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1.【阅读理解】
如果关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二次方程$x^2 + x = 0$的两个根是$x_1 = 0, x_2 = -1$，则方程$x^2 + x = 0$是“邻根方程”.
【提出问题】
(1)通过计算，判断方程$x^2 -9x +20 =0$是不是“邻根方程”.
【灵活运用】
(2)已知关于$x$的方程$x^2 -(m-1)x -m =0$（$m$是常数）是“邻根方程”，求$m$的值.
如果关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二次方程$x^2 + x = 0$的两个根是$x_1 = 0, x_2 = -1$，则方程$x^2 + x = 0$是“邻根方程”.
【提出问题】
(1)通过计算，判断方程$x^2 -9x +20 =0$是不是“邻根方程”.
【灵活运用】
(2)已知关于$x$的方程$x^2 -(m-1)x -m =0$（$m$是常数）是“邻根方程”，求$m$的值.
答案
1.解:(1)$x^2-9x+20=0$,
解得$x_1=4$,$x_2=5$.
$\because 5-4=1$,$\therefore$方程$x^2-9x+20=0$是“邻根方程”.
(2)$x^2-(m-1)x-m=0$,
解得$x_1=m$,$x_2=-1$.
$\because$方程$x^2-(m-1)x-m=0$($m$是常数)是“邻根方程”,
$\therefore m=-1+1=0$或$m=-1-1=-2$.
$\therefore m$的值为0或$-2$.
解得$x_1=4$,$x_2=5$.
$\because 5-4=1$,$\therefore$方程$x^2-9x+20=0$是“邻根方程”.
(2)$x^2-(m-1)x-m=0$,
解得$x_1=m$,$x_2=-1$.
$\because$方程$x^2-(m-1)x-m=0$($m$是常数)是“邻根方程”,
$\therefore m=-1+1=0$或$m=-1-1=-2$.
$\therefore m$的值为0或$-2$.
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“邻根方程”的定义：一元二次方程的两个实根相差1。
(1)问解题思路：先用因式分解法求出方程$x^2 -9x +20 =0$的两个根，计算两根的差是否为1，即可判断是否为邻根方程。
(2)问解题思路：先用因式分解法求解含参数$m$的一元二次方程，得到两个用$m$表示的根，再根据邻根方程的定义，分两种情况列等式计算$m$的值即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -9x +20 =0$，
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$，
$\therefore x-4=0$或$x-5=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=5$，
$\because 5-4=1$，符合邻根方程的定义，
$\therefore$ 方程$x^2 -9x +20 =0$是“邻根方程”。
(2) 解方程$x^2 -(m-1)x -m =0$，
因式分解得：$(x-m)(x+1)=0$，
$\therefore x-m=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=m$，$x_2=-1$，
$\because$ 该方程是“邻根方程”，
$\therefore$ 两根之差为1，即$|m - (-1)|=1$，
当$m+1=1$时，解得$m=0$；
当$m+1=-1$时，解得$m=-2$。
综上，$m$的值为0或$-2$。
【答案】
(1) 方程$x^2 -9x +20 =0$是“邻根方程”；
(2) $m$的值为0或$-2$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 新定义问题
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的基础解法，解题关键是正确理解“邻根方程”的含义，熟练掌握因式分解法解方程的方法，再根据定义列等式计算即可，侧重考查阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“邻根方程”的定义：一元二次方程的两个实根相差1。
(1)问解题思路：先用因式分解法求出方程$x^2 -9x +20 =0$的两个根，计算两根的差是否为1，即可判断是否为邻根方程。
(2)问解题思路：先用因式分解法求解含参数$m$的一元二次方程，得到两个用$m$表示的根，再根据邻根方程的定义，分两种情况列等式计算$m$的值即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -9x +20 =0$，
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$，
$\therefore x-4=0$或$x-5=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=5$，
$\because 5-4=1$，符合邻根方程的定义，
$\therefore$ 方程$x^2 -9x +20 =0$是“邻根方程”。
(2) 解方程$x^2 -(m-1)x -m =0$，
因式分解得：$(x-m)(x+1)=0$，
$\therefore x-m=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=m$，$x_2=-1$，
$\because$ 该方程是“邻根方程”，
$\therefore$ 两根之差为1，即$|m - (-1)|=1$，
当$m+1=1$时，解得$m=0$；
当$m+1=-1$时，解得$m=-2$。
综上，$m$的值为0或$-2$。
【答案】
(1) 方程$x^2 -9x +20 =0$是“邻根方程”；
(2) $m$的值为0或$-2$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 新定义问题
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的基础解法，解题关键是正确理解“邻根方程”的含义，熟练掌握因式分解法解方程的方法，再根据定义列等式计算即可，侧重考查阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
2.【阅读类比】阅读下面的材料，解答问题.
解含绝对值的方程：$x^2 - 3|x| - 10 = 0$.
解：分两种情况讨论：
①当$x ≥ 0$时，原方程可化为$x^2 - 3x - 10 = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = -2$（舍去）；
②当$x ＜ 0$时，原方程可化为$x^2 + 3x - 10 = 0$，解得$x_3 = -5$，$x_4 = 2$（舍去）.
综上所述，原方程的解是$x_1 = 5$，$x_2 = -5$.
请参照上述方法解方程$x^2 - |x + 1| - 1 = 0$.
解含绝对值的方程：$x^2 - 3|x| - 10 = 0$.
解：分两种情况讨论：
①当$x ≥ 0$时，原方程可化为$x^2 - 3x - 10 = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = -2$（舍去）；
②当$x ＜ 0$时，原方程可化为$x^2 + 3x - 10 = 0$，解得$x_3 = -5$，$x_4 = 2$（舍去）.
综上所述，原方程的解是$x_1 = 5$，$x_2 = -5$.
请参照上述方法解方程$x^2 - |x + 1| - 1 = 0$.
答案
2.解:分两种情况讨论:
①当$x+1≥0$,即$x≥-1$时,
原方程可化为$x^2-(x+1)-1=0$,
整理,得$x^2-x-2=0$,
解得$x_1=2$,$x_2=-1$;
②当$x+1＜0$,即$x＜-1$时,
原方程可化为$x^2+(x+1)-1=0$,
整理,得$x^2+x=0$,
解得$x_3=-1$(舍去),$x_4=0$(舍去).
综上所述,原方程的解是$x_1=2$,$x_2=-1$.
①当$x+1≥0$,即$x≥-1$时,
原方程可化为$x^2-(x+1)-1=0$,
整理,得$x^2-x-2=0$,
解得$x_1=2$,$x_2=-1$;
②当$x+1＜0$,即$x＜-1$时,
原方程可化为$x^2+(x+1)-1=0$,
整理,得$x^2+x=0$,
解得$x_3=-1$(舍去),$x_4=0$(舍去).
综上所述,原方程的解是$x_1=2$,$x_2=-1$.
解析
【分析】
要解含绝对值的方程，核心是利用绝对值的性质去掉绝对值符号，将方程转化为普通一元二次方程求解。首先找到绝对值内代数式$x+1$的正负分界点$x=-1$，分$x≥-1$和$x＜-1$两种情况讨论，去掉绝对值后解一元二次方程，最后检验所得的根是否符合对应讨论的取值范围，不符合的舍去，汇总符合条件的根即为原方程的解。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$x+1≥0$，即$x≥-1$时，
原方程可化为$x^2-(x+1)-1=0$，
整理得$x^2-x-2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，两个解均满足$x≥-1$，均保留；
②当$x+1＜0$，即$x＜-1$时，
原方程可化为$x^2+(x+1)-1=0$，
整理得$x^2+x=0$，
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_3=-1$，$x_4=0$，两个解均不满足$x＜-1$，均舍去。
综上所述，原方程的解是$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】
绝对值化简，一元二次方程因式分解解法，分类讨论思想
【点评】
本题是阅读类比类题型，重点考查对绝对值化简规则的掌握和分类讨论思想的应用，解题时要注意求解后验证根是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
要解含绝对值的方程，核心是利用绝对值的性质去掉绝对值符号，将方程转化为普通一元二次方程求解。首先找到绝对值内代数式$x+1$的正负分界点$x=-1$，分$x≥-1$和$x＜-1$两种情况讨论，去掉绝对值后解一元二次方程，最后检验所得的根是否符合对应讨论的取值范围，不符合的舍去，汇总符合条件的根即为原方程的解。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$x+1≥0$，即$x≥-1$时，
原方程可化为$x^2-(x+1)-1=0$，
整理得$x^2-x-2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，两个解均满足$x≥-1$，均保留；
②当$x+1＜0$，即$x＜-1$时，
原方程可化为$x^2+(x+1)-1=0$，
整理得$x^2+x=0$，
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_3=-1$，$x_4=0$，两个解均不满足$x＜-1$，均舍去。
综上所述，原方程的解是$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】
绝对值化简，一元二次方程因式分解解法，分类讨论思想
【点评】
本题是阅读类比类题型，重点考查对绝对值化简规则的掌握和分类讨论思想的应用，解题时要注意求解后验证根是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
