登录
1.已知某种产品的成本价为30元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售量$y$(单位：kg)与销售价$x$(单位：元/kg)有如下关系：$y=-2x+80$。设这种产品每天的销售利润为$w$元，则$w$与$x$之间的关系式为()
A.$w=(x-30)(-2x+80)$
B.$w=x(-2x+80)$
C.$w=30(-2x+80)$
D.$w=x(-2x+50)$
A.$w=(x-30)(-2x+80)$
B.$w=x(-2x+80)$
C.$w=30(-2x+80)$
D.$w=x(-2x+50)$
答案
A
解析
【分析】
解答本题的核心是掌握销售问题中总利润的计算逻辑：总利润=单件商品的利润×销售总数量。解题时第一步先计算每千克产品的利润，用售价减去成本价即可得到；第二步找到题目给出的销售量与售价的关系式；最后将两个量相乘，就能得到总利润w与销售价x的函数关系式，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据销售利润的计算公式：总利润=单件利润×销售量。
1. 计算单件利润：已知产品成本价为30元/kg，销售价为x元/kg，因此每千克产品的利润为$(x - 30)$元；
2. 确定销售量：题目给出销售量y与销售价x的关系为$y=-2x+80$；
3. 代入公式列关系式：将单件利润和销售量代入总利润公式，可得$w=(x-30)(-2x+80)$。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式
【点评】
本题是销售类函数的基础题型，解题关键是熟练掌握销售问题的基本数量关系，准确提取题干中给出的销售量表达式，代入公式即可快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是掌握销售问题中总利润的计算逻辑：总利润=单件商品的利润×销售总数量。解题时第一步先计算每千克产品的利润，用售价减去成本价即可得到；第二步找到题目给出的销售量与售价的关系式；最后将两个量相乘，就能得到总利润w与销售价x的函数关系式，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据销售利润的计算公式：总利润=单件利润×销售量。
1. 计算单件利润：已知产品成本价为30元/kg，销售价为x元/kg，因此每千克产品的利润为$(x - 30)$元；
2. 确定销售量：题目给出销售量y与销售价x的关系为$y=-2x+80$；
3. 代入公式列关系式：将单件利润和销售量代入总利润公式，可得$w=(x-30)(-2x+80)$。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式
【点评】
本题是销售类函数的基础题型，解题关键是熟练掌握销售问题的基本数量关系，准确提取题干中给出的销售量表达式，代入公式即可快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.9
2.某超市1月份以20元/箱的价格购进一批苹果。经市场调查发现，这种苹果的月销售量y(单位:箱)与售价x(单位:元/箱，25≤x≤45)之间满足一次函数关系，其图象如图所示。设销售这批苹果的月总利润为w元，要使销售利润最大，每箱售价应定为元。
答案
$\boldsymbol{35}$
解析
【分析】
解题时首先利用待定系数法，结合图象给出的两个点坐标求出销售量y与售价x的一次函数解析式；再根据“总利润=每箱利润×销售量”构建总利润w关于售价x的二次函数；最后结合二次函数的性质及x的取值范围，求出利润最大时对应的x值即可。
【解析】
设月销售量y与售价x的一次函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$，
将点$A(25,50)$、$B(45,10)$代入解析式得：
$\begin{cases}25k + b = 50 \\45k + b = 10\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$20k = -40$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$25k + b = 50$得：$-50 + b = 50$，解得$b=100$，
因此一次函数解析式为$y = -2x + 100\quad(25≤ x≤45)$。
由题意，每箱利润为$(x-20)$元，总利润$w=(x-20)y$，代入y的表达式得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-2x + 100)\\&=-2x^2 + 100x + 40x - 2000\\&=-2x^2 + 140x - 2000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{140}{2×(-2)}=35$，
且$35$在$25≤ x≤45$的取值范围内，因此当$x=35$时，总利润w取得最大值。
【答案】
$35$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数最值计算
【点评】
本题是销售利润类的常见题型，核心是先根据已知条件构建函数模型，再结合函数性质求解最值，解题时需注意验证最值点是否在自变量的取值范围内，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用待定系数法，结合图象给出的两个点坐标求出销售量y与售价x的一次函数解析式；再根据“总利润=每箱利润×销售量”构建总利润w关于售价x的二次函数；最后结合二次函数的性质及x的取值范围，求出利润最大时对应的x值即可。
【解析】
设月销售量y与售价x的一次函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$，
将点$A(25,50)$、$B(45,10)$代入解析式得：
$\begin{cases}25k + b = 50 \\45k + b = 10\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$20k = -40$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$25k + b = 50$得：$-50 + b = 50$，解得$b=100$，
因此一次函数解析式为$y = -2x + 100\quad(25≤ x≤45)$。
由题意，每箱利润为$(x-20)$元，总利润$w=(x-20)y$，代入y的表达式得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-2x + 100)\\&=-2x^2 + 100x + 40x - 2000\\&=-2x^2 + 140x - 2000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{140}{2×(-2)}=35$，
且$35$在$25≤ x≤45$的取值范围内，因此当$x=35$时，总利润w取得最大值。
【答案】
$35$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数最值计算
【点评】
本题是销售利润类的常见题型，核心是先根据已知条件构建函数模型，再结合函数性质求解最值，解题时需注意验证最值点是否在自变量的取值范围内，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 提升题 近年来，用“短视频＋直播”推广家乡农副产品的方式日益受到关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎。资料显示，2023年约有100万网友分享了助农短视频，到2025年分享助农短视频的人数已经达到121万。
(1)求分享助农短视频人数的年平均增长率。
(2)某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产薄皮核桃。据了解，每千克核桃进价是8元，需从每千克核桃的利润中拿出2元作为平台管理费，每天的销量$y$(单位:$kg$)与每千克售价$x$(单位:元)之间满足函数关系$y=-50x+1000$。设直播收益为$w$元，当每千克核桃的售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？(直播收益＝销售利润－平台管理费)
(1)求分享助农短视频人数的年平均增长率。
(2)某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产薄皮核桃。据了解，每千克核桃进价是8元，需从每千克核桃的利润中拿出2元作为平台管理费，每天的销量$y$(单位:$kg$)与每千克售价$x$(单位:元)之间满足函数关系$y=-50x+1000$。设直播收益为$w$元，当每千克核桃的售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？(直播收益＝销售利润－平台管理费)
答案
解：
(1) 设分享助农短视频人数的年平均增长率为$ x $。
根据题意列方程：
$100(1+x)^2 = 121$
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 $。
因为增长率不能为负数，故舍去$ x_2=-2.1 $。
(2) 由题意可知，每千克核桃扣除成本和平台管理费后的单位净收益为$ x - 8 - 2 = x - 10 $元。
则直播收益$ w $满足：
$\begin{aligned}w&=(x-10)· y\\&=(x-10)(-50x+1000)\\&=-50x^2 + 1500x - 10000\\&=-50(x-15)^2 + 1250\end{aligned}$
由实际意义得$ x＞10 $，且销量$ y=-50x+1000＞0 $，即$ 10＜x＜20 $。
因为二次项系数$ -50＜0 $，抛物线开口向下，所以当$ x=15 $时，$ w $取得最大值，最大值为1250。
答：(1)分享助农短视频人数的年平均增长率为10%；(2)当每千克核桃的售价定为15元时，每天的直播收益最大，最大收益为1250元。
(1) 设分享助农短视频人数的年平均增长率为$ x $。
根据题意列方程：
$100(1+x)^2 = 121$
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 $。
因为增长率不能为负数，故舍去$ x_2=-2.1 $。
(2) 由题意可知，每千克核桃扣除成本和平台管理费后的单位净收益为$ x - 8 - 2 = x - 10 $元。
则直播收益$ w $满足：
$\begin{aligned}w&=(x-10)· y\\&=(x-10)(-50x+1000)\\&=-50x^2 + 1500x - 10000\\&=-50(x-15)^2 + 1250\end{aligned}$
由实际意义得$ x＞10 $，且销量$ y=-50x+1000＞0 $，即$ 10＜x＜20 $。
因为二次项系数$ -50＜0 $，抛物线开口向下，所以当$ x=15 $时，$ w $取得最大值，最大值为1250。
答：(1)分享助农短视频人数的年平均增长率为10%；(2)当每千克核桃的售价定为15元时，每天的直播收益最大，最大收益为1250元。
解析
【分析】
（1）第一问为平均增长率问题，解题思路为：先设年平均增长率为x，已知2023年初始人数为100万，经过2年增长到2025年的121万，根据平均增长率公式“初始量×(1+增长率)ⁿ=增长n年后的量”即可列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问为二次函数利润最值问题，解题思路为：首先明确每千克核桃的净收益=售价-进价-平台管理费，再根据“总收益=单位净收益×销量”，将给出的销量函数代入得到总收益关于售价的二次函数，结合实际意义确定自变量的取值范围，最后根据二次函数的图象性质求最值即可。
【解析】
(1) 设分享助农短视频人数的年平均增长率为$ x $。
根据题意列方程：
$100(1+x)^2 = 121$
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 $。
因为增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去$ x_2=-2.1 $。
(2) 由题意可知，每千克核桃扣除成本和平台管理费后的单位净收益为$ x - 8 - 2 = x - 10 $元。
则直播收益$ w $满足：
$\begin{aligned}w&=(x-10)· y\\&=(x-10)(-50x+1000)\\&=-50x^2 + 1500x - 10000\\&=-50(x-15)^2 + 1250\end{aligned}$
由实际意义得单位净收益为正，即$ x＞10 $，且销量$ y=-50x+1000＞0 $，解得$ x＜20 $，即自变量取值范围为$ 10＜x＜20 $。
因为二次项系数$ -50＜0 $，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=15$在取值范围内，所以当$ x=15 $时，$ w $取得最大值，最大值为1250元。
【答案】
(1)分享助农短视频人数的年平均增长率为10%；(2)当每千克核桃的售价定为15元时，每天的直播收益最大，最大收益为1250元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合助农直播的热点背景出题，贴近生活实际，既考查了平均增长率的计算方法，也考查了二次函数在利润最值问题中的应用，解题时需准确梳理实际问题中的数量关系，还要注意结合实际意义判断解的合理性以及自变量的取值范围，避免出现不符合现实情况的结果。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为平均增长率问题，解题思路为：先设年平均增长率为x，已知2023年初始人数为100万，经过2年增长到2025年的121万，根据平均增长率公式“初始量×(1+增长率)ⁿ=增长n年后的量”即可列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问为二次函数利润最值问题，解题思路为：首先明确每千克核桃的净收益=售价-进价-平台管理费，再根据“总收益=单位净收益×销量”，将给出的销量函数代入得到总收益关于售价的二次函数，结合实际意义确定自变量的取值范围，最后根据二次函数的图象性质求最值即可。
【解析】
(1) 设分享助农短视频人数的年平均增长率为$ x $。
根据题意列方程：
$100(1+x)^2 = 121$
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 $。
因为增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去$ x_2=-2.1 $。
(2) 由题意可知，每千克核桃扣除成本和平台管理费后的单位净收益为$ x - 8 - 2 = x - 10 $元。
则直播收益$ w $满足：
$\begin{aligned}w&=(x-10)· y\\&=(x-10)(-50x+1000)\\&=-50x^2 + 1500x - 10000\\&=-50(x-15)^2 + 1250\end{aligned}$
由实际意义得单位净收益为正，即$ x＞10 $，且销量$ y=-50x+1000＞0 $，解得$ x＜20 $，即自变量取值范围为$ 10＜x＜20 $。
因为二次项系数$ -50＜0 $，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=15$在取值范围内，所以当$ x=15 $时，$ w $取得最大值，最大值为1250元。
【答案】
(1)分享助农短视频人数的年平均增长率为10%；(2)当每千克核桃的售价定为15元时，每天的直播收益最大，最大收益为1250元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合助农直播的热点背景出题，贴近生活实际，既考查了平均增长率的计算方法，也考查了二次函数在利润最值问题中的应用，解题时需准确梳理实际问题中的数量关系，还要注意结合实际意义判断解的合理性以及自变量的取值范围，避免出现不符合现实情况的结果。
【难度系数】
0.7
