1.【教材 P67 探究变式】研究函数的图象和性质时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程.结合已有的学习经验，探究函数$y=-\dfrac{4}{x+1}$的图象与性质.
(1)列表：$y$与$x$的部分对应值如表，则$a=$，$b=$.
| $x$ | … | $-4$ | $-3$ | $-2$ | … | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $\dfrac{4}{3}$ | $a$ | $4$ | | $-4$ | $-2$ | $b$ | $-1$ | … |
(2)描点、连线：根据表中的数据，在如图 27－2－5 所示的平面直角坐标系中画出函数$y=-\dfrac{4}{x+1}$的图象.

图 27－2－5
(3)根据函数图象，发现函数$y=-\dfrac{4}{x+1}$的图象可由$y=-\dfrac{4}{x}$的图象向平移个单位长度得到.想象函数$y_1=-\dfrac{4}{x+1}-2$的图象，当$y_1≤2$时，$x$的取值范围是.

1.解:(1)$2$ $-\frac{4}{3}$
(2)如答图.
(3)左 $1$ $x≤-2$或$x＞-1$

【分析】
(1) 求函数值a、b时，直接将对应x的取值代入函数解析式计算即可；
(2) 描点连线需先根据表格中x、y的对应值在坐标系中标出各点，注意函数在x=-1处无定义，图象分为两支，用平滑曲线分别连接左右两侧的点即可；
(3) 反比例函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，针对x的变化判断平移方向和距离；求解y₁≤2的x范围时，可通过分分母正负的情况解分式不等式，也可结合函数图象分析，注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 当x=-3时，代入$y=-\dfrac{4}{x+1}$得：$a=-\dfrac{4}{-3+1}=-\dfrac{4}{-2}=2$；
当x=2时，代入$y=-\dfrac{4}{x+1}$得：$b=-\dfrac{4}{2+1}=-\dfrac{4}{3}$。
(2) 先在坐标系中标出$(-4,\dfrac{4}{3})$、$(-3,2)$、$(-2,4)$、$(0,-4)$、$(1,-2)$、$(2,-\dfrac{4}{3})$、$(3,-1)$这些点，因为$x=-1$时分母为0，函数在此处无定义，因此用平滑曲线分别连接x＜-1和x＞-1的各点，即可得到函数图象。
(3) 函数$y=-\dfrac{4}{x+1}$是将$y=-\dfrac{4}{x}$的自变量x替换为x+1，根据“左加右减”的平移规律，可知是向左平移1个单位长度得到；
对于$y_1=-\dfrac{4}{x+1}-2≤2$，移项得$-\dfrac{4}{x+1}≤4$：
① 当$x+1＞0$即$x＞-1$时，不等号方向不变，得$-4≤4(x+1)$，解得$x≥-2$，结合$x＞-1$，得$x＞-1$；
② 当$x+1＜0$即$x＜-1$时，不等号方向改变，得$-4≥4(x+1)$，解得$x≤-2$，结合$x＜-1$，得$x≤-2$；
综上，x的取值范围是$x≤-2$或$x＞-1$。
【答案】
(1)$2$；$-\dfrac{4}{3}$
(2)如答图.
(3)左；$1$；$x≤-2$或$x＞-1$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.函数图象平移规律
3.描点法画函数图象
【点评】
本题围绕反比例函数的探究过程设置问题，覆盖了函数解析式求值、描点画图、平移规律应用、不等式求解等考点，需要注意函数自变量的取值范围，解分式不等式时要分情况讨论，避免因忽略分母正负导致不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7

2. 如图27－2－6，一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+b$与反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}(x＜0),y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象分别交于点$A(-2,m),B(4,n)$，与$y$轴交于点$C$，连接$OA,OB$。
(1)求一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+b$和反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的解析式；
(2)求$△ AOB$的面积。

2.解:(1)$\because$点 A 在反比例函数 $y=-\frac{10}{x}$ 的图象上,
$\therefore -2m=-10$,解得 $m=5$.
$\therefore$ 点 A 的坐标为 $(-2,5)$.
把点 $A(-2,5)$ 的坐标代入 $y=-\frac{1}{2}x+b$,得 $5=1+b$,解得 $b=4$.
$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x+4$.
把点 $B(4,n)$ 的坐标代入 $y=-\frac{1}{2}x+4$,得 $n=-2+4=2$,
$\therefore$ 点 B 的坐标为 $(4,2)$.
$\because$ 点 B 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,
$\therefore k=4×2=8$.
$\therefore$ 所求反比例函数的解析式为 $y=\frac{8}{x}(x＞0)$.
(2)把 $x=0$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x+4$,得 $y=4$,
$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(0,4)$.
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×4=12$.

【分析】
(1) 求函数解析式使用待定系数法：首先将点A的横坐标代入已知的反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，求出m得到A点完整坐标；再将A点坐标代入一次函数表达式求出参数b，得到一次函数解析式；接着将B点横坐标代入已求出的一次函数解析式，算出n得到B点坐标；最后将B点坐标代入$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$求出k，即可得到该反比例函数解析式。
(2) 求$△ AOB$的面积时，因三角形无边界在坐标轴上，直接计算难度大，因此采用割补法：先找到一次函数与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形均以OC为底，高分别为A点横坐标的绝对值、B点的横坐标，分别计算两个三角形面积后求和即可。
【解析】
(1) $\because$点$A(-2,m)$在反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$的图象上，
$\therefore -2m=-10$，解得$m=5$，即点A的坐标为$(-2,5)$。
把$A(-2,5)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+b$，得$5=-\dfrac{1}{2}×(-2)+b$，解得$b=4$，
$\therefore$一次函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$。
把$B(4,n)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+4$，得$n=-\dfrac{1}{2}×4+4=2$，即点B的坐标为$(4,2)$。
$\because$点B在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore k=4×2=8$，即该反比例函数的解析式为$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$。
(2) 把$x=0$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+4$，得$y=4$，即点C的坐标为$(0,4)$，$OC=4$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×4\\&=4+8\\&=12\end{aligned}$
【答案】
(1) 一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x+4}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}(x＞0)}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{12}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，求解不规则图形面积时合理使用割补法可简化计算，是函数模块的典型常考题型。
【难度系数】
0.7