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6.先化简,再求值:$[(x^{2}+2xy)(x-2xy)-4x^{2}(x-\frac{1}{2}xy)]÷(-2x)^{2}$.其中 $x=4,y=2.$
答案
6.原式$=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}y-y^2$,代入$x,y$的值,原式$=-6.$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题需遵循整式混合运算的顺序思考：第一步先算乘方，先计算除式$(-2x)^2$的结果；第二步算中括号内的乘法，分别计算多项式乘多项式$(x^2+2xy)(x-2xy)$、单项式乘多项式$4x^2(x-\frac{1}{2}xy)$，再去括号合并同类项，化简中括号内的式子；第三步将中括号的化简结果除以第一步得到的除式，得到最简整式；最后将$x=4,y=2$代入最简式计算数值即可。计算时要注意去括号的符号规则，避免漏乘、错算系数。
【解析】
先计算乘方：$(-2x)^2=4x^2$
再化简中括号内的式子：
$\begin{aligned}&(x^2+2xy)(x-2xy)-4x^2(x-\frac{1}{2}xy)\\=&x^2· x + x^2·(-2xy) + 2xy· x + 2xy·(-2xy) - (4x^2· x - 4x^2·\frac{1}{2}xy)\\=&x^3 - 2x^3y + 2x^2y - 4x^2y^2 - 4x^3 + 2x^3y\\=&(x^3 - 4x^3) + (-2x^3y + 2x^3y) + 2x^2y - 4x^2y^2\\=&-3x^3 + 2x^2y - 4x^2y^2\end{aligned}$
再做除法运算：
$\begin{aligned}&(-3x^3 + 2x^2y - 4x^2y^2)÷ 4x^2\\=&-3x^3÷4x^2 + 2x^2y÷4x^2 -4x^2y^2÷4x^2\\=&-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y - y^2\end{aligned}$
代入$x=4,y=2$计算：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{3}{4}×4 + \frac{1}{2}×2 - 2^2\\&=-3 +1 -4\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
$-6$
【知识点】
整式混合运算；合并同类项；化简求值
【点评】
本题属于常规的整式运算类题目，核心是牢记整式混合运算的顺序，计算时要注意去括号的符号变化，多项式乘除运算时不要漏乘项，合并同类项和代值计算时要细心核对系数和指数，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道整式化简求值题，解题需遵循整式混合运算的顺序思考：第一步先算乘方，先计算除式$(-2x)^2$的结果；第二步算中括号内的乘法，分别计算多项式乘多项式$(x^2+2xy)(x-2xy)$、单项式乘多项式$4x^2(x-\frac{1}{2}xy)$，再去括号合并同类项，化简中括号内的式子；第三步将中括号的化简结果除以第一步得到的除式，得到最简整式；最后将$x=4,y=2$代入最简式计算数值即可。计算时要注意去括号的符号规则，避免漏乘、错算系数。
【解析】
先计算乘方：$(-2x)^2=4x^2$
再化简中括号内的式子：
$\begin{aligned}&(x^2+2xy)(x-2xy)-4x^2(x-\frac{1}{2}xy)\\=&x^2· x + x^2·(-2xy) + 2xy· x + 2xy·(-2xy) - (4x^2· x - 4x^2·\frac{1}{2}xy)\\=&x^3 - 2x^3y + 2x^2y - 4x^2y^2 - 4x^3 + 2x^3y\\=&(x^3 - 4x^3) + (-2x^3y + 2x^3y) + 2x^2y - 4x^2y^2\\=&-3x^3 + 2x^2y - 4x^2y^2\end{aligned}$
再做除法运算：
$\begin{aligned}&(-3x^3 + 2x^2y - 4x^2y^2)÷ 4x^2\\=&-3x^3÷4x^2 + 2x^2y÷4x^2 -4x^2y^2÷4x^2\\=&-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y - y^2\end{aligned}$
代入$x=4,y=2$计算：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{3}{4}×4 + \frac{1}{2}×2 - 2^2\\&=-3 +1 -4\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
$-6$
【知识点】
整式混合运算；合并同类项；化简求值
【点评】
本题属于常规的整式运算类题目，核心是牢记整式混合运算的顺序，计算时要注意去括号的符号变化，多项式乘除运算时不要漏乘项，合并同类项和代值计算时要细心核对系数和指数，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
7.阅读下列材料,回答问题.
材料一:我们定义一种新运算:我们把形如$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$这样的式子叫作“行列式”,行列式的运算方式是$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$.例如,$\begin{vmatrix} 2&3 \\5&6 \end{vmatrix}=2×6 -3×5=12-15=-3$;$\begin{vmatrix} x&3 \\x&4 \end{vmatrix}=4x -3x=x$.
材料二:在探究$(x-y)^3=$?的时候,我们利用多项式和多项式的乘法将其打开:$(x-y)^3=(x-y)(x-y)(x-y)=(x^2-2xy+y^2)(x-y)=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$,我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”.按同样的方法可得出“和的完全立方公式”为$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$.这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中.
(1)计算:$\begin{vmatrix}5&4 \\8&9 \end{vmatrix}=$ ______ ;$a^3-3a^2+3a-1=$ ______ .
(2)已知$x+y=3,xy=1$,求$x^3+y^3$的值.
(3)已知$m=x-1,n=x+2,mn=5$,求$\begin{vmatrix} m&3m^2+n^2 \\n&m^2+3n^2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} m+n&-2n \\n&m-n \end{vmatrix}$的值.
材料一:我们定义一种新运算:我们把形如$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$这样的式子叫作“行列式”,行列式的运算方式是$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$.例如,$\begin{vmatrix} 2&3 \\5&6 \end{vmatrix}=2×6 -3×5=12-15=-3$;$\begin{vmatrix} x&3 \\x&4 \end{vmatrix}=4x -3x=x$.
材料二:在探究$(x-y)^3=$?的时候,我们利用多项式和多项式的乘法将其打开:$(x-y)^3=(x-y)(x-y)(x-y)=(x^2-2xy+y^2)(x-y)=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$,我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”.按同样的方法可得出“和的完全立方公式”为$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$.这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中.
(1)计算:$\begin{vmatrix}5&4 \\8&9 \end{vmatrix}=$ ______ ;$a^3-3a^2+3a-1=$ ______ .
(2)已知$x+y=3,xy=1$,求$x^3+y^3$的值.
(3)已知$m=x-1,n=x+2,mn=5$,求$\begin{vmatrix} m&3m^2+n^2 \\n&m^2+3n^2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} m+n&-2n \\n&m-n \end{vmatrix}$的值.
答案
7.(1)13 $(a-1)^3$ (2)18. (3)$-8.$
解析
【分析】
（1）第一小问直接根据题干给出的行列式运算法则“ad-bc”代入计算即可；第二小问对照差的完全立方公式的结构特征，逆用公式变形即可。
（2）利用和的完全立方公式变形，将$x^3+y^3$用含$(x+y)$和$xy$的式子表示，再整体代入已知条件计算即可。
（3）先根据行列式运算法则将两个行列式分别展开化简，再根据$m$、$n$的表达式求出$n-m$的值，结合已知$mn=5$，利用乘法公式变形后整体代入计算，无需单独求出$x$的值。
【解析】
（1）①根据行列式运算规则：
$\begin{vmatrix}5&4 \\8&9 \end{vmatrix}=5×9 - 4×8=45-32=13$
②对照差的完全立方公式$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$，对$a^3-3a^2+3a-1$逆用公式得：
$a^3-3a^2×1 + 3a×1^2 - 1^3=(a-1)^3$
（2）由和的完全立方公式$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$，变形得：
$x^3+y^3=(x+y)^3 - 3xy(x+y)$
将$x+y=3,xy=1$代入上式：
原式$=3^3 - 3×1×3=27-9=18$
（3）先分别计算两个行列式：
第一个行列式：
$\begin{vmatrix} m&3m^2+n^2 \\n&m^2+3n^2 \end{vmatrix}=m(m^2+3n^2)-n(3m^2+n^2)=m^3+3mn^2-3m^2n-n^3$
第二个行列式：
$\begin{vmatrix} m+n&-2n \\n&m-n \end{vmatrix}=(m+n)(m-n)-(-2n)×n=m^2-n^2+2n^2=m^2+n^2$
将两个结果相加整理得：
原式$=m^3-n^3 + 3mn(n-m) + m^2+n^2$
由$m=x-1,n=x+2$，得$n-m=(x+2)-(x-1)=3$，即$m-n=-3$
已知$mn=5$，则：
$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn=(-3)^2+2×5=19$
$m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)=(-3)×(19+5)=-72$
$3mn(n-m)=3×5×3=45$
将以上结果代入得：
原式$=-72 + 45 +19=-8$
【答案】
(1)$13$；$(a-1)^3$ (2)$18$ (3)$-8$
【知识点】
新定义运算，完全立方公式，整式化简求值
【点评】
本题结合新定义运算考查整式的化简求值，核心是整体代入思想的运用，解题时需先准确理解新运算的规则，再灵活运用乘法公式对式子变形，避免单独求解未知数，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问直接根据题干给出的行列式运算法则“ad-bc”代入计算即可；第二小问对照差的完全立方公式的结构特征，逆用公式变形即可。
（2）利用和的完全立方公式变形，将$x^3+y^3$用含$(x+y)$和$xy$的式子表示，再整体代入已知条件计算即可。
（3）先根据行列式运算法则将两个行列式分别展开化简，再根据$m$、$n$的表达式求出$n-m$的值，结合已知$mn=5$，利用乘法公式变形后整体代入计算，无需单独求出$x$的值。
【解析】
（1）①根据行列式运算规则：
$\begin{vmatrix}5&4 \\8&9 \end{vmatrix}=5×9 - 4×8=45-32=13$
②对照差的完全立方公式$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$，对$a^3-3a^2+3a-1$逆用公式得：
$a^3-3a^2×1 + 3a×1^2 - 1^3=(a-1)^3$
（2）由和的完全立方公式$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$，变形得：
$x^3+y^3=(x+y)^3 - 3xy(x+y)$
将$x+y=3,xy=1$代入上式：
原式$=3^3 - 3×1×3=27-9=18$
（3）先分别计算两个行列式：
第一个行列式：
$\begin{vmatrix} m&3m^2+n^2 \\n&m^2+3n^2 \end{vmatrix}=m(m^2+3n^2)-n(3m^2+n^2)=m^3+3mn^2-3m^2n-n^3$
第二个行列式：
$\begin{vmatrix} m+n&-2n \\n&m-n \end{vmatrix}=(m+n)(m-n)-(-2n)×n=m^2-n^2+2n^2=m^2+n^2$
将两个结果相加整理得：
原式$=m^3-n^3 + 3mn(n-m) + m^2+n^2$
由$m=x-1,n=x+2$，得$n-m=(x+2)-(x-1)=3$，即$m-n=-3$
已知$mn=5$，则：
$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn=(-3)^2+2×5=19$
$m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)=(-3)×(19+5)=-72$
$3mn(n-m)=3×5×3=45$
将以上结果代入得：
原式$=-72 + 45 +19=-8$
【答案】
(1)$13$；$(a-1)^3$ (2)$18$ (3)$-8$
【知识点】
新定义运算，完全立方公式，整式化简求值
【点评】
本题结合新定义运算考查整式的化简求值，核心是整体代入思想的运用，解题时需先准确理解新运算的规则，再灵活运用乘法公式对式子变形，避免单独求解未知数，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
