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1. 如图27－2－7，A，C是函数$y=\frac{1}{x}$的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记$\mathrm{Rt}△ AOB$的面积为$S_1$，$\mathrm{Rt}△ COD$的面积为$S_2$，则（
A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.$S_1$和$S_2$的大小关系不确定
C
）A.$S_1＞S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1=S_2$
D.$S_1$和$S_2$的大小关系不确定
答案
1. C 点拨:因为 $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2},S_{△ COD}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$,所以 $S_{△ AOB}=S_{△ COD}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点，向x轴或y轴作垂线，该点、垂足与原点围成的直角三角形面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，与点的位置无关。本题中两个直角三角形均符合上述特征，可先设图象上点的坐标，结合点在反比例函数上横纵坐标乘积等于k的性质，再代入三角形面积公式计算，最后比较两个面积的大小即可。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点C的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵A、C均在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$。
对于$Rt△ AOB$，OB为点A横坐标的绝对值，AB为点A纵坐标的绝对值，因此：
$S_1=\frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2} |x_1| · |y_1| = \frac{1}{2} |x_1y_1| = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2}$。
对于$Rt△ COD$，OD为点C纵坐标的绝对值，CD为点C横坐标的绝对值，因此：
$S_2=\frac{1}{2} × OD × CD = \frac{1}{2} |y_2| · |x_2| = \frac{1}{2} |x_2y_2| = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2}$。
∴$S_1=S_2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，核心考查反比例函数中k的几何意义，只要掌握该规律即可快速得出结论，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点，向x轴或y轴作垂线，该点、垂足与原点围成的直角三角形面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，与点的位置无关。本题中两个直角三角形均符合上述特征，可先设图象上点的坐标，结合点在反比例函数上横纵坐标乘积等于k的性质，再代入三角形面积公式计算，最后比较两个面积的大小即可。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点C的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵A、C均在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$。
对于$Rt△ AOB$，OB为点A横坐标的绝对值，AB为点A纵坐标的绝对值，因此：
$S_1=\frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2} |x_1| · |y_1| = \frac{1}{2} |x_1y_1| = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2}$。
对于$Rt△ COD$，OD为点C纵坐标的绝对值，CD为点C横坐标的绝对值，因此：
$S_2=\frac{1}{2} × OD × CD = \frac{1}{2} |y_2| · |x_2| = \frac{1}{2} |x_2y_2| = \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{2}$。
∴$S_1=S_2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，核心考查反比例函数中k的几何意义，只要掌握该规律即可快速得出结论，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
2.如图27－2－8，点A是反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上任意一点，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B，C，则四边形OBAC的面积为（
A.1.5
B.3
C.6
D.9
图27－2－7 图27－2－8 图27－2－9 图27－2－10
B
）A.1.5
B.3
C.6
D.9
图27－2－7 图27－2－8 图27－2－9 图27－2－10
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：过反比例函数图象上的点作x轴、y轴的垂线，围成的四边形是矩形，此时可联想到反比例函数中比例系数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$。本题已知反比例函数解析式，确定k的值即可直接得出矩形面积，也可通过设点坐标，结合点在函数图象上坐标满足解析式，计算矩形面积验证结果。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将点A坐标代入解析式得：$y=\frac{3}{x}$，即$xy=3$。
∵$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，且x轴与y轴互相垂直，
∴四边形OBAC的四个内角均为直角，即四边形OBAC是矩形，
∴矩形OBAC的面积$S=OB· OC$，其中OB为点A的横坐标$x$，OC为点A的纵坐标$y$，
∴$S=xy=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，熟练掌握反比例函数k的几何意义可直接快速得出结果，无需复杂计算，是反比例函数相关考题中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：过反比例函数图象上的点作x轴、y轴的垂线，围成的四边形是矩形，此时可联想到反比例函数中比例系数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$。本题已知反比例函数解析式，确定k的值即可直接得出矩形面积，也可通过设点坐标，结合点在函数图象上坐标满足解析式，计算矩形面积验证结果。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将点A坐标代入解析式得：$y=\frac{3}{x}$，即$xy=3$。
∵$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，且x轴与y轴互相垂直，
∴四边形OBAC的四个内角均为直角，即四边形OBAC是矩形，
∴矩形OBAC的面积$S=OB· OC$，其中OB为点A的横坐标$x$，OC为点A的纵坐标$y$，
∴$S=xy=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，熟练掌握反比例函数k的几何意义可直接快速得出结果，无需复杂计算，是反比例函数相关考题中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图27－2－9，正比例函数$y_1=k_1x(k_1＜0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＜0)$的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是(
A.$x＜-1$或$x＞1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜1$
C.$-1＜x＜0$或$x＞1$
D.$-1＜x＜0$或$0＜x＜1$
C
)A.$x＜-1$或$x＞1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜1$
C.$-1＜x＜0$或$x＞1$
D.$-1＜x＜0$或$0＜x＜1$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，由点A的横坐标为-1，可推出另一交点B的横坐标为1；要找y₁＜y₂时x的取值范围，本质是找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方的区域对应的x值，接下来以x=-1、x=0、x=1为分界点拆分区间，结合两个函数的图象所在象限逐一判断各区间内函数值的大小关系即可。
【解析】
1. 求另一交点横坐标：
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点A、B关于原点对称，已知点A的横坐标为-1，
∴点B的横坐标为1。
2. 判断函数图象所在象限：
∵k₁＜0，
∴正比例函数y₁=k₁x的图象经过第二、四象限；
∵k₂＜0，
∴反比例函数y₂=$\frac{k_2}{x}$的图象分布在第二、四象限。
3. 分区间比较函数值大小：
① 当x＜-1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时y₁＞y₂，不符合要求；
② 当-1＜x＜0时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，此时y₁＜y₂，符合要求；
③ 当0＜x＜1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时y₁＞y₂，不符合要求；
④ 当x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，此时y₁＜y₂，符合要求。
综上，当y₁＜y₂时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，函数值大小比较
【点评】
本题考查利用函数图象比较函数值大小，解题的关键是掌握正比例函数与反比例函数交点的对称性，结合数形结合思想分区间判断图象的上下位置即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，由点A的横坐标为-1，可推出另一交点B的横坐标为1；要找y₁＜y₂时x的取值范围，本质是找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方的区域对应的x值，接下来以x=-1、x=0、x=1为分界点拆分区间，结合两个函数的图象所在象限逐一判断各区间内函数值的大小关系即可。
【解析】
1. 求另一交点横坐标：
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点A、B关于原点对称，已知点A的横坐标为-1，
∴点B的横坐标为1。
2. 判断函数图象所在象限：
∵k₁＜0，
∴正比例函数y₁=k₁x的图象经过第二、四象限；
∵k₂＜0，
∴反比例函数y₂=$\frac{k_2}{x}$的图象分布在第二、四象限。
3. 分区间比较函数值大小：
① 当x＜-1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时y₁＞y₂，不符合要求；
② 当-1＜x＜0时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，此时y₁＜y₂，符合要求；
③ 当0＜x＜1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时y₁＞y₂，不符合要求；
④ 当x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，此时y₁＜y₂，符合要求。
综上，当y₁＜y₂时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，函数值大小比较
【点评】
本题考查利用函数图象比较函数值大小，解题的关键是掌握正比例函数与反比例函数交点的对称性，结合数形结合思想分区间判断图象的上下位置即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图27-2-10，已知点A在反比例函数的图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为
$y=-\frac{2}{x}$
。答案
4. $y=-\frac{2}{x}$ 点拨:设 A 点坐标为$(x,y)$,由$△ AOM$的面积是 1,知$\frac{1}{2}|xy|=1$,解得$|xy|=2$,所以$xy=±2$.又因为点 A 在第二象限,所以$xy=-2$,所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作$x$轴（或$y$轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先利用已知的三角形面积求出$|k|$的值，再根据点$A$所在的象限判断$k$的正负，最终确定$k$的值即可得到反比例函数解析式。
【解析】
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，点$A$的坐标为$(x,y)$。
$\because AM⊥ x$轴，$\therefore OM=|x|$，$AM=|y|$，
$△ AOM$的面积为：$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}×|OM|×|AM|=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|$。
已知$S_{△ AOM}=1$，代入得$\frac{1}{2}|xy|=1$，解得$|xy|=2$。
$\because$点$A$在反比例函数图象上，$\therefore y=\frac{k}{x}$，即$k=xy$，因此$|k|=2$，$k=\pm2$。
由图可知点$A$在第二象限，$x＜0$，$y＞0$，则$xy＜0$，故$k=-2$。
综上，反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{2}{x}$
【知识点】
1.反比例函数$k$的几何意义 2.反比例函数的性质 3.待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数应用的基础题型，核心考查对$k$的几何意义的掌握，解题时要注意结合图象所在象限判断$k$的符号，避免忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作$x$轴（或$y$轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先利用已知的三角形面积求出$|k|$的值，再根据点$A$所在的象限判断$k$的正负，最终确定$k$的值即可得到反比例函数解析式。
【解析】
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，点$A$的坐标为$(x,y)$。
$\because AM⊥ x$轴，$\therefore OM=|x|$，$AM=|y|$，
$△ AOM$的面积为：$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}×|OM|×|AM|=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|$。
已知$S_{△ AOM}=1$，代入得$\frac{1}{2}|xy|=1$，解得$|xy|=2$。
$\because$点$A$在反比例函数图象上，$\therefore y=\frac{k}{x}$，即$k=xy$，因此$|k|=2$，$k=\pm2$。
由图可知点$A$在第二象限，$x＜0$，$y＞0$，则$xy＜0$，故$k=-2$。
综上，反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{2}{x}$
【知识点】
1.反比例函数$k$的几何意义 2.反比例函数的性质 3.待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数应用的基础题型，核心考查对$k$的几何意义的掌握，解题时要注意结合图象所在象限判断$k$的符号，避免忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.75
5. 如图27－2－11，已知反比例函数 $ y_1 = \frac{m}{x} $ 的图象与一次函数 $ y_2 = kx + b $ 的图象交于两点 $ A(-2,1), B(a,-2) $。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若一次函数 $ y_2 = kx + b $ 的图象交 $ y $ 轴于点 $ C $，求 $ △ AOC $ 的面积(O为坐标原点)；
(3)求 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若一次函数 $ y_2 = kx + b $ 的图象交 $ y $ 轴于点 $ C $，求 $ △ AOC $ 的面积(O为坐标原点)；
(3)求 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围。
答案
5. 解:(1)将 $ A(-2,1),B(a,-2) $ 的坐标分别代入 $ y_1=\frac{m}{x} $,再分别代入 $ y_2=kx+b $,可得$\begin{cases}m=-2,\\k=-1,\\b=-1,\\a=1,\end{cases}$即 $ y_1=-\frac{2}{x},y_2=-x-1,B(1,-2) $.(2)由题意,得 $ C(0,-1) $.过点 A 作 $ AD⊥y $ 轴,交 y 轴于点 D.则 $ S_{△ AOC}=\frac{OC·AD}{2}=\frac{1×2}{2}=1 $.(3)$ -2＜x＜0 $ 或 $ x＞1 $.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式可使用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数解析式；再将点B的纵坐标代入反比例解析式求出a的值，得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到一次函数解析式。
(2) 求△AOC的面积时，先求C点坐标：一次函数与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入一次函数解析式即可得到C点坐标；以OC为底，点A到y轴的距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 求$y_1＞y_2$的x取值范围，可结合图象分析：反比例函数图象位于一次函数图象上方的部分对应的x值即为所求，结合两个交点坐标分区间判断即可，注意反比例函数有两个分支，不要漏解。
【解析】
(1) 把$A(-2,1)$代入$y_1=\frac{m}{x}$，得：
$1=\frac{m}{-2}$，解得$m=-2$，
∴反比例函数解析式为$y_1=-\frac{2}{x}$。
把$B(a,-2)$代入$y_1=-\frac{2}{x}$，得：
$-2=\frac{-2}{a}$，解得$a=1$，即$B(1,-2)$。
把$A(-2,1)$、$B(1,-2)$代入$y_2=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k + b = 1 \\k + b = -2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=-1\end{cases}$，
∴一次函数解析式为$y_2=-x-1$。
(2) 对于$y_2=-x-1$，令$x=0$，得$y=-1$，
∴$C(0,-1)$，$OC=1$。
过A作$AD⊥y$轴于D，$AD=|-2|=2$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × AD = \frac{1}{2} × 1 × 2 =1$。
(3) 结合图象可得，反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值为$-2＜x＜0$或$x＞1$，即$y_1＞y_2$时x的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
(1) $y_1=-\frac{2}{x}$，$y_2=-x-1$；
(2) $1$；
(3) $-2＜x＜0$或$x＞1$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，坐标系面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，侧重考查待定系数法的应用和数形结合思想，解题时注意结合图象分析不等式的解集，避免漏解，熟练掌握函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式可使用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数解析式；再将点B的纵坐标代入反比例解析式求出a的值，得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到一次函数解析式。
(2) 求△AOC的面积时，先求C点坐标：一次函数与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入一次函数解析式即可得到C点坐标；以OC为底，点A到y轴的距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 求$y_1＞y_2$的x取值范围，可结合图象分析：反比例函数图象位于一次函数图象上方的部分对应的x值即为所求，结合两个交点坐标分区间判断即可，注意反比例函数有两个分支，不要漏解。
【解析】
(1) 把$A(-2,1)$代入$y_1=\frac{m}{x}$，得：
$1=\frac{m}{-2}$，解得$m=-2$，
∴反比例函数解析式为$y_1=-\frac{2}{x}$。
把$B(a,-2)$代入$y_1=-\frac{2}{x}$，得：
$-2=\frac{-2}{a}$，解得$a=1$，即$B(1,-2)$。
把$A(-2,1)$、$B(1,-2)$代入$y_2=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k + b = 1 \\k + b = -2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=-1\end{cases}$，
∴一次函数解析式为$y_2=-x-1$。
(2) 对于$y_2=-x-1$，令$x=0$，得$y=-1$，
∴$C(0,-1)$，$OC=1$。
过A作$AD⊥y$轴于D，$AD=|-2|=2$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × AD = \frac{1}{2} × 1 × 2 =1$。
(3) 结合图象可得，反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值为$-2＜x＜0$或$x＞1$，即$y_1＞y_2$时x的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
(1) $y_1=-\frac{2}{x}$，$y_2=-x-1$；
(2) $1$；
(3) $-2＜x＜0$或$x＞1$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，坐标系面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，侧重考查待定系数法的应用和数形结合思想，解题时注意结合图象分析不等式的解集，避免漏解，熟练掌握函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
