1.若一个二次函数的图象的顶点坐标为$(2,4)$，且经过点$(0,-4)$，则这个二次函数的表达式为()

A.$y=-2(x+2)^2+4$
B.$y=2(x+2)^2-4$
C.$y=-2(x-2)^2+4$
D.$y=2(x-2)^2-4$

C

【分析】
已知二次函数的顶点坐标，解题时优先选用顶点式来求解解析式，能简化计算步骤。首先回忆二次函数顶点式的结构：$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标，因此先将已知的顶点坐标代入顶点式，仅剩下未知系数$a$；再将函数经过的点的坐标代入，即可求出$a$的值，最终得到完整的二次函数表达式，对应选项选出答案即可。
【解析】
设该二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$
∵ 二次函数图象的顶点坐标为$(2,4)$
∴ $h=2$，$k=4$，代入得解析式为：$y=a(x-2)^2+4$
∵ 函数图象经过点$(0,-4)$，将$x=0$，$y=-4$代入上式：
$-4=a(0-2)^2+4$
计算得：$-4=4a+4$
移项求解$a$：$4a=-8$，即$a=-2$
将$a=-2$代入顶点式，得二次函数表达式为：$y=-2(x-2)^2+4$
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，已知顶点坐标时选用顶点式可有效降低计算量，熟练掌握顶点式的结构和代入求值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过点$A(0,3),B(2,3),C(-1,0)$，求该二次函数的表达式。

解：
把点$A(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=3$。
将点$B(2,3)$、$C(-1,0)$和$c=3$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}4a + 2b + 3 = 3 \\a - b + 3 = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0 \\a - b = -3\end{cases}$
将两个方程相加，得$3a=-3$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入$2a + b = 0$，得$-2 + b = 0$，解得$b=2$。
答：该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。

【分析】
要确定二次函数的表达式，已知函数图象经过三个定点，可采用待定系数法求解。首先代入y轴上的点A(0,3)可直接求出常数项c，简化后续计算；再将剩余两个点B、C的坐标以及求出的c值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，最后将a、b、c代回原式即可得到二次函数表达式。
【解析】
解：把点$A(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=3$。
将点$B(2,3)$、$C(-1,0)$和$c=3$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}4a + 2b + 3 = 3 \\a - b + 3 = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0 ①\\a - b = -3 ②\end{cases}$
①+②得$3a=-3$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入①得：$-2 + b = 0$，解得$b=2$。
将$a=-1,b=2,c=3$代入$y=ax^2+bx+c$即可得到函数表达式。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式
2.二元一次方程组的解法
3.点与函数图象的关系
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是正确代入已知点坐标建立方程（组），熟练掌握方程组的解法即可顺利求解，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.9

3. 提升题 某小区为新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头。如图，车棚建在$AO,BC$两面墙之间，$CO$为水平地面，$AO⊥ CO,BC⊥ CO$，消防喷淋头$M$安装在距离地面$3\ \mathrm{m}$高的棚顶$AB$上$(AB// CO)$，其到墙面$AO$的水平距离$AM$为$2\ \mathrm{m}$，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为$M$，且该水柱喷射到墙面$AO$上的点$D$处，$DO=1\ \mathrm{m}$。以$O$为坐标原点，$OC$所在直线为$x$轴，$OA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
(1)求最外层水柱横截面所在抛物线的表达式。
(2)若在点$P(1,2)$处有一盏吊灯，吊灯遇水会发生触电危险(点$P$位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险)，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请说明理由。

解：
(1) 由题意可知，顶点M的坐标为$(2, 3)$，点D的坐标为$(0, 1)$。
设抛物线的表达式为 $ y = a(x-2)^2 + 3 $，
将$ D(0,1) $代入表达式，得：
$1 = a(0-2)^2 + 3$
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
因此抛物线的表达式为 $ y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3 $，整理得：
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$
(2) 此吊灯有触电危险，理由如下：
将$ x=1 $代入抛物线表达式 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1 $，得：
$y = -\frac{1}{2} × 1^2 + 2 × 1 + 1 = 2.5$
因为$ 2.5 ＞ 2 $，即横坐标为1时，点P的纵坐标小于对应抛物线上点的纵坐标，说明点P位于抛物线下方，符合触电危险的判定条件。
答：此吊灯在消防喷淋头喷洒时有触电危险。

【分析】
(1) 求抛物线表达式首先要确定已知点坐标：抛物线顶点为M，由题意M距离地面3m、到AO水平距离2m，可得M坐标为(2,3)；水柱落在AO上的D点，DO=1，可得D坐标为(0,1)。已知抛物线顶点，优先选用顶点式设解析式，再将D点坐标代入求解参数a，即可得到抛物线表达式。
(2) 判断吊灯是否有危险，只需将P点的横坐标x=1代入抛物线解析式，算出对应y值，和P点纵坐标2比较：若算出的y≥2，说明P在抛物线下方或抛物线上，有触电危险，反之则无危险。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线顶点M的坐标为$(2, 3)$，点D的坐标为$(0, 1)$。
设抛物线的表达式为 $ y = a(x-2)^2 + 3 $（$a≠0$），
将$ D(0,1) $代入表达式，得：
$1 = a(0-2)^2 + 3$
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
因此抛物线的表达式为 $ y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3 $，整理得：
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$。
(2) 此吊灯有触电危险，理由如下：
将$ x=1 $代入抛物线表达式 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1 $，得：
$y = -\frac{1}{2} × 1^2 + 2 × 1 + 1 = 2.5$
因为$ 2.5 ＞ 2 $，即横坐标为1时，点P的纵坐标小于对应抛物线上点的纵坐标，说明点P位于抛物线下方，符合触电危险的判定条件。
【答案】
(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$（或$y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3$）
(2) 此吊灯在消防喷淋头喷洒时有触电危险。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确提取题干信息确定点的坐标，合理选择二次函数解析式形式求解，再通过代入计算判断点与抛物线的位置关系即可解决问题。
【难度系数】
0.7