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1.关于二次函数$y=(x+2)^2 -3$的最值，下列叙述正确的是（）
A.当$x=2$时，有最大值$-3$
B.当$x=-2$时，有最大值$-3$
C.当$x=2$时，有最小值$-3$
D.当$x=-2$时，有最小值$-3$
A.当$x=2$时，有最大值$-3$
B.当$x=-2$时，有最大值$-3$
C.当$x=2$时，有最小值$-3$
D.当$x=-2$时，有最小值$-3$
答案
D
解析
【分析】
解决本题需要先明确二次函数顶点式的性质：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，首先根据二次项系数$a$的正负判断函数有最大值还是最小值：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。最值在顶点处取得，顶点横坐标为$h$，最值为$k$。接下来对应题干中的函数解析式，确定参数$a$、$h$、$k$的值，即可判断最值情况，匹配正确选项。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x+2)^2 -3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式：
1. 确定二次项系数：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，函数有最小值；
2. 确定顶点坐标：将解析式变形为$y=(x-(-2))^2 + (-3)$，可得$h=-2$，$k=-3$，即顶点坐标为$(-2,-3)$；
3. 得出最值结论：当$x=-2$时，函数取得最小值$-3$，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的最值、二次函数开口性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题目，核心是掌握顶点式中各参数的含义，明确开口方向和最值类型的对应关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先明确二次函数顶点式的性质：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，首先根据二次项系数$a$的正负判断函数有最大值还是最小值：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。最值在顶点处取得，顶点横坐标为$h$，最值为$k$。接下来对应题干中的函数解析式，确定参数$a$、$h$、$k$的值，即可判断最值情况，匹配正确选项。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x+2)^2 -3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式：
1. 确定二次项系数：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，函数有最小值；
2. 确定顶点坐标：将解析式变形为$y=(x-(-2))^2 + (-3)$，可得$h=-2$，$k=-3$，即顶点坐标为$(-2,-3)$；
3. 得出最值结论：当$x=-2$时，函数取得最小值$-3$，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的最值、二次函数开口性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题目，核心是掌握顶点式中各参数的含义，明确开口方向和最值类型的对应关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，有一块正方形花圃，正中间有一个圆形水池，圆周上的点到正方形各边的最短距离均为3 m。设花圃中除水池外的面积为$y\ \mathrm{m}^2$，水池的半径为$x\ \mathrm{m}$，则$y$与$x$之间的函数关系式为（）
A.$y=(x+3)^2 - π x^2$
B.$y=4(x+3)^2$
C.$y=4(x+3)^2 - π x^2$
D.$y=(x+3)^2$
A.$y=(x+3)^2 - π x^2$
B.$y=4(x+3)^2$
C.$y=4(x+3)^2 - π x^2$
D.$y=(x+3)^2$
答案
C
解析
【分析】
要确定y与x的函数关系式，首先明确花圃除水池外的面积=正方形花圃的面积 - 圆形水池的面积，因此只需分别求出两个图形的面积即可。首先结合图形对称性分析正方形的边长：圆形在正方形正中间，圆周到正方形各边最短距离为3m，水池半径为x，那么圆心（即正方形中心）到每边的距离为(x+3)m，因此正方形的边长是2倍的该距离，即2(x+3)m，再分别代入面积公式计算作差即可。
【解析】
1. 求正方形花圃的边长：
由于圆形水池在正方形正中心，圆周上的点到正方形各边的最短距离为3m，水池半径为x m，因此正方形中心（圆心）到任意一边的距离为$(x+3)\ \mathrm{m}$，正方形边长为$2(x+3)\ \mathrm{m}$。
2. 计算正方形面积：
$S_{\mathrm{正方形}}=[2(x+3)]^2=4(x+3)^2\ \mathrm{m}^2$
3. 计算圆形水池面积：
$S_{\mathrm{水池}}=π x^2\ \mathrm{m}^2$
4. 求除水池外的面积y：
$y=S_{\mathrm{正方形}}-S_{\mathrm{水池}}=4(x+3)^2 - π x^2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
列函数关系式、正方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题关键是利用图形的对称性准确求出正方形的边长，再结合面积公式即可列出对应的函数关系式，易错点是误将正方形边长认为是$(x+3)$，忽略了中心到两边的距离之和才是边长。
【难度系数】
0.7
要确定y与x的函数关系式，首先明确花圃除水池外的面积=正方形花圃的面积 - 圆形水池的面积，因此只需分别求出两个图形的面积即可。首先结合图形对称性分析正方形的边长：圆形在正方形正中间，圆周到正方形各边最短距离为3m，水池半径为x，那么圆心（即正方形中心）到每边的距离为(x+3)m，因此正方形的边长是2倍的该距离，即2(x+3)m，再分别代入面积公式计算作差即可。
【解析】
1. 求正方形花圃的边长：
由于圆形水池在正方形正中心，圆周上的点到正方形各边的最短距离为3m，水池半径为x m，因此正方形中心（圆心）到任意一边的距离为$(x+3)\ \mathrm{m}$，正方形边长为$2(x+3)\ \mathrm{m}$。
2. 计算正方形面积：
$S_{\mathrm{正方形}}=[2(x+3)]^2=4(x+3)^2\ \mathrm{m}^2$
3. 计算圆形水池面积：
$S_{\mathrm{水池}}=π x^2\ \mathrm{m}^2$
4. 求除水池外的面积y：
$y=S_{\mathrm{正方形}}-S_{\mathrm{水池}}=4(x+3)^2 - π x^2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
列函数关系式、正方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题关键是利用图形的对称性准确求出正方形的边长，再结合面积公式即可列出对应的函数关系式，易错点是误将正方形边长认为是$(x+3)$，忽略了中心到两边的距离之和才是边长。
【难度系数】
0.7
3.已知一个正方体的棱长为 3 cm，当棱长增加x cm时，正方体的表面积增加y cm²，则y与x之间的函数关系式为。
答案
解：
原正方体的表面积为 $6×3^2 = 54\ \mathrm{cm}^2$。
棱长增加$x\ \mathrm{cm}$后，新正方体的棱长为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，此时总表面积为$6(3+x)^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据表面积增加量的关系列等式：
$\begin{aligned}y&=6(3+x)^2 - 54\\&=6(x^2+6x+9)-54\\&=6x^2+36x+54-54\\&=6x^2+36x \quad (x≥0)\end{aligned}$
答：$y$与$x$之间的函数关系式为 $\boldsymbol{y=6x^2+36x\ (x≥0)}$。
原正方体的表面积为 $6×3^2 = 54\ \mathrm{cm}^2$。
棱长增加$x\ \mathrm{cm}$后，新正方体的棱长为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，此时总表面积为$6(3+x)^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据表面积增加量的关系列等式：
$\begin{aligned}y&=6(3+x)^2 - 54\\&=6(x^2+6x+9)-54\\&=6x^2+36x+54-54\\&=6x^2+36x \quad (x≥0)\end{aligned}$
答：$y$与$x$之间的函数关系式为 $\boldsymbol{y=6x^2+36x\ (x≥0)}$。
解析
【分析】
要推导y与x的函数关系式，首先明确等量关系：增加的表面积=棱长增加后的新正方体表面积 - 原正方体表面积。第一步先回忆正方体表面积公式$S=6a^2$（$a$为棱长），计算原正方体的表面积；第二步表示出棱长增加$x$后的新棱长，计算新正方体的表面积；第三步用新表面积减去原表面积得到$y$的表达式，化简后再结合$x$的实际意义确定自变量取值范围即可。
【解析】
解：首先计算原正方体的表面积：
原正方体棱长为3cm，表面积为 $6× 3^2 = 54\ \mathrm{cm}^2$
棱长增加$x\ \mathrm{cm}$后，新正方体的棱长为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，此时新正方体的表面积为 $6(3+x)^2\ \mathrm{cm}^2$
根据增加的表面积=新表面积-原表面积，列式得：
$\begin{aligned}y&=6(3+x)^2 - 54\\&=6(x^2+6x+9)-54\\&=6x^2+36x+54-54\\&=6x^2+36x\end{aligned}$
由于棱长的增加量为非负数，因此自变量取值范围为$x≥0$。
【答案】
$\boldsymbol{y=6x^2+36x\ (x≥0)}$
【知识点】
正方体表面积计算；列函数关系式；整式化简
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是抓住表面积变化的等量关系，结合几何公式列式化简，需要注意结合实际意义补充自变量的取值范围，避免漏写导致表达式不完整。
【难度系数】
0.8
要推导y与x的函数关系式，首先明确等量关系：增加的表面积=棱长增加后的新正方体表面积 - 原正方体表面积。第一步先回忆正方体表面积公式$S=6a^2$（$a$为棱长），计算原正方体的表面积；第二步表示出棱长增加$x$后的新棱长，计算新正方体的表面积；第三步用新表面积减去原表面积得到$y$的表达式，化简后再结合$x$的实际意义确定自变量取值范围即可。
【解析】
解：首先计算原正方体的表面积：
原正方体棱长为3cm，表面积为 $6× 3^2 = 54\ \mathrm{cm}^2$
棱长增加$x\ \mathrm{cm}$后，新正方体的棱长为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，此时新正方体的表面积为 $6(3+x)^2\ \mathrm{cm}^2$
根据增加的表面积=新表面积-原表面积，列式得：
$\begin{aligned}y&=6(3+x)^2 - 54\\&=6(x^2+6x+9)-54\\&=6x^2+36x+54-54\\&=6x^2+36x\end{aligned}$
由于棱长的增加量为非负数，因此自变量取值范围为$x≥0$。
【答案】
$\boldsymbol{y=6x^2+36x\ (x≥0)}$
【知识点】
正方体表面积计算；列函数关系式；整式化简
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是抓住表面积变化的等量关系，结合几何公式列式化简，需要注意结合实际意义补充自变量的取值范围，避免漏写导致表达式不完整。
【难度系数】
0.8
4.若一个直角三角形的两条直角边的长度之和为10 cm，则该直角三角形的最大面积为。
答案
解：设该直角三角形的一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (10 - x) \, \mathrm{cm} $，三角形面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列面积公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(10 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 5x \quad (0＜x＜10)\end{aligned}$
二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，该二次函数图象开口向下，S存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})} = 5 $时，代入得：
$ S_{\mathrm{max}} = -\frac{1}{2} × 5^2 + 5×5 = 12.5 $
答：该直角三角形的最大面积为$\boldsymbol{12.5\ \mathrm{cm}^2}$。
根据题意列面积公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(10 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 5x \quad (0＜x＜10)\end{aligned}$
二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，该二次函数图象开口向下，S存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})} = 5 $时，代入得：
$ S_{\mathrm{max}} = -\frac{1}{2} × 5^2 + 5×5 = 12.5 $
答：该直角三角形的最大面积为$\boldsymbol{12.5\ \mathrm{cm}^2}$。
解析
【分析】
本题是几何最值结合二次函数的应用问题，解题思路如下：第一步，设其中一条直角边的长度为自变量，根据两条直角边的和为10cm，表示出另一条直角边的长度；第二步，利用直角三角形面积公式写出面积关于自变量的函数解析式；第三步，根据二次函数的图象与性质，结合自变量的取值范围，求出面积的最大值。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (10 - x) \, \mathrm{cm} $，三角形面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列面积公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(10 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 5x \quad (0＜x＜10)\end{aligned}$
二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，该二次函数图象开口向下，S存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})} = 5 $时，代入得：
$ S_{\mathrm{max}} = -\frac{1}{2} × 5^2 + 5×5 = 12.5 $
【答案】
$12.5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
直角三角形面积计算；二次函数的性质；二次函数最值求解
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，考查用函数思想解决几何最值问题的能力，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
本题是几何最值结合二次函数的应用问题，解题思路如下：第一步，设其中一条直角边的长度为自变量，根据两条直角边的和为10cm，表示出另一条直角边的长度；第二步，利用直角三角形面积公式写出面积关于自变量的函数解析式；第三步，根据二次函数的图象与性质，结合自变量的取值范围，求出面积的最大值。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (10 - x) \, \mathrm{cm} $，三角形面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意列面积公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(10 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 5x \quad (0＜x＜10)\end{aligned}$
二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，该二次函数图象开口向下，S存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})} = 5 $时，代入得：
$ S_{\mathrm{max}} = -\frac{1}{2} × 5^2 + 5×5 = 12.5 $
【答案】
$12.5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
直角三角形面积计算；二次函数的性质；二次函数最值求解
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，考查用函数思想解决几何最值问题的能力，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
5. 提升题如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=7\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$。点$P$从点$A$出发，沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动；同时点$Q$从点$B$出发，沿边$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动。当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$。
(1)经过几秒后，$△ PBQ$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$？
(2)点$P,Q$在运动过程中，是否存在$t$，使得$△ PBQ$的面积最大？若存在，求出此时$t$的值和最大面积；若不存在，请说明理由。
(1)经过几秒后，$△ PBQ$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$？
(2)点$P,Q$在运动过程中，是否存在$t$，使得$△ PBQ$的面积最大？若存在，求出此时$t$的值和最大面积；若不存在，请说明理由。
答案
解：
由题意可知，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$PB = (7 - t)\ \mathrm{cm}$。
点Q到达终点C所需时间为$10÷2=5\ \mathrm{s}$，点P到达终点B所需时间为$7÷1=7\ \mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0 ＜ t ≤ 5$。
(1) 根据直角三角形面积公式，$△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2}(7 - t) · 2t = t(7 - t)$
令$S_{△ PBQ} = 6$，得：
$t(7 - t) = 6$
整理得：$t^2 - 7t + 6 = 0$
因式分解得：$(t - 1)(t - 6) = 0$
解得$t_1=1$，$t_2=6$。
因为$0 ＜ t ≤ 5$，所以$t=6$不符合题意，舍去。
(2) 存在满足条件的$t$。
由(1)得$△ PBQ$的面积$S$关于$t$的函数表达式为：
$S = -t^2 + 7t \quad (0 ＜ t ≤ 5)$
将函数配方得：
$S = -(t - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{4}$
因为二次项系数$a = -1 ＜ 0$，且对称轴$t = \frac{7}{2} = 3.5$在取值范围$0 ＜ t ≤ 5$内，
所以当$t = 3.5$时，$S$取得最大值，最大面积为$\frac{49}{4} = 12.25\ \mathrm{cm}^2$。
答：(1) 经过1秒后，$△ PBQ$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$；(2) 存在符合条件的$t$，当$t$的值为$3.5\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积最大，最大面积为$12.25\ \mathrm{cm}^2$。
由题意可知，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$PB = (7 - t)\ \mathrm{cm}$。
点Q到达终点C所需时间为$10÷2=5\ \mathrm{s}$，点P到达终点B所需时间为$7÷1=7\ \mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0 ＜ t ≤ 5$。
(1) 根据直角三角形面积公式，$△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2}(7 - t) · 2t = t(7 - t)$
令$S_{△ PBQ} = 6$，得：
$t(7 - t) = 6$
整理得：$t^2 - 7t + 6 = 0$
因式分解得：$(t - 1)(t - 6) = 0$
解得$t_1=1$，$t_2=6$。
因为$0 ＜ t ≤ 5$，所以$t=6$不符合题意，舍去。
(2) 存在满足条件的$t$。
由(1)得$△ PBQ$的面积$S$关于$t$的函数表达式为：
$S = -t^2 + 7t \quad (0 ＜ t ≤ 5)$
将函数配方得：
$S = -(t - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{4}$
因为二次项系数$a = -1 ＜ 0$，且对称轴$t = \frac{7}{2} = 3.5$在取值范围$0 ＜ t ≤ 5$内，
所以当$t = 3.5$时，$S$取得最大值，最大面积为$\frac{49}{4} = 12.25\ \mathrm{cm}^2$。
答：(1) 经过1秒后，$△ PBQ$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$；(2) 存在符合条件的$t$，当$t$的值为$3.5\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积最大，最大面积为$12.25\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
本题属于几何动点综合题，解题思路可分三步梳理：①处理动线段：根据点P、Q的运动速度和运动时间t，先表示出AP、BQ的长度，进而得到PB的长度，再结合两点到达终点的时间确定t的取值范围；②求解第一问：△PBQ是直角三角形，根据直角三角形面积公式列出关于t的一元二次方程，求解后舍去超出t取值范围的解即可；③求解第二问：将△PBQ的面积整理为关于t的二次函数，结合二次函数的开口方向和对称轴位置，判断在t的取值范围内的最大值即可。
【解析】
由题意可知，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$PB = AB - AP = (7 - t)\ \mathrm{cm}$。
点Q到达终点C所需时间为$10÷2=5\ \mathrm{s}$，点P到达终点B所需时间为$7÷1=7\ \mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0 ＜ t ≤ 5$。
(1) 根据直角三角形面积公式，$△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2}(7 - t) · 2t = t(7 - t)$
令$S_{△ PBQ} = 6$，得：
$t(7 - t) = 6$
整理得：$t^2 - 7t + 6 = 0$
因式分解得：$(t - 1)(t - 6) = 0$
解得$t_1=1$，$t_2=6$。
因为$0 ＜ t ≤ 5$，所以$t=6$不符合题意，舍去。
(2) 存在满足条件的$t$。
由(1)得$△ PBQ$的面积$S$关于$t$的函数表达式为：
$S = -t^2 + 7t \quad (0 ＜ t ≤ 5)$
将函数配方得：
$S = -(t - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{4}$
因为二次项系数$a = -1 ＜ 0$，且对称轴$t = \frac{7}{2} = 3.5$在取值范围$0 ＜ t ≤ 5$内，
所以当$t = 3.5$时，$S$取得最大值，最大面积为$\frac{49}{4} = 12.25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 经过$\boxed{1\ \mathrm{s}}$后，$△ PBQ$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 存在，当$t=\boxed{3.5\ \mathrm{s}}$时，$△ PBQ$的面积最大，最大面积为$\boxed{12.25\ \mathrm{cm}^2}$（或$\frac{49}{4}\ \mathrm{cm}^2$）。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；动点问题处理
【点评】
本题是动点结合代数运算的典型题，考查对运动过程的分析能力和方程、函数知识的应用能力，解题时需注意自变量的取值范围，求解后要验证结果是否符合实际运动情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
本题属于几何动点综合题，解题思路可分三步梳理：①处理动线段：根据点P、Q的运动速度和运动时间t，先表示出AP、BQ的长度，进而得到PB的长度，再结合两点到达终点的时间确定t的取值范围；②求解第一问：△PBQ是直角三角形，根据直角三角形面积公式列出关于t的一元二次方程，求解后舍去超出t取值范围的解即可；③求解第二问：将△PBQ的面积整理为关于t的二次函数，结合二次函数的开口方向和对称轴位置，判断在t的取值范围内的最大值即可。
【解析】
由题意可知，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$PB = AB - AP = (7 - t)\ \mathrm{cm}$。
点Q到达终点C所需时间为$10÷2=5\ \mathrm{s}$，点P到达终点B所需时间为$7÷1=7\ \mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0 ＜ t ≤ 5$。
(1) 根据直角三角形面积公式，$△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2}(7 - t) · 2t = t(7 - t)$
令$S_{△ PBQ} = 6$，得：
$t(7 - t) = 6$
整理得：$t^2 - 7t + 6 = 0$
因式分解得：$(t - 1)(t - 6) = 0$
解得$t_1=1$，$t_2=6$。
因为$0 ＜ t ≤ 5$，所以$t=6$不符合题意，舍去。
(2) 存在满足条件的$t$。
由(1)得$△ PBQ$的面积$S$关于$t$的函数表达式为：
$S = -t^2 + 7t \quad (0 ＜ t ≤ 5)$
将函数配方得：
$S = -(t - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{4}$
因为二次项系数$a = -1 ＜ 0$，且对称轴$t = \frac{7}{2} = 3.5$在取值范围$0 ＜ t ≤ 5$内，
所以当$t = 3.5$时，$S$取得最大值，最大面积为$\frac{49}{4} = 12.25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 经过$\boxed{1\ \mathrm{s}}$后，$△ PBQ$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 存在，当$t=\boxed{3.5\ \mathrm{s}}$时，$△ PBQ$的面积最大，最大面积为$\boxed{12.25\ \mathrm{cm}^2}$（或$\frac{49}{4}\ \mathrm{cm}^2$）。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；动点问题处理
【点评】
本题是动点结合代数运算的典型题，考查对运动过程的分析能力和方程、函数知识的应用能力，解题时需注意自变量的取值范围，求解后要验证结果是否符合实际运动情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
