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3.如图,某公园有一块长为$(4a+b)\mathrm{m}$、宽为$(2a+b)\mathrm{m}$的长方形空地,计划在其内部修建一个底座边长为$(a+b)\mathrm{m}$的正方形雕像,雕像左右两边修两条宽为$a\ \mathrm{m}$的长方形道路,其余部分(阴影部分)种植花卉.
(1)用含$a,b$的式子表示种植花卉的面积.
(2)公园管理处请专业绿化团队来完成种植任务,若$a=5,b=3$,且种植花卉成本为$80$元/$\mathrm{m}^2$,请求出种植花卉的总花费.
(1)用含$a,b$的式子表示种植花卉的面积.
(2)公园管理处请专业绿化团队来完成种植任务,若$a=5,b=3$,且种植花卉成本为$80$元/$\mathrm{m}^2$,请求出种植花卉的总花费.
答案
3.(1)种植花卉的面积$=(4a+b)(2a+b)-(a+b)^2-a[4a+b-(a+b)]$
$=8a^2+4ab+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2-3a^2=(4a^2+4ab)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=5,b=3$时,原式$=4×5^2+4×5×3=160$,
故种植花卉的总花费为$160×80=12800$元.
$=8a^2+4ab+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2-3a^2=(4a^2+4ab)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=5,b=3$时,原式$=4×5^2+4×5×3=160$,
故种植花卉的总花费为$160×80=12800$元.
解析
【分析】
(1) 求种植花卉的阴影面积可采用“整体面积减空白面积”的思路：先算出整块长方形空地的总面积，再减去中间正方形雕像的面积、两条长方形道路的面积即可。计算时结合长方形、正方形面积公式列出表达式，再通过整式乘法法则展开、合并同类项得到最终的面积表达式。
(2) 第二问将$a=5$、$b=3$代入第一问得到的面积表达式，算出实际种植面积后，乘以每平方米的种植成本即可得到总花费。
【解析】
(1) 大长方形空地的面积：$S_{\mathrm{总}}=(4a+b)(2a+b)$
正方形雕像的面积：$S_{\mathrm{雕像}}=(a+b)^2$
两条道路的总长度为大长方形的长减去雕像的边长：$4a+b-(a+b)=3a$，因此道路总面积：$S_{\mathrm{道路}}=a×3a=3a^2$
种植花卉的面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{花卉}}&=(4a+b)(2a+b)-(a+b)^2-a[4a+b-(a+b)]\\&=8a^2+4ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)-3a^2\\&=8a^2+6ab+b^2-a^2-2ab-b^2-3a^2\\&=4a^2+4ab\end{aligned}$
即种植花卉的面积为$(4a^2+4ab)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 当$a=5$，$b=3$时，代入面积表达式得：
$S_{\mathrm{花卉}}=4×5^2+4×5×3=100+60=160\ \mathrm{m}^2$
种植总花费为：$160×80=12800$元。
【答案】
(1) $\boxed{(4a^2+4ab)\ \mathrm{m}^2}$
(2) $\boxed{12800}$元
【知识点】
整式乘法运算，代数式求值，面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积与整式运算的结合应用，核心解题思路是利用“割补法”中的整体减空白表示不规则阴影面积，计算过程中要注意多项式乘法法则的正确运用以及合并同类项的准确性，代入求值时需细心计算避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求种植花卉的阴影面积可采用“整体面积减空白面积”的思路：先算出整块长方形空地的总面积，再减去中间正方形雕像的面积、两条长方形道路的面积即可。计算时结合长方形、正方形面积公式列出表达式，再通过整式乘法法则展开、合并同类项得到最终的面积表达式。
(2) 第二问将$a=5$、$b=3$代入第一问得到的面积表达式，算出实际种植面积后，乘以每平方米的种植成本即可得到总花费。
【解析】
(1) 大长方形空地的面积：$S_{\mathrm{总}}=(4a+b)(2a+b)$
正方形雕像的面积：$S_{\mathrm{雕像}}=(a+b)^2$
两条道路的总长度为大长方形的长减去雕像的边长：$4a+b-(a+b)=3a$，因此道路总面积：$S_{\mathrm{道路}}=a×3a=3a^2$
种植花卉的面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{花卉}}&=(4a+b)(2a+b)-(a+b)^2-a[4a+b-(a+b)]\\&=8a^2+4ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)-3a^2\\&=8a^2+6ab+b^2-a^2-2ab-b^2-3a^2\\&=4a^2+4ab\end{aligned}$
即种植花卉的面积为$(4a^2+4ab)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 当$a=5$，$b=3$时，代入面积表达式得：
$S_{\mathrm{花卉}}=4×5^2+4×5×3=100+60=160\ \mathrm{m}^2$
种植总花费为：$160×80=12800$元。
【答案】
(1) $\boxed{(4a^2+4ab)\ \mathrm{m}^2}$
(2) $\boxed{12800}$元
【知识点】
整式乘法运算，代数式求值，面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积与整式运算的结合应用，核心解题思路是利用“割补法”中的整体减空白表示不规则阴影面积，计算过程中要注意多项式乘法法则的正确运用以及合并同类项的准确性，代入求值时需细心计算避免出错。
【难度系数】
0.7
4.【阅读材料】(1)在数学课上,有这样一道题:已知$ m - n = 3 $，$ mn = 4 $，求$ (m + n)^2 $的值.
某数学学习小组发现,可以在不求$ m,n $的值的情况下,求出$ (m + n)^2 $的值.方法如下.
因为$ (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 $，$ (m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 $，所以$ (m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn $，即$ (m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn $，则$ (m + n)^2 = $
(2)若$ x $满足$ (x - 15)(10 - x) = 6 $，求$ (2x - 25)^2 $的值.
【解决问题】(3)如图,某校有一块长方形空地$ ABCD $，长$ AB $比宽$ AD $长4 m，为美化校园环境,该校计划要在长方形空地$ ABCD $中划出长方形$ AEFG $和长方形$ PQCH $，两个长方形的重合部分刚好建一个长为3 m、宽为2 m的喷泉水池$ PMFN $，并将长方形$ DQNG $和长方形$ BEMH $(阴影部分)区域建成花圃,且花圃总周长为42 m,求长方形空地$ ABCD $的面积.
某数学学习小组发现,可以在不求$ m,n $的值的情况下,求出$ (m + n)^2 $的值.方法如下.
因为$ (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 $，$ (m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 $，所以$ (m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn $，即$ (m + n)^2 = (m - n)^2 + 4mn $，则$ (m + n)^2 = $
25
.(2)若$ x $满足$ (x - 15)(10 - x) = 6 $，求$ (2x - 25)^2 $的值.
【解决问题】(3)如图,某校有一块长方形空地$ ABCD $，长$ AB $比宽$ AD $长4 m，为美化校园环境,该校计划要在长方形空地$ ABCD $中划出长方形$ AEFG $和长方形$ PQCH $，两个长方形的重合部分刚好建一个长为3 m、宽为2 m的喷泉水池$ PMFN $，并将长方形$ DQNG $和长方形$ BEMH $(阴影部分)区域建成花圃,且花圃总周长为42 m,求长方形空地$ ABCD $的面积.
答案
4.(1)$\because (m+n)^2=(m-n)^2+4mn$,且$m-n=3,mn=4$,
$\therefore (m+n)^2=3^2+4×4=9+16=25$.
故答案为25.
(2)设$a=x-15,b=10-x$,则$a+b=(x-15)+(10-x)=-5,ab=6,a-b=2x-25$.
$\because (a-b)^2=(a+b)^2-4ab,\therefore (a-b)^2=(-5)^2-4×6=25-24=1$,即$(2x-25)^2=1$.
(3)设$AB=a\ \mathrm{m},AD=b\ \mathrm{m}$.
根据题意得,$a-b=4,PN=MF=2\ \mathrm{m},PM=NF=3\ \mathrm{m}$,
$\therefore BE+MH+GN+DQ=2(a-3)=(2a-6)\ \mathrm{m}$,
$GD+QN+ME+BH=2(b-2)=(2b-4)\ \mathrm{m}$.
$\because$长方形$DQNG$和长方形$BEMH$的总周长为42 m,$\therefore 2a-6+2b-4=42$,即$a+b=26$.
$\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab,\therefore 26^2-4^2=4ab$,解得$ab=165$.
答:长方形空地$ABCD$的面积为$165\ \mathrm{m}^2$.
$\therefore (m+n)^2=3^2+4×4=9+16=25$.
故答案为25.
(2)设$a=x-15,b=10-x$,则$a+b=(x-15)+(10-x)=-5,ab=6,a-b=2x-25$.
$\because (a-b)^2=(a+b)^2-4ab,\therefore (a-b)^2=(-5)^2-4×6=25-24=1$,即$(2x-25)^2=1$.
(3)设$AB=a\ \mathrm{m},AD=b\ \mathrm{m}$.
根据题意得,$a-b=4,PN=MF=2\ \mathrm{m},PM=NF=3\ \mathrm{m}$,
$\therefore BE+MH+GN+DQ=2(a-3)=(2a-6)\ \mathrm{m}$,
$GD+QN+ME+BH=2(b-2)=(2b-4)\ \mathrm{m}$.
$\because$长方形$DQNG$和长方形$BEMH$的总周长为42 m,$\therefore 2a-6+2b-4=42$,即$a+b=26$.
$\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab,\therefore 26^2-4^2=4ab$,解得$ab=165$.
答:长方形空地$ABCD$的面积为$165\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
本题围绕完全平方公式的变形应用展开，核心是利用整体代入思想简化计算：
(1) 直接使用推导得到的$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$的关系，代入已知的$m-n$和$mn$的值即可计算，无需单独求解m、n。
(2) 通过设参数将已知式和所求式关联，把$(2x-25)^2$转化为$(a-b)^2$，再利用完全平方公式的变形代入计算即可。
(3) 先设大长方形的长、宽分别为a、b，先根据题意得到长与宽的差，再分析阴影周长推导得到长与宽的和，最后利用完全平方公式变形求出长和宽的乘积，即大长方形的面积。
【解析】
(1) 由推导结论得$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$，将$m-n=3$，$mn=4$代入：
$\begin{aligned}(m+n)^2&=3^2+4×4\\&=9+16\\&=25\end{aligned}$
(2) 设$a=x-15$，$b=10-x$，则：
$a+b=(x-15)+(10-x)=-5$，$ab=6$，$a-b=(x-15)-(10-x)=2x-25$
根据完全平方公式变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入数值：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=(-5)^2-4×6\\&=25-24\\&=1\end{aligned}$
即$(2x-25)^2=1$。
(3) 设长方形空地$AB=a\ \mathrm{m}$，$AD=b\ \mathrm{m}$，由题意得$a-b=4$，喷泉水池长$3\ \mathrm{m}$、宽$2\ \mathrm{m}$，即$PM=NF=3\ \mathrm{m}$，$PN=MF=2\ \mathrm{m}$。
阴影部分总周长的水平方向边长总和为$2(a-3)=2a-6$，竖直方向边长总和为$2(b-2)=2b-4$。
已知花圃总周长为42m，因此：
$\begin{aligned}2a-6+2b-4&=42\\2(a+b)&=52\\a+b&=26\end{aligned}$
根据完全平方公式变形$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，代入$a+b=26$、$a-b=4$：
$\begin{aligned}26^2-4^2&=4ab\\676-16&=4ab\\ab&=165\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{25}$；(2) $\boxed{1}$；(3) 长方形空地$ABCD$的面积为$\boxed{165\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
完全平方公式的应用，整体代入法，长方形周长与面积计算
【点评】
本题重点考查完全平方公式的变形应用，通过整体代入思想避免了求解单个未知量，大幅简化了计算步骤；第三问结合实际几何场景，需要先根据图形边长关系推导得到大长方形长宽的和与差，再利用公式计算面积，兼顾了代数运算能力和几何图形分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题围绕完全平方公式的变形应用展开，核心是利用整体代入思想简化计算：
(1) 直接使用推导得到的$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$的关系，代入已知的$m-n$和$mn$的值即可计算，无需单独求解m、n。
(2) 通过设参数将已知式和所求式关联，把$(2x-25)^2$转化为$(a-b)^2$，再利用完全平方公式的变形代入计算即可。
(3) 先设大长方形的长、宽分别为a、b，先根据题意得到长与宽的差，再分析阴影周长推导得到长与宽的和，最后利用完全平方公式变形求出长和宽的乘积，即大长方形的面积。
【解析】
(1) 由推导结论得$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$，将$m-n=3$，$mn=4$代入：
$\begin{aligned}(m+n)^2&=3^2+4×4\\&=9+16\\&=25\end{aligned}$
(2) 设$a=x-15$，$b=10-x$，则：
$a+b=(x-15)+(10-x)=-5$，$ab=6$，$a-b=(x-15)-(10-x)=2x-25$
根据完全平方公式变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入数值：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=(-5)^2-4×6\\&=25-24\\&=1\end{aligned}$
即$(2x-25)^2=1$。
(3) 设长方形空地$AB=a\ \mathrm{m}$，$AD=b\ \mathrm{m}$，由题意得$a-b=4$，喷泉水池长$3\ \mathrm{m}$、宽$2\ \mathrm{m}$，即$PM=NF=3\ \mathrm{m}$，$PN=MF=2\ \mathrm{m}$。
阴影部分总周长的水平方向边长总和为$2(a-3)=2a-6$，竖直方向边长总和为$2(b-2)=2b-4$。
已知花圃总周长为42m，因此：
$\begin{aligned}2a-6+2b-4&=42\\2(a+b)&=52\\a+b&=26\end{aligned}$
根据完全平方公式变形$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，代入$a+b=26$、$a-b=4$：
$\begin{aligned}26^2-4^2&=4ab\\676-16&=4ab\\ab&=165\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{25}$；(2) $\boxed{1}$；(3) 长方形空地$ABCD$的面积为$\boxed{165\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
完全平方公式的应用，整体代入法，长方形周长与面积计算
【点评】
本题重点考查完全平方公式的变形应用，通过整体代入思想避免了求解单个未知量，大幅简化了计算步骤；第三问结合实际几何场景，需要先根据图形边长关系推导得到大长方形长宽的和与差，再利用公式计算面积，兼顾了代数运算能力和几何图形分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
