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1.如图,某小区有一块长$(3a+2b)m$、宽$(2a+b)m$的长方形空地,物业规划了一块长方形草坪(阴影部分),草坪的三面都留有宽度为$a$ m的小路(空白部分).
(1)求该长方形草坪(阴影部分)的面积.(用含$a,b$的代数式表示)
(2)若$a=5,b=8$,种植草坪的价格为每平方米30元,那么种植草坪需要多少元?
(1)求该长方形草坪(阴影部分)的面积.(用含$a,b$的代数式表示)
(2)若$a=5,b=8$,种植草坪的价格为每平方米30元,那么种植草坪需要多少元?
答案
1.(1)$(3a+2b-2a)(2a+b-a)=(a+2b)(a+b)=(a^2+3ab+2b^2)\mathrm{m}^2$.
答:该长方形草坪的面积为$(a^2+3ab+2b^2)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=5,b=8$时,$a^2+3ab+2b^2=5^2+3×5×8+2×8^2=273,273×30=8190$(元).
答:种植草坪需要8190元.
答:该长方形草坪的面积为$(a^2+3ab+2b^2)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=5,b=8$时,$a^2+3ab+2b^2=5^2+3×5×8+2×8^2=273,273×30=8190$(元).
答:种植草坪需要8190元.
解析
【分析】
（1）要求阴影长方形草坪的面积，需先确定草坪的长和宽：观察图形可知，大长方形的长为$(3a+2b)\mathrm{m}$，草坪左右两侧的小路宽均为$a\ \mathrm{m}$，因此草坪的长=大长方形的长$-2a$；大长方形的宽为$(2a+b)\mathrm{m}$，草坪上方的小路宽为$a\ \mathrm{m}$，因此草坪的宽=大长方形的宽$-a$，再根据长方形面积=长×宽，代入代数式展开化简即可。
（2）将$a=5$、$b=8$代入第（1）问得到的面积代数式，求出草坪的实际面积，再乘每平方米的种植价格，即可得到总费用。
【解析】
(1) 先计算阴影草坪的长和宽：
草坪的长：$(3a+2b) - 2a = a+2b$（$\mathrm{m}$）
草坪的宽：$(2a+b) - a = a+b$（$\mathrm{m}$）
根据长方形面积公式，草坪面积为：
$\begin{aligned}&(a+2b)(a+b)\\=&a^2 + ab + 2ab + 2b^2\\=&a^2 + 3ab + 2b^2\end{aligned}$
答：该长方形草坪的面积为$(a^2+3ab+2b^2)\mathrm{m}^2$。
(2) 把$a=5$，$b=8$代入$a^2+3ab+2b^2$得：
$\begin{aligned}&5^2 + 3×5×8 + 2×8^2\\=&25 + 120 + 128\\=&273\end{aligned}$
总费用：$273×30=8190$（元）
答：种植草坪需要8190元。
【答案】
(1) $(a^2+3ab+2b^2)\mathrm{m}^2$
(2) $8190$元
【知识点】
长方形面积计算，多项式乘多项式，代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景考查整式乘法的应用，解题的核心是结合图形正确推导阴影部分的长和宽，再代入对应公式计算，能有效锻炼学生的图形分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）要求阴影长方形草坪的面积，需先确定草坪的长和宽：观察图形可知，大长方形的长为$(3a+2b)\mathrm{m}$，草坪左右两侧的小路宽均为$a\ \mathrm{m}$，因此草坪的长=大长方形的长$-2a$；大长方形的宽为$(2a+b)\mathrm{m}$，草坪上方的小路宽为$a\ \mathrm{m}$，因此草坪的宽=大长方形的宽$-a$，再根据长方形面积=长×宽，代入代数式展开化简即可。
（2）将$a=5$、$b=8$代入第（1）问得到的面积代数式，求出草坪的实际面积，再乘每平方米的种植价格，即可得到总费用。
【解析】
(1) 先计算阴影草坪的长和宽：
草坪的长：$(3a+2b) - 2a = a+2b$（$\mathrm{m}$）
草坪的宽：$(2a+b) - a = a+b$（$\mathrm{m}$）
根据长方形面积公式，草坪面积为：
$\begin{aligned}&(a+2b)(a+b)\\=&a^2 + ab + 2ab + 2b^2\\=&a^2 + 3ab + 2b^2\end{aligned}$
答：该长方形草坪的面积为$(a^2+3ab+2b^2)\mathrm{m}^2$。
(2) 把$a=5$，$b=8$代入$a^2+3ab+2b^2$得：
$\begin{aligned}&5^2 + 3×5×8 + 2×8^2\\=&25 + 120 + 128\\=&273\end{aligned}$
总费用：$273×30=8190$（元）
答：种植草坪需要8190元。
【答案】
(1) $(a^2+3ab+2b^2)\mathrm{m}^2$
(2) $8190$元
【知识点】
长方形面积计算，多项式乘多项式，代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景考查整式乘法的应用，解题的核心是结合图形正确推导阴影部分的长和宽，再代入对应公式计算，能有效锻炼学生的图形分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
2.在数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②所示的大正方形。
(1)观察图②，请你写出三个代数式$(a+b)^2,a^2+b^2,ab$之间的数量关系：
(2)根据(1)中的等量关系，解决下列问题。
①已知$a+b=7,a^2+b^2=33$，求$ab$的值。
②已知$(2026-a)^2+(a-2025)^2=9$，求$(2026-a)(a-2025)$的值。
(1)观察图②，请你写出三个代数式$(a+b)^2,a^2+b^2,ab$之间的数量关系：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
。(2)根据(1)中的等量关系，解决下列问题。
①已知$a+b=7,a^2+b^2=33$，求$ab$的值。
②已知$(2026-a)^2+(a-2025)^2=9$，求$(2026-a)(a-2025)$的值。
答案
2.(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2)①$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,a^2+b^2=33,a+b=7$,
$\therefore ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{7^2-33}{2}=8$.
②令$2026-a=m,a-2025=n$,
$\therefore m^2+n^2=9,m+n=2026-a+a-2025=1$.
$\because (m+n)^2=m^2+2mn+n^2$,
$\therefore 1^2=9+2mn$,解得$mn=-4$,$\therefore (2026-a)(a-2025)=-4$.
(2)①$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,a^2+b^2=33,a+b=7$,
$\therefore ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{7^2-33}{2}=8$.
②令$2026-a=m,a-2025=n$,
$\therefore m^2+n^2=9,m+n=2026-a+a-2025=1$.
$\because (m+n)^2=m^2+2mn+n^2$,
$\therefore 1^2=9+2mn$,解得$mn=-4$,$\therefore (2026-a)(a-2025)=-4$.
解析
【分析】
第(1)问：可通过两种方法计算图②中大正方形的面积推导数量关系：一是直接用边长$(a+b)$计算面积为$(a+b)^2$，二是计算四个小图形的面积和为$a^2+b^2+2ab$，两者相等即可得到代数式的关系。
第(2)问①：直接利用(1)得到的完全平方公式变形，将$ab$用已知的$a+b$和$a^2+b^2$表示，代入数值计算即可。
第(2)问②：直接展开计算较复杂，采用换元法，设$2026-a=m$，$a-2025=n$，先求出$m+n$的值，再结合已知的$m^2+n^2$，利用完全平方公式变形求$mn$即可。
【解析】
(1) 图②中大正方形的面积可表示为：
方法1：由边长为$a+b$，得面积为$(a+b)^2$；
方法2：由1个A类正方形、1个B类正方形、2个C类长方形的面积和，得面积为$a^2+b^2+2ab$。
两种方式计算的是同一图形的面积，因此$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(2) ① 由(1)的结论变形可得：$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，
将$a+b=7$，$a^2+b^2=33$代入上式：
$ab=\frac{7^2-33}{2}=\frac{49-33}{2}=8$。
② 设$2026-a=m$，$a-2025=n$，
由题意得$m^2+n^2=9$，且$m+n=(2026-a)+(a-2025)=1$，
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
代入已知条件得：$1^2=9+2mn$，
解得$mn=\frac{1-9}{2}=-4$，即$(2026-a)(a-2025)=-4$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2) ① $ab=8$；② $(2026-a)(a-2025)=-4$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，换元思想
【点评】
本题结合几何图形面积推导完全平方公式，考查公式的变形应用，换元法可以有效简化复杂代数式的计算，解题时要熟练掌握完全平方公式的变形，灵活运用整体思想求解。
【难度系数】
0.7
第(1)问：可通过两种方法计算图②中大正方形的面积推导数量关系：一是直接用边长$(a+b)$计算面积为$(a+b)^2$，二是计算四个小图形的面积和为$a^2+b^2+2ab$，两者相等即可得到代数式的关系。
第(2)问①：直接利用(1)得到的完全平方公式变形，将$ab$用已知的$a+b$和$a^2+b^2$表示，代入数值计算即可。
第(2)问②：直接展开计算较复杂，采用换元法，设$2026-a=m$，$a-2025=n$，先求出$m+n$的值，再结合已知的$m^2+n^2$，利用完全平方公式变形求$mn$即可。
【解析】
(1) 图②中大正方形的面积可表示为：
方法1：由边长为$a+b$，得面积为$(a+b)^2$；
方法2：由1个A类正方形、1个B类正方形、2个C类长方形的面积和，得面积为$a^2+b^2+2ab$。
两种方式计算的是同一图形的面积，因此$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(2) ① 由(1)的结论变形可得：$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，
将$a+b=7$，$a^2+b^2=33$代入上式：
$ab=\frac{7^2-33}{2}=\frac{49-33}{2}=8$。
② 设$2026-a=m$，$a-2025=n$，
由题意得$m^2+n^2=9$，且$m+n=(2026-a)+(a-2025)=1$，
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
代入已知条件得：$1^2=9+2mn$，
解得$mn=\frac{1-9}{2}=-4$，即$(2026-a)(a-2025)=-4$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2) ① $ab=8$；② $(2026-a)(a-2025)=-4$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，换元思想
【点评】
本题结合几何图形面积推导完全平方公式，考查公式的变形应用，换元法可以有效简化复杂代数式的计算，解题时要熟练掌握完全平方公式的变形，灵活运用整体思想求解。
【难度系数】
0.7
