分析】
首先明确阴影部分是矩形，面积等于其邻边BM、BN的乘积，因此解题目标是求BM·BN的值。先根据矩形边长和AM-CN=1的条件，推导得到BM与BN的差为定值；再结合两个正方形面积和等于BM²+BN²的条件，利用完全平方差公式的变形，即可直接求出BM·BN的结果，无需单独计算BM和BN的长度，简化计算过程。
【解析】
设$BM=a$，$BN=b$。
由矩形边长可得：$AM=AB-BM=10-a$，$CN=BC-BN=5-b$。
已知$AM-CN=1$，代入得：
$(10-a)-(5-b)=1$
化简得：$5 - a + b = 1$，即$a - b = 4$。
由正方形面积定义可知$S_1=a^2$，$S_2=b^2$，故$a^2 + b^2 = 50$。
根据完全平方差公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将$a-b=4$、$a^2+b^2=50$代入得：
$4^2 = 50 - 2ab$
计算得：$16 = 50 - 2ab$，移项求解得$2ab=34$，即$ab=17$。
阴影部分为长是$a$、宽是$b$的矩形，面积为$ab=17$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；正方形性质；矩形性质
【点评】
本题将几何图形性质和代数式变形结合考查，运用整体思想求解可以避免复杂的解方程过程，能有效检验对完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确阴影部分是矩形，面积等于其邻边BM、BN的乘积，因此解题目标是求BM·BN的值。先根据矩形边长和AM-CN=1的条件，推导得到BM与BN的差为定值；再结合两个正方形面积和等于BM²+BN²的条件，利用完全平方差公式的变形，即可直接求出BM·BN的结果，无需单独计算BM和BN的长度，简化计算过程。
【解析】
设$BM=a$，$BN=b$。
由矩形边长可得：$AM=AB-BM=10-a$，$CN=BC-BN=5-b$。
已知$AM-CN=1$，代入得：
$(10-a)-(5-b)=1$
化简得：$5 - a + b = 1$，即$a - b = 4$。
由正方形面积定义可知$S_1=a^2$，$S_2=b^2$，故$a^2 + b^2 = 50$。
根据完全平方差公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将$a-b=4$、$a^2+b^2=50$代入得：
$4^2 = 50 - 2ab$
计算得：$16 = 50 - 2ab$，移项求解得$2ab=34$，即$ab=17$。
阴影部分为长是$a$、宽是$b$的矩形，面积为$ab=17$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；正方形性质；矩形性质
【点评】
本题将几何图形性质和代数式变形结合考查，运用整体思想求解可以避免复杂的解方程过程，能有效检验对完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是
$·x=x^3 -3x^2 +6x$
11.乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是
$x^2 - 3x + 6$
。$·x=x^3 -3x^2 +6x$
答案
11.$x^2 - 3x + 6$
解析
【分析】
观察等式可知，等式为“未知整式乘x的结果等于右侧的三次多项式”，根据乘法与除法互为逆运算的关系，要求未知整式，只需用右侧的多项式除以已知因式x即可。计算时按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以x，再把所得的商相加就能得到结果。
【解析】
设等号左边被撕掉的内容为整式A，根据题意可得：
$A·x = x^3 -3x^2 +6x$
因此$A=(x^3 -3x^2 +6x)÷ x$
根据多项式除以单项式的运算法则，分别计算每一项除以x的商：
$x^3÷ x = x^2$，
$-3x^2÷ x = -3x$，
$6x÷ x = 6$，
将所得商相加可得：$A=x^2 - 3x + 6$。
【答案】
$x^2 - 3x + 6$
【知识点】
多项式除以单项式、整式乘除逆运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式运算的基本规则，解题关键是理解乘除互逆的运算逻辑，熟练掌握多项式除以单项式的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
观察等式可知，等式为“未知整式乘x的结果等于右侧的三次多项式”，根据乘法与除法互为逆运算的关系，要求未知整式，只需用右侧的多项式除以已知因式x即可。计算时按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以x，再把所得的商相加就能得到结果。
【解析】
设等号左边被撕掉的内容为整式A，根据题意可得：
$A·x = x^3 -3x^2 +6x$
因此$A=(x^3 -3x^2 +6x)÷ x$
根据多项式除以单项式的运算法则，分别计算每一项除以x的商：
$x^3÷ x = x^2$，
$-3x^2÷ x = -3x$，
$6x÷ x = 6$，
将所得商相加可得：$A=x^2 - 3x + 6$。
【答案】
$x^2 - 3x + 6$
【知识点】
多项式除以单项式、整式乘除逆运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式运算的基本规则，解题关键是理解乘除互逆的运算逻辑，熟练掌握多项式除以单项式的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12.在长为$(3a+2)$、宽为$(2a+3)$的长方形铁皮上剪去一个边长为$(a-1)$的小正方形，则剩余部分的面积为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
12.$5a^2 + 15a + 5$
解析
【分析】
要计算剩余部分的面积，首先明确等量关系：剩余面积 = 长方形铁皮的面积 - 剪去的小正方形的面积。解题时先分别根据长方形、正方形的面积公式求出两个图形的面积，再代入等量关系，通过整式的乘法展开、去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
首先计算长方形铁皮的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $(3a + 2)(2a + 3)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$(3a + 2)(2a + 3) = 3a·2a + 3a·3 + 2·2a + 2·3 = 6a^2 + 9a + 4a + 6 = 6a^2 + 13a + 6$
再计算剪去的小正方形的面积：
正方形面积 = 边长×边长 = $(a - 1)^2$
根据完全平方公式展开：
$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$
剩余部分的面积 = 长方形面积 - 小正方形面积，即：
$(6a^2 + 13a + 6) - (a^2 - 2a + 1)$
去括号（注意括号前是负号，括号内各项要变号）：
$= 6a^2 + 13a + 6 - a^2 + 2a - 1$
合并同类项：
$= (6a^2 - a^2) + (13a + 2a) + (6 - 1) = 5a^2 + 15a + 5$
【答案】
$5a^2 + 15a + 5$
【知识点】
整式的运算，面积计算，完全平方公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合几何图形的面积关系考查整式的混合运算，解题时要注意去括号时的符号变化，合并同类项时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.8
要计算剩余部分的面积，首先明确等量关系：剩余面积 = 长方形铁皮的面积 - 剪去的小正方形的面积。解题时先分别根据长方形、正方形的面积公式求出两个图形的面积，再代入等量关系，通过整式的乘法展开、去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
首先计算长方形铁皮的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $(3a + 2)(2a + 3)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$(3a + 2)(2a + 3) = 3a·2a + 3a·3 + 2·2a + 2·3 = 6a^2 + 9a + 4a + 6 = 6a^2 + 13a + 6$
再计算剪去的小正方形的面积：
正方形面积 = 边长×边长 = $(a - 1)^2$
根据完全平方公式展开：
$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$
剩余部分的面积 = 长方形面积 - 小正方形面积，即：
$(6a^2 + 13a + 6) - (a^2 - 2a + 1)$
去括号（注意括号前是负号，括号内各项要变号）：
$= 6a^2 + 13a + 6 - a^2 + 2a - 1$
合并同类项：
$= (6a^2 - a^2) + (13a + 2a) + (6 - 1) = 5a^2 + 15a + 5$
【答案】
$5a^2 + 15a + 5$
【知识点】
整式的运算，面积计算，完全平方公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合几何图形的面积关系考查整式的混合运算，解题时要注意去括号时的符号变化，合并同类项时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.8
