1.【教材P72习题T3变式】已知圆柱的体积为15 m³，则它的底面积$y(\mathrm{m}^2)$与高$x(\mathrm{m})$之间的函数图象大致为()

1.D

【分析】
解题时首先根据圆柱体积公式推导底面积y和高x的函数关系式，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后对应选项判断图象即可。具体思路：第一步，回忆圆柱体积=底面积×高，代入已知体积得到y与x的关系式；第二步，分析x作为圆柱的高，取值必须为正，因此函数图象只能在第一象限；第三步，逐一排除不符合的选项，选出正确答案。
【解析】
根据圆柱的体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{底面积}×\mathrm{高}$，已知体积为$15\ \mathrm{m}^3$，可得：
$15 = y· x$
变形得函数关系式：$y=\frac{15}{x}$，该函数为反比例函数。
结合实际意义，圆柱的高$x＞0$，底面积$y＞0$，因此函数图象是位于第一象限的反比例函数曲线。
逐一分析选项：
A是正比例函数图象，不符合反比例函数特征，排除；
B是下凸的递增曲线，不符合反比例函数递减的特征，排除；
C的图象包含第三象限的分支，对应$x＜0$，不符合高为正数的实际要求，排除；
D是第一象限的反比例函数递减曲线，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 反比例函数的图象
3. 圆柱体积公式
【点评】
本题将函数知识与几何体积计算结合，属于基础题，解题的易错点是忽略实际问题中自变量的取值范围，误选包含第三象限分支的选项C，解题时要注意结合实际意义分析函数图象。
【难度系数】
0.7

2.已知点$A(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$的图象上，则$k$的值是()

A.$-7$
B.$7$
C.$-5$
D.$5$

2.D 点拨:把点 $A(2,3)$ 的坐标代入 $y=\frac{k+1}{x}$,得 $k=5$.

【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数图象上点的坐标特征：若点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足这个函数的解析式。因此我们的解题思路为：把点A的横、纵坐标代入给定的反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程，求解方程即可得到k的值。
【解析】
解：
∵点$A(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$的图象上
∴将$x=2$、$y=3$代入解析式得：
$3=\frac{k+1}{2}$
等式两边同时乘2，得：
$6=k+1$
移项解得：$k=5$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，代入法是求解此类参数问题的常用方法，计算难度低，易掌握。
【难度系数】
0.9

3.如图27-2-1,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A(-1,-2),则当$x＞1$时,函数值$y$的取值范围是()

A.$y＞1$
B.$0＜y＜1$
C.$y＞2$
D.$0＜y＜2$

3.D

【分析】
解题时首先利用待定系数法，将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，确定函数解析式；再根据k的正负判断反比例函数的增减性；最后计算x=1时对应的y值，结合x＞1时函数所在象限及增减性，推导y的取值范围。
【解析】
将点A(-1,-2)代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$-2=\frac{k}{-1}$，解得$k=2$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
∵$k=2＞0$，
∴该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=1$时，$y=\frac{2}{1}=2$，
当$x＞1$时，函数图象位于第一象限，此时$y＞0$，结合增减性可知$y＜2$，
∴$x＞1$时，$0＜y＜2$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数增减性；函数取值范围
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是利用反比例函数的增减性判断指定区间的函数值范围，解题的关键是正确求出函数解析式，明确反比例函数在对应象限内的增减规律。
【难度系数】
0.8

4.【教材P73习题T6变式】函数$y=mx - m$与$y=\frac{m}{x}(m≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是()

4.D 点拨:分类讨论法: $\because m≠0$,①假设 $m＞0$,则直线 $y=mx-m$ 经过第一、第三、第四象限,双曲线 $y=\frac{m}{x}$ 的两支分别位于第一、第三象限,四个选项均不符合;②假设 $m＜0$,则直线 $y=mx-m$ 经过第一、第二、第四象限,双曲线 $y=\frac{m}{x}$ 的两支分别位于第二、第四象限,两者均符合的只有 D,故选 D.
排除法:选项 A,B 中双曲线的两支分别位于第一、第三象限,则直线 $y=mx-m$ 应经过第一、第三、第四象限,这与 A,B 中的直线矛盾,故可排除 A,B;选项 C,D 中双曲线的两支分别位于第二、第四象限,则直线 $y=mx-m$ 应经过第一、第二、第四象限,故可排除 C,只有 D 符合条件,故选 D.

【分析】
本题是一次函数与反比例函数图象在同一坐标系中的判断问题，可采用分类讨论法或排除法求解：两类函数的图象特征都和参数m的正负相关，我们可以分m＞0和m＜0两种情况，分别推导一次函数、反比例函数的图象所在象限，再和选项逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
方法一：分类讨论法
已知$m≠0$，分两种情况讨论：
① 若$m＞0$：
一次函数$y=mx-m$中，斜率$m＞0$，截距$-m＜0$，因此图象经过第一、第三、第四象限；
反比例函数$y=\frac{m}{x}$中，$m＞0$，因此图象的两支分别位于第一、第三象限，对比四个选项，均不符合该情况。
② 若$m＜0$：
一次函数$y=mx-m$中，斜率$m＜0$，截距$-m＞0$，因此图象经过第一、第二、第四象限；
反比例函数$y=\frac{m}{x}$中，$m＜0$，因此图象的两支分别位于第二、第四象限，对比选项，只有D符合该情况。
方法二：排除法
观察选项A、B，双曲线在第一、第三象限，说明$m＞0$，此时一次函数$y=mx-m$应经过第一、第三、第四象限，与A、B中直线的图象矛盾，排除A、B；
观察选项C、D，双曲线在第二、第四象限，说明$m＜0$，此时一次函数$y=mx-m$应经过第一、第二、第四象限，C中直线不符合，排除C，只有D符合条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，反比例函数图象性质，分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象共存类的典型题型，核心考查两类函数的图象与系数的对应关系，解题时既可以通过分类讨论逐一验证，也可以用排除法快速缩小选项范围，掌握函数系数和图象位置的对应规律是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7

5.函数$y_1=ax^2+bx+c$与$y_2=\frac{k}{x}$的图象如图27-2-2所示，若$y_1,y_2$均随着$x$的增大而减小，则$x$的取值范围为()



A.$x＜-1$
B.$-1＜x＜0$
C.$0＜x＜2$
D.$x＞1$

5.D

【分析】
解题时需分别确定两个函数y随x增大而减小的x的取值范围，再取两个范围的公共部分即为所求。首先回忆反比例函数的增减性：当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小；再回忆二次函数的增减性：抛物线的增减性以对称轴为分界，开口向下时对称轴右侧y随x的增大而减小，开口向上时对称轴左侧y随x的增大而减小，结合图象特征确定二次函数的增减区间，最后求两个区间的交集即可。
【解析】
1. 分析反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的增减性：由图象可得$k＞0$，因此当$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而减小（$x＜0$时$y_2$也随x增大而减小，需结合二次函数增减性进一步判断）。
2. 分析二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的增减性：由图象可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＞1$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
3. 取两个增减区间的公共部分：要满足两个函数均随x增大而减小，需同时满足$x＞0$和$x＞1$，即$x＞1$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；二次函数的性质；函数图象的应用
【点评】
本题侧重考查两类函数的增减性应用，解题关键是分别找准两个函数的递减区间，再取公共部分，注意反比例函数的增减性是在每个象限内讨论，不能跨象限判断。
【难度系数】
0.7

6.反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$，$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，$y_3=\frac{k_3}{x}(x＜0)$在同一平面直角坐标系中的图象如图27－2－3所示，则$k_1,k_2,k_3$的大小关系为.(用“＜”连接)

6.$k_1＜k_2＜k_3$

【分析】
要比较三个反比例函数的k值大小，可按以下思路思考：
1. 先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的核心性质：k的符号决定图象所在象限，k＞0时图象在第一、三象限，k＜0时图象在第二、四象限；对于k＞0的函数，|k|越大，图象离原点越远，相同横坐标对应的纵坐标越大，$k=xy$的值就越大。
2. 先判断k的符号：$y_1、y_2$的图象在x＞0的第一象限，因此$k_1、k_2$均为正；$y_3$的图象在x＜0的第三象限，x、y均为负，乘积$k_3=xy$也为正，即三个k值均为正数。
3. 再比较同号k的大小：先比较第一象限的$k_1、k_2$，取同一正x值，$y_2$对应纵坐标更大，因此$k_2＞k_1$；再比较$k_2$和$k_3$，取绝对值相同的横坐标，$y_3$对应纵坐标的绝对值更大，因此$k_3＞k_2$，最终可得大小关系。
【解析】
1. 判断k的符号：
反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$、$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象位于第一象限，因此$k_1＞0$，$k_2＞0$；
反比例函数$y_3=\frac{k_3}{x}(x＜0)$的图象位于第三象限，x＜0时y＜0，因此$k_3=x· y＞0$，三个k值均为正数。
2. 比较$k_1$和$k_2$：
任取同一个正数$x_0$，观察图象得对应函数值$y_{2(x_0)}＞y_{1(x_0)}$，两边同乘正数$x_0$，得$x_0· y_{2(x_0)}＞x_0· y_{1(x_0)}$，即$k_2＞k_1$。
3. 比较$k_2$和$k_3$：
取$x=a$（$a＞0$），则$y_{2(a)}=\frac{k_2}{a}$，即$k_2=a· y_{2(a)}$；
取$x=-a$，则$y_{3(-a)}=\frac{k_3}{-a}$，即$k_3=-a· y_{3(-a)}$；
观察图象得$|y_{3(-a)}|=-y_{3(-a)}＞y_{2(a)}$，两边同乘正数$a$得$a·(-y_{3(-a)})＞a· y_{2(a)}$，即$k_3＞k_2$。
综上可得$k_1＜k_2＜k_3$。
【答案】
$k_1＜k_2＜k_3$
【知识点】
反比例函数图象与系数的关系、反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题关键是熟练掌握k的符号与图象象限的对应关系，以及同号k的大小比较方法，也可通过取特殊值代入的方法快速得出结果，考查对反比例函数性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.7

7.已知反比例函数$y=\frac{1-m}{x}$的图象如图27-2-4，则m的取值范围是.

7.$m＜1$ 点拨:双曲线的两支分别位于第一、第三象限,故 $1-m＞0$,解得 $m＜1$.

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象所在象限由$k$的符号决定，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限。结合题图可知该函数图象位于第一、三象限，因此可得到关于$m$的不等式，解不等式即可求出$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
当$k＞0$时，函数图象的两支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，函数图象的两支分别位于第二、第四象限。
由题图可知，$y=\frac{1-m}{x}$的图象位于第一、第三象限，因此比例系数满足：
$1-m＞0$
移项得：$-m＞-1$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得：$m＜1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，核心是掌握反比例函数图象位置与比例系数$k$的对应关系，解题时注意解含负系数的不等式时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.9