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1.已知$x=1$是方程$x^2 + bx - 2 = 0$的一个根，则方程的另一个根是（
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.$x=-1$
C
）A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.$x=-1$
答案
1.C 点拨:将$x=1$代入方程$x^2+bx-2=0$,求得$b=1$,则原方程为$x^2+x-2=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-2$.
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常见解题思路：思路1：根据方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，先求出参数b的值，得到完整的一元二次方程后，用本节所学的因式分解法解方程，即可得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的商，可直接快速求出另一个根。
【解析】
方法1：
∵x=1是方程$x^2 + bx - 2 = 0$的根，将x=1代入方程得：
$1^2 + b×1 - 2 = 0$
解得$b=1$
则原方程为$x^2 + x - 2 = 0$
因式分解得：$(x+2)(x-1)=0$
∴$x+2=0$或$x-1=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-2$
方法2：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$
本题中$a=1$，$c=-2$，已知一个根为1，因此：
$1×x_2=\frac{-2}{1}=-2$
解得$x_2=-2$
综上，方程的另一个根是-2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，利用根与系数的关系求解可省略求参数的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常见解题思路：思路1：根据方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，先求出参数b的值，得到完整的一元二次方程后，用本节所学的因式分解法解方程，即可得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的商，可直接快速求出另一个根。
【解析】
方法1：
∵x=1是方程$x^2 + bx - 2 = 0$的根，将x=1代入方程得：
$1^2 + b×1 - 2 = 0$
解得$b=1$
则原方程为$x^2 + x - 2 = 0$
因式分解得：$(x+2)(x-1)=0$
∴$x+2=0$或$x-1=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-2$
方法2：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$
本题中$a=1$，$c=-2$，已知一个根为1，因此：
$1×x_2=\frac{-2}{1}=-2$
解得$x_2=-2$
综上，方程的另一个根是-2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，利用根与系数的关系求解可省略求参数的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
2.【教材P13问题变式】某公园有一个圆形喷水池，如图25－2－2所示，喷出的水流运动$t$ s后水流离地面的高度约为$(30t - 5t^2)$ m，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（
A.6 s
B.4 s
C.3 s
D.2 s
图25－2－2
A
）A.6 s
B.4 s
C.3 s
D.2 s
图25－2－2
答案
2.A
解析
【分析】
要计算水流从喷出至回落到地面的时间，首先明确水流回落到地面时，离地面的高度为0，因此将高度等于0代入题目给出的高度表达式，得到关于时间t的一元二次方程，求解方程后结合实际意义舍去不符合的解，即可得到所求时间。
【解析】
解：当水流回落到地面时，水流离地面的高度为0，据此列方程：
$30t - 5t^2 = 0$
对左边因式分解，提取公因式$-5t$得：
$-5t(t - 6) = 0$
解得：$t_1 = 0$，$t_2 = 6$
其中$t=0$对应水流喷出的初始时刻，因此水流从喷出至回落到地面所需的时间为6s。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合生活中的喷泉场景考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是抓住“回落到地面时高度为0”的隐含条件列方程，求解后要注意结合实际场景舍去不符合题意的解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
要计算水流从喷出至回落到地面的时间，首先明确水流回落到地面时，离地面的高度为0，因此将高度等于0代入题目给出的高度表达式，得到关于时间t的一元二次方程，求解方程后结合实际意义舍去不符合的解，即可得到所求时间。
【解析】
解：当水流回落到地面时，水流离地面的高度为0，据此列方程：
$30t - 5t^2 = 0$
对左边因式分解，提取公因式$-5t$得：
$-5t(t - 6) = 0$
解得：$t_1 = 0$，$t_2 = 6$
其中$t=0$对应水流喷出的初始时刻，因此水流从喷出至回落到地面所需的时间为6s。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合生活中的喷泉场景考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是抓住“回落到地面时高度为0”的隐含条件列方程，求解后要注意结合实际场景舍去不符合题意的解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
3.若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程$(x-3)(x-4)=0$的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为(
A.$\sqrt{7}$
B.4
C.5
D.10
C
)A.$\sqrt{7}$
B.4
C.5
D.10
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到矩形两条邻边的长度；再结合矩形的性质，可知矩形的对角线与两条邻边构成直角三角形，对角线为斜边，最后利用勾股定理即可计算出对角线的长度。
【解析】
首先解一元二次方程$(x-3)(x-4)=0$，根据因式分解法解方程的规则，可得$x-3=0$或$x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，即矩形ABCD的两条邻边长分别为3和4。
因为矩形的内角为直角，所以矩形的对角线与两条邻边构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先准确求解方程得到矩形邻边长度，再结合勾股定理计算即可，易错点是部分学生可能误将邻边长度直接相加计算对角线。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到矩形两条邻边的长度；再结合矩形的性质，可知矩形的对角线与两条邻边构成直角三角形，对角线为斜边，最后利用勾股定理即可计算出对角线的长度。
【解析】
首先解一元二次方程$(x-3)(x-4)=0$，根据因式分解法解方程的规则，可得$x-3=0$或$x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，即矩形ABCD的两条邻边长分别为3和4。
因为矩形的内角为直角，所以矩形的对角线与两条邻边构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理，对角线长为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先准确求解方程得到矩形邻边长度，再结合勾股定理计算即可，易错点是部分学生可能误将邻边长度直接相加计算对角线。
【难度系数】
0.8
4.在解方程$(x+2)(x-2)=5$时，甲同学的做法:由于$5=1×5$，可令$x+2=1$，$x-2=5$，得方程的根为$x_1=-1$，$x_2=7$；乙同学的做法:把方程右边化为0，得$x^2 -9=0$，再分解因式，即$(x+3)(x-3)=0$，得方程的根为$x_1=-3$，$x_2=3$。对于甲、乙两名同学的做法，下列判断正确的是(
A.甲错误，乙正确
B.甲正确，乙错误
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都错误
A
)A.甲错误，乙正确
B.甲正确，乙错误
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都错误
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的规则，解题核心是明确：因式分解法的依据是“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，因此使用该方法前必须将方程整理为右边为0的形式。首先分析甲的做法：甲直接将非零的常数5拆分为1×5，给两个因式直接赋值，不符合因式分解法的适用前提，乘积为5的两个数的组合有无数种，该赋值无依据，因此甲错误。再分析乙的做法：先将方程化为右边为0的标准形式，再用平方差公式分解因式求解，符合解题规则，因此乙正确。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的前提是方程可化为“左边为两个一次因式乘积，右边为0”的形式，依据为若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
1. 判断甲的做法：原方程右边为$5≠0$，不能直接令两个因式分别等于5的因数，乘积为5的数对不唯一，且甲求出的根代入原方程验证：$x=-1$时左边$=(-1+2)×(-1-2)=-3≠5$，$x=7$时左边$=(7+2)×(7-2)=45≠5$，两根均不成立，因此甲的做法错误。
2. 判断乙的做法：先整理原方程，左边展开得$x^2-4=5$，移项得$x^2-9=0$，用平方差公式分解因式得$(x+3)(x-3)=0$，因此$x+3=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-3,x_2=3$，代入原方程验证均成立，因此乙的做法正确。
综上，甲错误，乙正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题侧重考查因式分解法解方程的核心前提，易错点是忽略方程右边必须为0的要求，直接对非零常数拆分配给因式，导致求解错误。
【难度系数】
0.7
本题考查因式分解法解一元二次方程的规则，解题核心是明确：因式分解法的依据是“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，因此使用该方法前必须将方程整理为右边为0的形式。首先分析甲的做法：甲直接将非零的常数5拆分为1×5，给两个因式直接赋值，不符合因式分解法的适用前提，乘积为5的两个数的组合有无数种，该赋值无依据，因此甲错误。再分析乙的做法：先将方程化为右边为0的标准形式，再用平方差公式分解因式求解，符合解题规则，因此乙正确。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的前提是方程可化为“左边为两个一次因式乘积，右边为0”的形式，依据为若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
1. 判断甲的做法：原方程右边为$5≠0$，不能直接令两个因式分别等于5的因数，乘积为5的数对不唯一，且甲求出的根代入原方程验证：$x=-1$时左边$=(-1+2)×(-1-2)=-3≠5$，$x=7$时左边$=(7+2)×(7-2)=45≠5$，两根均不成立，因此甲的做法错误。
2. 判断乙的做法：先整理原方程，左边展开得$x^2-4=5$，移项得$x^2-9=0$，用平方差公式分解因式得$(x+3)(x-3)=0$，因此$x+3=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-3,x_2=3$，代入原方程验证均成立，因此乙的做法正确。
综上，甲错误，乙正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题侧重考查因式分解法解方程的核心前提，易错点是忽略方程右边必须为0的要求，直接对非零常数拆分配给因式，导致求解错误。
【难度系数】
0.7
5.若三角形的两边长分别为5和4,第三边的长是方程$x^2 -7x=9(x-7)$的根,则此三角形的周长为(
A.16
B.18
C.15或17
D.16或18
A
)A.16
B.18
C.15或17
D.16或18
答案
5.A
解析
【分析】
要计算三角形的周长，需先求出第三边的长度：①首先用因式分解法求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；②再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）检验所得的根是否能构成三角形，舍去不符合要求的根；③最后将符合条件的三边长相加得到周长。
【解析】
1. 解方程$x^2 -7x=9(x-7)$：
移项得：$x^2 -7x -9(x-7)=0$
左边因式分解：$x(x-7)-9(x-7)=0$，即$(x-7)(x-9)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=9$
2. 检验根是否符合三角形三边关系：
已知三角形两边长为5和4，
若第三边长为9：$5+4=9$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为7：$4+5＞7$，$5-4＜7$，满足三边关系，可构成三角形。
3. 计算周长：$5+4+7=16$
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是一元二次方程解法与三角形性质的综合题，易错点是求解方程后忽略对根的合理性检验，直接将两个根代入计算误选D，解题时需注意结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
要计算三角形的周长，需先求出第三边的长度：①首先用因式分解法求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；②再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）检验所得的根是否能构成三角形，舍去不符合要求的根；③最后将符合条件的三边长相加得到周长。
【解析】
1. 解方程$x^2 -7x=9(x-7)$：
移项得：$x^2 -7x -9(x-7)=0$
左边因式分解：$x(x-7)-9(x-7)=0$，即$(x-7)(x-9)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=9$
2. 检验根是否符合三角形三边关系：
已知三角形两边长为5和4，
若第三边长为9：$5+4=9$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为7：$4+5＞7$，$5-4＜7$，满足三边关系，可构成三角形。
3. 计算周长：$5+4+7=16$
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是一元二次方程解法与三角形性质的综合题，易错点是求解方程后忽略对根的合理性检验，直接将两个根代入计算误选D，解题时需注意结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
6.【游戏活动】老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解。过程如图25－2－3所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是
图25－2－3
甲
。图25－2－3
答案
6.甲
解析
【分析】
要判断接力中谁的步骤出错，需先明确含相同整式因式的一元二次方程的正确解法：当方程两边存在相同的整式因式时，不能直接两边除以该因式，因为该因式可能为0，直接除以会丢失根，正确做法是先移项再提取公因式求解，再依次对照每个人的步骤即可判断。
【解析】
正确求解方程$(2x-1)^2=3(2x-1)$的步骤如下：
1. 移项得：$(2x-1)^2 - 3(2x-1) = 0$
2. 提取公因式$(2x-1)$得：$(2x-1)(2x-1 - 3) = 0$，即$(2x-1)(2x-4)=0$
3. 解得$2x-1=0$或$2x-4=0$，即$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=2$
对比接力步骤：
甲直接在方程两边除以$2x-1$，默认$2x-1≠0$，遗漏了$2x-1=0$的根，步骤错误；
后续乙、丙、丁的步骤是基于甲的错误结果进行的计算，计算逻辑本身无误，因此出错的是甲。
【答案】
甲
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、等式的性质
【点评】
本题是解方程的典型易错题，重点考查解一元二次方程的注意事项，切记不能随意在方程两边除以可能为0的整式，否则会丢失方程的根。
【难度系数】
0.6
要判断接力中谁的步骤出错，需先明确含相同整式因式的一元二次方程的正确解法：当方程两边存在相同的整式因式时，不能直接两边除以该因式，因为该因式可能为0，直接除以会丢失根，正确做法是先移项再提取公因式求解，再依次对照每个人的步骤即可判断。
【解析】
正确求解方程$(2x-1)^2=3(2x-1)$的步骤如下：
1. 移项得：$(2x-1)^2 - 3(2x-1) = 0$
2. 提取公因式$(2x-1)$得：$(2x-1)(2x-1 - 3) = 0$，即$(2x-1)(2x-4)=0$
3. 解得$2x-1=0$或$2x-4=0$，即$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=2$
对比接力步骤：
甲直接在方程两边除以$2x-1$，默认$2x-1≠0$，遗漏了$2x-1=0$的根，步骤错误；
后续乙、丙、丁的步骤是基于甲的错误结果进行的计算，计算逻辑本身无误，因此出错的是甲。
【答案】
甲
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、等式的性质
【点评】
本题是解方程的典型易错题，重点考查解一元二次方程的注意事项，切记不能随意在方程两边除以可能为0的整式，否则会丢失方程的根。
【难度系数】
0.6
7.用因式分解法解下列方程：
(1)$3x(x-1)+2x=2$；
(2)$(2x-1)^2=6x^2-3x$。
(1)$3x(x-1)+2x=2$；
(2)$(2x-1)^2=6x^2-3x$。
答案
7.解:(1)原方程可变形为$3x(x-1)+2x-2=0$.分解因式,得$(x-1)(3x+2)=0$.
所以$x-1=0$或$3x+2=0$,
所以$x_1=1$,$x_2=-\frac{2}{3}$.
(2)原方程可化为$(2x-1)^2=3x(2x-1)$.
移项,得$(2x-1)^2-3x(2x-1)=0$.
分解因式,得$(2x-1)[(2x-1)-3x]=0$,
即$(2x-1)(-x-1)=0$,
解得$x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=-1$.
所以$x-1=0$或$3x+2=0$,
所以$x_1=1$,$x_2=-\frac{2}{3}$.
(2)原方程可化为$(2x-1)^2=3x(2x-1)$.
移项,得$(2x-1)^2-3x(2x-1)=0$.
分解因式,得$(2x-1)[(2x-1)-3x]=0$,
即$(2x-1)(-x-1)=0$,
解得$x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=-1$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“几个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”转化为一元一次方程求解。
对于(1)：先把方程右边的2移到左边，将后两项$2x-2$提取公因式2得到$2(x-1)$，此时方程左右两项都含有公因式$(x-1)$，提取公因式后即可完成因式分解。
对于(2)：先把方程右边的多项式提取公因式$3x$，变形为$3x(2x-1)$，再移项使方程右边为0，此时左右两项都含有公因式$(2x-1)$，提取公因式即可分解，注意不能直接两边除以$(2x-1)$，否则会丢失$2x-1=0$这个根。
【解析】
(1) 原方程可变形为$3x(x-1)+2x-2=0$，
对$2x-2$提取公因式2，得$3x(x-1)+2(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$，分解因式得$(x-1)(3x+2)=0$，
所以$x-1=0$或$3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(2) 原方程右边提取公因式$3x$，可化为$(2x-1)^2=3x(2x-1)$，
移项，得$(2x-1)^2-3x(2x-1)=0$，
提取公因式$(2x-1)$，分解因式得$(2x-1)[(2x-1)-3x]=0$，
整理括号内的式子，即$(2x-1)(-x-1)=0$，
所以$2x-1=0$或$-x-1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$。
【答案】
(1)$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$；(2)$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用，解题关键是通过移项、提公因式将方程转化为乘积为0的形式，解题时注意不要随意除以含有未知数的整式，避免漏根。
【难度系数】
0.85
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“几个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式乘积为0，则至少其中一个因式为0”转化为一元一次方程求解。
对于(1)：先把方程右边的2移到左边，将后两项$2x-2$提取公因式2得到$2(x-1)$，此时方程左右两项都含有公因式$(x-1)$，提取公因式后即可完成因式分解。
对于(2)：先把方程右边的多项式提取公因式$3x$，变形为$3x(2x-1)$，再移项使方程右边为0，此时左右两项都含有公因式$(2x-1)$，提取公因式即可分解，注意不能直接两边除以$(2x-1)$，否则会丢失$2x-1=0$这个根。
【解析】
(1) 原方程可变形为$3x(x-1)+2x-2=0$，
对$2x-2$提取公因式2，得$3x(x-1)+2(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$，分解因式得$(x-1)(3x+2)=0$，
所以$x-1=0$或$3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(2) 原方程右边提取公因式$3x$，可化为$(2x-1)^2=3x(2x-1)$，
移项，得$(2x-1)^2-3x(2x-1)=0$，
提取公因式$(2x-1)$，分解因式得$(2x-1)[(2x-1)-3x]=0$，
整理括号内的式子，即$(2x-1)(-x-1)=0$，
所以$2x-1=0$或$-x-1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$。
【答案】
(1)$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$；(2)$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用，解题关键是通过移项、提公因式将方程转化为乘积为0的形式，解题时注意不要随意除以含有未知数的整式，避免漏根。
【难度系数】
0.85
