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1. 如图27－2－12，反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$和正比例函数$y_2=k_2x$的图象交于$A(-1,-3)$，$B(1,3)$两点，若$\frac{k_1}{x}＞k_2x$，则$x$的取值范围是(
A.$-1＜x＜0$
B.$-1＜x＜1$
C.$x＜-1$或$0＜x＜1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞1$
图27－2－12
图27－2－13
C
)A.$-1＜x＜0$
B.$-1＜x＜1$
C.$x＜-1$或$0＜x＜1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞1$
图27－2－12
图27－2－13
答案
1. C
解析
【分析】
要解决$\frac{k_1}{x}＞k_2x$的取值范围问题，可利用数形结合思想：该不等式的几何意义是反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在正比例函数$y_2=k_2x$图象上方时对应的x的取值。解题时先明确两函数的交点坐标，再按x的取值范围分区间（$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$）依次判断两函数图象的上下位置，同时注意反比例函数自变量x不为0，交点处两函数值相等不满足“大于”的条件。
【解析】
不等式$\frac{k_1}{x}＞k_2x$的含义是：同一x值下，反比例函数的函数值大于正比例函数的函数值，即反比例函数图象位于正比例函数图象上方。
已知两函数交于$A(-1,-3)$、$B(1,3)$两点，分区间讨论：
1. 当$x＜-1$时，第三象限内反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足不等式；
2. 当$-1＜x＜0$时，第三象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方，不满足不等式；
3. 当$0＜x＜1$时，第一象限内反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足不等式；
4. 当$x＞1$时，第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方，不满足不等式。
另外$x=-1$、$x=1$时两函数值相等，$x=0$时分式无意义，均不符合要求。
综上，x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象；一次函数的图象；图象法解不等式
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题时需注意反比例函数图象分为两支，要分别在$x＞0$和$x＜0$两个区间内判断图象的位置关系，避免漏解或错判区间。
【难度系数】
0.7
要解决$\frac{k_1}{x}＞k_2x$的取值范围问题，可利用数形结合思想：该不等式的几何意义是反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在正比例函数$y_2=k_2x$图象上方时对应的x的取值。解题时先明确两函数的交点坐标，再按x的取值范围分区间（$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$）依次判断两函数图象的上下位置，同时注意反比例函数自变量x不为0，交点处两函数值相等不满足“大于”的条件。
【解析】
不等式$\frac{k_1}{x}＞k_2x$的含义是：同一x值下，反比例函数的函数值大于正比例函数的函数值，即反比例函数图象位于正比例函数图象上方。
已知两函数交于$A(-1,-3)$、$B(1,3)$两点，分区间讨论：
1. 当$x＜-1$时，第三象限内反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足不等式；
2. 当$-1＜x＜0$时，第三象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方，不满足不等式；
3. 当$0＜x＜1$时，第一象限内反比例函数图象在正比例函数图象上方，满足不等式；
4. 当$x＞1$时，第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方，不满足不等式。
另外$x=-1$、$x=1$时两函数值相等，$x=0$时分式无意义，均不符合要求。
综上，x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象；一次函数的图象；图象法解不等式
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题时需注意反比例函数图象分为两支，要分别在$x＞0$和$x＜0$两个区间内判断图象的位置关系，避免漏解或错判区间。
【难度系数】
0.7
2.如图27－2－13是反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第二象限内的图象，若图中的长方形OABC的面积为2，则k＝
-2
.答案
2. $-2$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于$\left|k\right|$。接下来结合题目信息，先根据矩形面积求出$\left|k\right|$的值，再根据反比例函数图象所在的第二象限判断$k$的符号，最终确定$k$的取值。
【解析】
设反比例函数图象上点$B$的坐标为$(x,y)$，
∵ 点$B$在第二象限，
∴ $x＜0$，$y＞0$，
∵ 长方形$OABC$的面积为2，
∴ $S_{\mathrm{长方形}OABC}=\left|x\right|×\left|y\right|=-x· y=2$，即$xy=-2$，
又
∵ 点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $k=xy$，
∴ $k=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义；反比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心是对$k$的几何意义的理解，解题时需注意结合函数图象所在象限判断$k$的正负，避免忽略符号直接取面积值导致失分。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于$\left|k\right|$。接下来结合题目信息，先根据矩形面积求出$\left|k\right|$的值，再根据反比例函数图象所在的第二象限判断$k$的符号，最终确定$k$的取值。
【解析】
设反比例函数图象上点$B$的坐标为$(x,y)$，
∵ 点$B$在第二象限，
∴ $x＜0$，$y＞0$，
∵ 长方形$OABC$的面积为2，
∴ $S_{\mathrm{长方形}OABC}=\left|x\right|×\left|y\right|=-x· y=2$，即$xy=-2$，
又
∵ 点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $k=xy$，
∴ $k=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义；反比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心是对$k$的几何意义的理解，解题时需注意结合函数图象所在象限判断$k$的正负，避免忽略符号直接取面积值导致失分。
【难度系数】
0.75
3.设函数$y=\dfrac{2}{x}$与$y=x-1$的图象的交点坐标为$(a,b)$，则$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$的值为
$-\frac{1}{2}$
。答案
3. $-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此先将交点$(a,b)$分别代入两个函数表达式，得到$ab$和$b-a$的关系；再将待求的代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$通分化简为用$ab$和$b-a$表示的形式，最后整体代入求值即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
∵ 点$(a,b)$是函数$y=\dfrac{2}{x}$与$y=x-1$的图象的交点，
∴ 将$(a,b)$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$b=\dfrac{2}{a}$，整理得$ab=2$；
将$(a,b)$代入$y=x-1$，得$b=a-1$，整理得$b-a=-1$。
对待求式通分化简：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b - a}{ab}$
将$ab=2$，$b-a=-1$代入上式，得：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 函数交点的意义
2. 分式化简求值
3. 反比例函数图象性质
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心是利用交点坐标的性质得到参数关系，采用整体代入的方法求值，避免了解方程的复杂过程，是考察代数变形与函数性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此先将交点$(a,b)$分别代入两个函数表达式，得到$ab$和$b-a$的关系；再将待求的代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$通分化简为用$ab$和$b-a$表示的形式，最后整体代入求值即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
∵ 点$(a,b)$是函数$y=\dfrac{2}{x}$与$y=x-1$的图象的交点，
∴ 将$(a,b)$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$b=\dfrac{2}{a}$，整理得$ab=2$；
将$(a,b)$代入$y=x-1$，得$b=a-1$，整理得$b-a=-1$。
对待求式通分化简：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b - a}{ab}$
将$ab=2$，$b-a=-1$代入上式，得：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 函数交点的意义
2. 分式化简求值
3. 反比例函数图象性质
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心是利用交点坐标的性质得到参数关系，采用整体代入的方法求值，避免了解方程的复杂过程，是考察代数变形与函数性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图27－2－14，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O处，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a,a)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与正方形的一个交点。若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为
$y=\frac{3}{x}$
。答案
4. $y=\frac{3}{x}$ 点拨:根据反比例函数图象的轴对称性,知阴影部分的面积恰是以点 O 为顶点的小正方形的面积,由点 P 的横坐标可以确定小正方形的边长为 3a,故阴影部分的面积是 $9a^2=9$,解得 $a^2=1$. 因为点 P$(3a,a)$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象上,所以 $a=\frac{k}{3a}$,解得 $k=3a^2=3$,所以 $y=\frac{3}{x}$.
解析
【分析】
解题时首先利用反比例函数和正方形均为中心对称图形的性质，可知分散的两块阴影部分可以拼接成一个边长为3a的小正方形，其面积等于已知的阴影面积9，先求解得到$a^2$的值；再将点P的坐标代入反比例函数解析式，利用反比例函数$k=xy$的关系即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式。
【解析】
∵ 反比例函数的图象关于原点中心对称，正方形的中心也在原点，即正方形也关于原点中心对称，
∴ 图中阴影部分的面积之和恰好等于边长为3a的小正方形的面积，
根据题意得：$(3a)^2=9$，
解得$a^2=1$。
∵ 点$P(3a,a)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
∴ $k=3a · a=3a^2$，
将$a^2=1$代入得：$k=3×1=3$，
∴ 该反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=\frac{3}{x}$
【知识点】
反比例函数的对称性，待定系数法求解析式，中心对称的性质
【点评】
本题将反比例函数性质与中心对称、面积计算相结合，解题的突破口是利用对称性将不规则的阴影面积转化为规则的正方形面积，简化了计算过程，是反比例函数应用类的典型题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用反比例函数和正方形均为中心对称图形的性质，可知分散的两块阴影部分可以拼接成一个边长为3a的小正方形，其面积等于已知的阴影面积9，先求解得到$a^2$的值；再将点P的坐标代入反比例函数解析式，利用反比例函数$k=xy$的关系即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式。
【解析】
∵ 反比例函数的图象关于原点中心对称，正方形的中心也在原点，即正方形也关于原点中心对称，
∴ 图中阴影部分的面积之和恰好等于边长为3a的小正方形的面积，
根据题意得：$(3a)^2=9$，
解得$a^2=1$。
∵ 点$P(3a,a)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
∴ $k=3a · a=3a^2$，
将$a^2=1$代入得：$k=3×1=3$，
∴ 该反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=\frac{3}{x}$
【知识点】
反比例函数的对称性，待定系数法求解析式，中心对称的性质
【点评】
本题将反比例函数性质与中心对称、面积计算相结合，解题的突破口是利用对称性将不规则的阴影面积转化为规则的正方形面积，简化了计算过程，是反比例函数应用类的典型题目。
【难度系数】
0.7
5. 如图27－2－15，正比例函数$y_1＝k_1x$与反比例函数$y_2＝\frac{k_2}{x}$的图象相交于A，B两点，已知点A的坐标为$(4,n)$，$BD⊥x$轴于点D，且$S_{△ BDO}＝4$，过点A的一次函数$y_3＝k_3x＋b$与反比例函数$y_2＝\frac{k_2}{x}$的图象交于另一点C$(1,m)$，与x轴交于点E$(5,0)$。
(1)求正比例函数$y_1＝k_1x$、反比例函数$y_2＝\frac{k_2}{x}$和一次函数$y_3＝k_3x＋b$的解析式；
(2)结合图象，直接写出当$k_3x＋b＞\frac{k_2}{x}＞k_1x$时，x的取值范围。
图27－2－15
(1)求正比例函数$y_1＝k_1x$、反比例函数$y_2＝\frac{k_2}{x}$和一次函数$y_3＝k_3x＋b$的解析式；
(2)结合图象，直接写出当$k_3x＋b＞\frac{k_2}{x}＞k_1x$时，x的取值范围。
图27－2－15
答案
5. 解:(1)设 $B(p,q)$,则 $k_2=|pq|$,又 $\because S_{△ BDO}=\frac{1}{2}|pq|=4$,得 $|pq|=pq=8$,$\therefore k_2=8$,$\therefore y_2=\frac{8}{x}$.$\therefore A(4,2),B(-4,-2)$,得 $4k_1=2,k_1=\frac{1}{2}$,$\therefore y_1=\frac{1}{2}x$.由$\begin{cases}4k_3+b=2,\\5k_3+b=0,\end{cases}$得$\begin{cases}k_3=-2,\\b=10,\end{cases}$$\therefore y_3=-2x+10$.(2)由图象可知满足题意的 $x$ 的取值范围为 $x＜-4$ 或 $1＜x＜4$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 先求反比例函数解析式：利用反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k_2|$，结合$S_{△ BDO}=4$即可求出$k_2$，得到反比例函数解析式；再将点A的横坐标代入反比例解析式，求出点A的纵坐标，代入正比例函数即可求出$k_1$，得到正比例函数解析式；最后将点A和点E的坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出$k_3$和$b$，得到一次函数解析式。
(2) 求不等式的取值范围：利用数形结合思想，找到一次函数图象在反比例函数图象上方、且反比例函数图象在正比例函数图象上方对应的x的范围，结合三个函数的交点坐标分段判断即可。
【解析】
(1) 设点B的坐标为$(p,q)$，
∵点B在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴$k_2=pq$，
∵$BD⊥ x$轴，$S_{△ BDO}=\frac{1}{2}|p· q|=4$，
∴$|pq|=8$，
由图象可知反比例函数图象在第一、三象限，
∴$k_2＞0$，即$k_2=pq=8$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{8}{x}$。
∵点A$(4,n)$在反比例函数图象上，
∴$n=\frac{8}{4}=2$，即A$(4,2)$，
∵正比例函数$y_1=k_1x$过点A，
∴$4k_1=2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，
∴正比例函数的解析式为$y_1=\frac{1}{2}x$。
∵一次函数$y_3=k_3x+b$过点A$(4,2)$和E$(5,0)$，
∴可列方程组$\begin{cases}4k_3+b=2\\5k_3+b=0\end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得$k_3=-2$，将$k_3=-2$代入$5k_3+b=0$，解得$b=10$，
∴一次函数的解析式为$y_3=-2x+10$。
(2) 结合图象观察可得：
当$x＜-4$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，且反比例函数图象在正比例函数图象上方；当$1＜x＜4$时，也满足该大小关系，因此对应的x的取值范围为$x＜-4$或$1＜x＜4$。
【答案】
(1) 正比例函数解析式为$\boldsymbol{y_1=\frac{1}{2}x}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y_2=\frac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y_3=-2x+10}$；
(2) x的取值范围为$\boldsymbol{x＜-4或1＜x＜4}$。
【知识点】
反比例函数k的几何意义；待定系数法求解析式；函数图象与不等式
【点评】
本题是函数综合类基础题，考察了三类常见函数的基本性质，同时渗透了数形结合思想，熟练掌握待定系数法求解析式、能通过图象位置判断函数值大小是解题核心。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 先求反比例函数解析式：利用反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k_2|$，结合$S_{△ BDO}=4$即可求出$k_2$，得到反比例函数解析式；再将点A的横坐标代入反比例解析式，求出点A的纵坐标，代入正比例函数即可求出$k_1$，得到正比例函数解析式；最后将点A和点E的坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出$k_3$和$b$，得到一次函数解析式。
(2) 求不等式的取值范围：利用数形结合思想，找到一次函数图象在反比例函数图象上方、且反比例函数图象在正比例函数图象上方对应的x的范围，结合三个函数的交点坐标分段判断即可。
【解析】
(1) 设点B的坐标为$(p,q)$，
∵点B在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴$k_2=pq$，
∵$BD⊥ x$轴，$S_{△ BDO}=\frac{1}{2}|p· q|=4$，
∴$|pq|=8$，
由图象可知反比例函数图象在第一、三象限，
∴$k_2＞0$，即$k_2=pq=8$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{8}{x}$。
∵点A$(4,n)$在反比例函数图象上，
∴$n=\frac{8}{4}=2$，即A$(4,2)$，
∵正比例函数$y_1=k_1x$过点A，
∴$4k_1=2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，
∴正比例函数的解析式为$y_1=\frac{1}{2}x$。
∵一次函数$y_3=k_3x+b$过点A$(4,2)$和E$(5,0)$，
∴可列方程组$\begin{cases}4k_3+b=2\\5k_3+b=0\end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得$k_3=-2$，将$k_3=-2$代入$5k_3+b=0$，解得$b=10$，
∴一次函数的解析式为$y_3=-2x+10$。
(2) 结合图象观察可得：
当$x＜-4$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，且反比例函数图象在正比例函数图象上方；当$1＜x＜4$时，也满足该大小关系，因此对应的x的取值范围为$x＜-4$或$1＜x＜4$。
【答案】
(1) 正比例函数解析式为$\boldsymbol{y_1=\frac{1}{2}x}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y_2=\frac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y_3=-2x+10}$；
(2) x的取值范围为$\boldsymbol{x＜-4或1＜x＜4}$。
【知识点】
反比例函数k的几何意义；待定系数法求解析式；函数图象与不等式
【点评】
本题是函数综合类基础题，考察了三类常见函数的基本性质，同时渗透了数形结合思想，熟练掌握待定系数法求解析式、能通过图象位置判断函数值大小是解题核心。
【难度系数】
0.7
