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1.(北京)在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$O$和点$A(3,3a)$.
(1)求$c$的值,并用含$a$的式子表示$b$.
(2)过点$P(t,0)$作$x$轴的垂线,交抛物线于点$M$,交直线$y=ax$于点$N$.
①若$a=1,t=4$,求$MN$的长.
②已知在点$P$从点$O$运动到点$B(2a,0)$的过程中,$MN$的长随$OP$的长的增大而增大,求$a$的取值范围.
(1)求$c$的值,并用含$a$的式子表示$b$.
(2)过点$P(t,0)$作$x$轴的垂线,交抛物线于点$M$,交直线$y=ax$于点$N$.
①若$a=1,t=4$,求$MN$的长.
②已知在点$P$从点$O$运动到点$B(2a,0)$的过程中,$MN$的长随$OP$的长的增大而增大,求$a$的取值范围.
答案
1.解:(1)将点$O(0,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+c$,得$c=0$。
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx$，
将点$A(3,3a)$的坐标代入$y=ax^2+bx$，得$3a=9a+3b$,解得$b=-2a$。
(2)①若$a=1$,则该抛物线及直线对应的函数解析式分别为$y=x^2-2x$,$y=x$，
当$t=4$时,点$P(4,0)$,如答图26-1①，
∵$PM⊥x$轴,
∴$x_M=x_N=4$。
将$x=4$代入$y=x^2-2x$,得$y=4^2-2×4=8$,即$M(4,8)$，
将$x=4$代入$y=x$,得$y=4$,即$N(4,4)$，
∴$MN=8-4=4$。
②[第1步,求点M,N的坐标,从而得MN,由MN=0得t的值]
当点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，
∵$PM⊥x$轴,$P(t,0)$,
∴$x_M=x_N=t$。
将$x=t$代入$y=ax^2-2ax$，得$y=at^2-2at$，即$M(t,at^2-2at)$。
将$x=t$代入$y=ax$,得$y=at$,即$N(t,at)$。
∴$MN=|at^2-2at-at|=|at^2-3at|$。
令$MN=0$,即$at^2-3at=0$，解得$t=0$或$t=3$。
[第2步,若$a＞0$,则点B在y轴右侧,分$0≤t≤3$和$t＞3$两种情况讨论MN关于t的函数解析式,根据二次函数的图象和性质求出a的取值范围,并检验是否符合题意]
若$a＞0$,则$2a＞0$,即点B在y轴右侧,如答图26-1②。
当$0≤t≤3$时,则有$MN=-at^2+3at$，其图象开口向下,对称轴为$t=\frac{3}{2}$，若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则$0＜2a≤\frac{3}{2}$,解得$0＜a≤\frac{3}{4}$。
当$t＞3$时,则有$MN=at^2-3at$,其图象开口向上,对称轴为$t=\frac{3}{2}$,不符合题意。
[第3步,若$a＜0$,则点B在y轴左侧,同理第2步]
若$a＜0$,则$2a＜0$,即点B在y轴左侧,如答图26-1③，
当$t≤0$时,则有$MN=-at^2+3at$,其图象开口向上,对称轴为$t=\frac{3}{2}$，若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则$2a＜0$,
∴$a＜0$。
综上所述,$a≤\frac{3}{4}$且$a≠0$。
解析
【分析】
(1) 求解参数c和b时，利用函数过已知点坐标代入解析式是最直接的方法：先将原点$O(0,0)$代入抛物线解析式可直接求出c的值；再将点$A(3,3a)$代入化简后的抛物线解析式，解一元一次方程即可用含a的式子表示b。
(2) ①求MN长度的思路：垂直于x轴的直线上的点横坐标相同，因此将$t=4$分别代入抛物线和直线解析式，求出M、N两点的纵坐标，纵坐标的差即为MN的长度（$a=1$时抛物线上的点在直线上方，直接作差即可）。
②求a的取值范围时，先表示出M、N的坐标，得到MN关于t的带绝对值的函数表达式；再分$a＞0$、$a＜0$两种情况，结合二次函数的开口方向、对称轴，分析函数的增减区间，让点P的运动区间完全落在MN的增区间内，即可求出对应a的范围，最后综合两类情况得到最终结果。
【解析】
(1) 将点$O(0,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$。
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx$，
将点$A(3,3a)$的坐标代入$y=ax^2+bx$，得$3a=9a+3b$，解得$b=-2a$。
(2) ①若$a=1$，则该抛物线及直线对应的函数解析式分别为$y=x^2-2x$，$y=x$，
当$t=4$时，点$P(4,0)$，如答图26-1①，
∵$PM⊥x$轴，
∴$x_M=x_N=4$。
将$x=4$代入$y=x^2-2x$，得$y=4^2-2×4=8$，即$M(4,8)$，
将$x=4$代入$y=x$，得$y=4$，即$N(4,4)$，
∴$MN=8-4=4$。
②当点P从点O运动到点$B(2a,0)$的过程中，
∵$PM⊥x$轴，$P(t,0)$，
∴$x_M=x_N=t$。
将$x=t$代入$y=ax^2-2ax$，得$y=at^2-2at$，即$M(t,at^2-2at)$。
将$x=t$代入$y=ax$，得$y=at$，即$N(t,at)$。
∴$MN=|at^2-2at-at|=|at^2-3at|$。
令$MN=0$，即$at^2-3at=0$，解得$t=0$或$t=3$。
若$a＞0$，则$2a＞0$，即点B在y轴右侧，如答图26-1②。
当$0≤t≤3$时，则有$MN=-at^2+3at$，其图象开口向下，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则$0＜2a≤\frac{3}{2}$，解得$0＜a≤\frac{3}{4}$。
当$t＞3$时，则有$MN=at^2-3at$，其图象开口向上，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，不符合题意。
若$a＜0$，则$2a＜0$，即点B在y轴左侧，如答图26-1③，
当$t≤0$时，则有$MN=-at^2+3at$，其图象开口向上，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则$2a＜0$，
∴$a＜0$。
综上所述，$a≤\frac{3}{4}$且$a≠0$。
【答案】
(1) $c=0$，$b=-2a$；
(2) ①$MN=4$；②$a≤\frac{3}{4}$且$a≠0$
（对应答图：）
【知识点】
二次函数图象与性质，坐标与线段长度，分类讨论思想
【点评】
本题以二次函数为载体，综合考查了代入法求函数参数、二次函数增减性的应用，对分类讨论思想的要求较高，解题时要注意结合a的正负分析函数图象特征，避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 求解参数c和b时，利用函数过已知点坐标代入解析式是最直接的方法：先将原点$O(0,0)$代入抛物线解析式可直接求出c的值；再将点$A(3,3a)$代入化简后的抛物线解析式，解一元一次方程即可用含a的式子表示b。
(2) ①求MN长度的思路：垂直于x轴的直线上的点横坐标相同，因此将$t=4$分别代入抛物线和直线解析式，求出M、N两点的纵坐标，纵坐标的差即为MN的长度（$a=1$时抛物线上的点在直线上方，直接作差即可）。
②求a的取值范围时，先表示出M、N的坐标，得到MN关于t的带绝对值的函数表达式；再分$a＞0$、$a＜0$两种情况，结合二次函数的开口方向、对称轴，分析函数的增减区间，让点P的运动区间完全落在MN的增区间内，即可求出对应a的范围，最后综合两类情况得到最终结果。
【解析】
(1) 将点$O(0,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$。
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx$，
将点$A(3,3a)$的坐标代入$y=ax^2+bx$，得$3a=9a+3b$，解得$b=-2a$。
(2) ①若$a=1$，则该抛物线及直线对应的函数解析式分别为$y=x^2-2x$，$y=x$，
当$t=4$时，点$P(4,0)$，如答图26-1①，
∵$PM⊥x$轴，
∴$x_M=x_N=4$。
将$x=4$代入$y=x^2-2x$，得$y=4^2-2×4=8$，即$M(4,8)$，
将$x=4$代入$y=x$，得$y=4$，即$N(4,4)$，
∴$MN=8-4=4$。
②当点P从点O运动到点$B(2a,0)$的过程中，
∵$PM⊥x$轴，$P(t,0)$，
∴$x_M=x_N=t$。
将$x=t$代入$y=ax^2-2ax$，得$y=at^2-2at$，即$M(t,at^2-2at)$。
将$x=t$代入$y=ax$，得$y=at$，即$N(t,at)$。
∴$MN=|at^2-2at-at|=|at^2-3at|$。
令$MN=0$，即$at^2-3at=0$，解得$t=0$或$t=3$。
若$a＞0$，则$2a＞0$，即点B在y轴右侧，如答图26-1②。
当$0≤t≤3$时，则有$MN=-at^2+3at$，其图象开口向下，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则$0＜2a≤\frac{3}{2}$，解得$0＜a≤\frac{3}{4}$。
当$t＞3$时，则有$MN=at^2-3at$，其图象开口向上，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，不符合题意。
若$a＜0$，则$2a＜0$，即点B在y轴左侧，如答图26-1③，
当$t≤0$时，则有$MN=-at^2+3at$，其图象开口向上，对称轴为$t=\frac{3}{2}$，若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则$2a＜0$，
∴$a＜0$。
综上所述，$a≤\frac{3}{4}$且$a≠0$。
【答案】
(1) $c=0$，$b=-2a$；
(2) ①$MN=4$；②$a≤\frac{3}{4}$且$a≠0$
（对应答图：
）【知识点】
二次函数图象与性质，坐标与线段长度，分类讨论思想
【点评】
本题以二次函数为载体，综合考查了代入法求函数参数、二次函数增减性的应用，对分类讨论思想的要求较高，解题时要注意结合a的正负分析函数图象特征，避免漏解。
【难度系数】
0.5
2.(天津)已知抛物线 $ y=ax^2+bx+c(a,b,c $ 为常数，$ a＜0,b＞0) $。
(1)当 $ a=-1,b=2,c=3 $ 时，求该抛物线顶点 $ P $ 的坐标。
(2)点 $ A(-1,0) $ 和点 $ B $ 为抛物线与 $ x $ 轴的两个交点，点 $ C $ 为抛物线与 $ y $ 轴的交点。
①当 $ a=-2 $ 时，若点 $ D $ 在抛物线上，$ ∠ CAD=90°, AC=AD $，求点 $ D $ 的坐标。
②若点 $ B(m,0), ∠ CAB=2∠ ABC $，以 $ AC $ 为边的 $ □ ACEF $ 的顶点 $ F $ 在抛物线的对称轴 $ l $ 上，当 $ CE+CF $ 取得最小值 $ 2\sqrt{6} $ 时，求顶点 $ E $ 的坐标。
(1)当 $ a=-1,b=2,c=3 $ 时，求该抛物线顶点 $ P $ 的坐标。
(2)点 $ A(-1,0) $ 和点 $ B $ 为抛物线与 $ x $ 轴的两个交点，点 $ C $ 为抛物线与 $ y $ 轴的交点。
①当 $ a=-2 $ 时，若点 $ D $ 在抛物线上，$ ∠ CAD=90°, AC=AD $，求点 $ D $ 的坐标。
②若点 $ B(m,0), ∠ CAB=2∠ ABC $，以 $ AC $ 为边的 $ □ ACEF $ 的顶点 $ F $ 在抛物线的对称轴 $ l $ 上，当 $ CE+CF $ 取得最小值 $ 2\sqrt{6} $ 时，求顶点 $ E $ 的坐标。
答案
2.解:(1)
∵$a=-1,b=2,c=3$，
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
∵$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
∴该抛物线顶点P的坐标为$(1,4)$。
(2)①由点$A(-1,0)$在抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0,b＞0)$上，得$0=a-b+c$。即$c=b-a$。
又$a=-2$,点$C(0,c)$，
∴$OC=c=b+2$,$AO=1$。
根据题意,点D在第四象限,如答图26-2，
过点D作$DH⊥x$轴于点H。
∴$∠AHD=90°$,得$∠HAD+∠ADH=90°$。
∵$∠CAD=90°$,
∴$∠CAO+∠HAD=90°$。
∴$∠ADH=∠CAO$。
又$AD=AC$,$∠AHD=∠AOC=90°$，可得$△ADH≌△CAO$。
∴$DH=AO=1$,$AH=OC=b+2$。
由$OH=AH-AO$,得$OH=b+1$。
∴点D的坐标为$(b+1,-1)$。
∵点D在抛物线$y=-2x^2+bx+b+2$上，
∴$-1=-2(b+1)^2+b(b+1)+b+2$。
即$b^2+2b-1=0$。
解得$b_1=-1+\sqrt{2}$,$b_2=-1-\sqrt{2}$(舍去)。
∴点D的坐标为$(\sqrt{2},-1)$。
②
∵抛物线过点$A(-1,0)$，
∴$c=b-a$。
由$a＜0,b＞0$,得$c＞0,m＞1$。
在x轴上点A的左侧取点G，使$GA=AC$,连接GC。
∴$∠ACG=∠CGA$。
∴$∠CAB=2∠CGA$。
∵$∠CAB=2∠ABC$，
∴$∠ABC=∠CGA$。
∴$CG=CB$,
∴$GO=OB$。
在$Rt△AOC$中,根据勾股定理，得$AC^2=AO^2+OC^2$，
∴$AC=\sqrt{1+c^2}$,
∴$GA=\sqrt{1+c^2}$。
∴$GO=GA+AO=\sqrt{1+c^2}+1$。
又点$B(m,0)$,得$OB=m$。
∴$\sqrt{1+c^2}+1=m$。
即$c^2=m^2-2m$。(*)
根据题意,点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上,得$AF=BF$。
又在$□ACEF$中,$AF=CE$,得$CE=BF$。
∴$CE+CF=BF+CF≥BC$。
∴当点F在线段BC上时,$CE+CF$取得最小值$2\sqrt{6}$，即$BC=2\sqrt{6}$。
在$Rt△OBC$中,$OB^2+OC^2=BC^2$，
∴$m^2+c^2=24$。
将(*)式代入,得$m^2+(m^2-2m)=24$。
解得$m_1=4$,$m_2=-3$(舍去)。
∴$c=2\sqrt{2}$。
∴点$B(4,0)$,$C(0,2\sqrt{2})$。
可得直线BC对应的函数解析式为$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$。
设点F的横坐标为$x_0$，
则$4-x_0=x_0-(-1)$,得$x_0=\frac{3}{2}$。
∴点F的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{2}}{4})$。
∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
∴点E的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{13\sqrt{2}}{4})$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线顶点坐标，先将给定的a、b、c代入得到解析式，再通过配方转化为顶点式，即可直接得出顶点坐标。
(2) ① 已知∠CAD=90°且AC=AD，可通过作x轴的垂线构造全等三角形，用含b的式子表示点D的坐标，再将D代入抛物线解析式求解b，结合b＞0的条件舍去负根，最终得到D的坐标。
② 先利用∠CAB=2∠ABC的条件，在x轴上构造等腰三角形转化角的关系，得到B点横坐标m与C点纵坐标c的等量关系；再结合平行四边形的性质和抛物线对称轴的对称性，将CE+CF转化为BF+CF，根据两点之间线段最短可知最小值为BC的长度，代入最小值求解得到m、c的值，进而求出F点坐标，最后根据平行四边形的平移规律得到E点坐标。
【解析】
(1) 当$a=-1,b=2,c=3$时，抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，
配方得：$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
因此该抛物线顶点$P$的坐标为$(1,4)$。
(2) ①
∵点$A(-1,0)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上，代入得$0=a-b+c$，即$c=b-a$，
当$a=-2$时，$c=b+2$，即$C(0,b+2)$，可得$OC=b+2$，$AO=1$，
根据题意点D在第四象限，如答图26-2，
过点$D$作$DH⊥x$轴于点$H$，则$∠AHD=∠AOC=90°$，
∵$∠CAD=90°$，
∴$∠CAO+∠HAD=90°$，
又
∵$∠HAD+∠ADH=90°$，
∴$∠ADH=∠CAO$，
在$△ ADH$和$△ CAO$中：
$\begin{cases}∠AHD=∠COA \\∠ADH=∠CAO \\AD=AC\end{cases}$
∴$△ ADH≌△ CAO(AAS)$，
∴$DH=AO=1$，$AH=OC=b+2$，
∴$OH=AH-AO=(b+2)-1=b+1$，
∴点$D$的坐标为$(b+1,-1)$，
将D代入抛物线$y=-2x^2+bx+b+2$得：
$-1=-2(b+1)^2+b(b+1)+b+2$，
整理得$b^2+2b-1=0$，
解得$b_1=-1+\sqrt{2}$，$b_2=-1-\sqrt{2}$，
∵$b＞0$，
∴舍去$b_2$，即$b+1=\sqrt{2}$，
∴点D的坐标为$(\sqrt{2},-1)$。
②
∵抛物线过点$A(-1,0)$，
∴$c=b-a$，
∵$a＜0,b＞0$，
∴$c＞0,m＞1$，
在x轴上点A的左侧取点G，使$GA=AC$，连接GC，则$∠ACG=∠CGA$，
∴$∠CAB=2∠CGA$，
又
∵$∠CAB=2∠ABC$，
∴$∠CGA=∠ABC$，
∴$CG=CB$，又$CO⊥GB$，
∴$GO=OB$，
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=\sqrt{1+c^2}$，
∴$GA=AC=\sqrt{1+c^2}$，
∴$GO=GA+AO=\sqrt{1+c^2}+1$，
又
∵$OB=m$，
∴$\sqrt{1+c^2}+1=m$，整理得$c^2=m^2-2m$ (*)，
∵点A和点B关于抛物线对称轴对称，对称轴上的点F满足$AF=BF$，
在平行四边形$ACEF$中，$CE=AF$，
∴$CE=BF$，
∴$CE+CF=BF+CF≥BC$，当且仅当F在线段BC上时，$CE+CF$取得最小值，
由题意最小值为$2\sqrt{6}$，
∴$BC=2\sqrt{6}$，
在$Rt△ OBC$中，$OB^2+OC^2=BC^2$，即$m^2+c^2=24$，
将(*)式代入得$m^2+(m^2-2m)=24$，整理得$m^2-m-12=0$，
解得$m_1=4,m_2=-3$（舍去），
代入得$c^2=16-8=8$，
∵$c＞0$，
∴$c=2\sqrt{2}$，
∴$B(4,0)$，$C(0,2\sqrt{2})$，
设直线BC的解析式为$y=kx+d$，代入B、C坐标解得直线BC解析式为$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$，
抛物线对称轴为$x=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$，
将$x=\frac{3}{2}$代入直线BC解析式得$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{2}+2\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，即$F(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{2}}{4})$，
∵平行四边形ACEF中，点A平移到F的规律为：向右平移$\frac{5}{2}$个单位，向上平移$\frac{5\sqrt{2}}{4}$个单位，
∴点C按相同规律平移得到E，E的坐标为$(0+\frac{5}{2},2\sqrt{2}+\frac{5\sqrt{2}}{4})=(\frac{5}{2},\frac{13\sqrt{2}}{4})$。
【答案】
(1) 顶点$P$的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$；
(2) ① 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{2},-1)}$；
② 顶点$E$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{5}{2},\frac{13\sqrt{2}}{4})}$。
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题是二次函数综合题型，融合了代数计算与几何推理，既考查了二次函数解析式化简、顶点坐标求解等基础内容，也涉及全等三角形构造、角的转化、平行四边形性质、最短路径等重难点知识，解题时需要灵活运用数形结合思想和转化思想，注意结合题干限制条件舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.25
(1) 求抛物线顶点坐标，先将给定的a、b、c代入得到解析式，再通过配方转化为顶点式，即可直接得出顶点坐标。
(2) ① 已知∠CAD=90°且AC=AD，可通过作x轴的垂线构造全等三角形，用含b的式子表示点D的坐标，再将D代入抛物线解析式求解b，结合b＞0的条件舍去负根，最终得到D的坐标。
② 先利用∠CAB=2∠ABC的条件，在x轴上构造等腰三角形转化角的关系，得到B点横坐标m与C点纵坐标c的等量关系；再结合平行四边形的性质和抛物线对称轴的对称性，将CE+CF转化为BF+CF，根据两点之间线段最短可知最小值为BC的长度，代入最小值求解得到m、c的值，进而求出F点坐标，最后根据平行四边形的平移规律得到E点坐标。
【解析】
(1) 当$a=-1,b=2,c=3$时，抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，
配方得：$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
因此该抛物线顶点$P$的坐标为$(1,4)$。
(2) ①
∵点$A(-1,0)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上，代入得$0=a-b+c$，即$c=b-a$，
当$a=-2$时，$c=b+2$，即$C(0,b+2)$，可得$OC=b+2$，$AO=1$，
根据题意点D在第四象限，如答图26-2，
过点$D$作$DH⊥x$轴于点$H$，则$∠AHD=∠AOC=90°$，
∵$∠CAD=90°$，
∴$∠CAO+∠HAD=90°$，
又
∵$∠HAD+∠ADH=90°$，
∴$∠ADH=∠CAO$，
在$△ ADH$和$△ CAO$中：
$\begin{cases}∠AHD=∠COA \\∠ADH=∠CAO \\AD=AC\end{cases}$
∴$△ ADH≌△ CAO(AAS)$，
∴$DH=AO=1$，$AH=OC=b+2$，
∴$OH=AH-AO=(b+2)-1=b+1$，
∴点$D$的坐标为$(b+1,-1)$，
将D代入抛物线$y=-2x^2+bx+b+2$得：
$-1=-2(b+1)^2+b(b+1)+b+2$，
整理得$b^2+2b-1=0$，
解得$b_1=-1+\sqrt{2}$，$b_2=-1-\sqrt{2}$，
∵$b＞0$，
∴舍去$b_2$，即$b+1=\sqrt{2}$，
∴点D的坐标为$(\sqrt{2},-1)$。
②
∵抛物线过点$A(-1,0)$，
∴$c=b-a$，
∵$a＜0,b＞0$，
∴$c＞0,m＞1$，
在x轴上点A的左侧取点G，使$GA=AC$，连接GC，则$∠ACG=∠CGA$，
∴$∠CAB=2∠CGA$，
又
∵$∠CAB=2∠ABC$，
∴$∠CGA=∠ABC$，
∴$CG=CB$，又$CO⊥GB$，
∴$GO=OB$，
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=\sqrt{1+c^2}$，
∴$GA=AC=\sqrt{1+c^2}$，
∴$GO=GA+AO=\sqrt{1+c^2}+1$，
又
∵$OB=m$，
∴$\sqrt{1+c^2}+1=m$，整理得$c^2=m^2-2m$ (*)，
∵点A和点B关于抛物线对称轴对称，对称轴上的点F满足$AF=BF$，
在平行四边形$ACEF$中，$CE=AF$，
∴$CE=BF$，
∴$CE+CF=BF+CF≥BC$，当且仅当F在线段BC上时，$CE+CF$取得最小值，
由题意最小值为$2\sqrt{6}$，
∴$BC=2\sqrt{6}$，
在$Rt△ OBC$中，$OB^2+OC^2=BC^2$，即$m^2+c^2=24$，
将(*)式代入得$m^2+(m^2-2m)=24$，整理得$m^2-m-12=0$，
解得$m_1=4,m_2=-3$（舍去），
代入得$c^2=16-8=8$，
∵$c＞0$，
∴$c=2\sqrt{2}$，
∴$B(4,0)$，$C(0,2\sqrt{2})$，
设直线BC的解析式为$y=kx+d$，代入B、C坐标解得直线BC解析式为$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$，
抛物线对称轴为$x=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$，
将$x=\frac{3}{2}$代入直线BC解析式得$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{2}+2\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，即$F(\frac{3}{2},\frac{5\sqrt{2}}{4})$，
∵平行四边形ACEF中，点A平移到F的规律为：向右平移$\frac{5}{2}$个单位，向上平移$\frac{5\sqrt{2}}{4}$个单位，
∴点C按相同规律平移得到E，E的坐标为$(0+\frac{5}{2},2\sqrt{2}+\frac{5\sqrt{2}}{4})=(\frac{5}{2},\frac{13\sqrt{2}}{4})$。
【答案】
(1) 顶点$P$的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$；
(2) ① 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{2},-1)}$；
② 顶点$E$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{5}{2},\frac{13\sqrt{2}}{4})}$。
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题是二次函数综合题型，融合了代数计算与几何推理，既考查了二次函数解析式化简、顶点坐标求解等基础内容，也涉及全等三角形构造、角的转化、平行四边形性质、最短路径等重难点知识，解题时需要灵活运用数形结合思想和转化思想，注意结合题干限制条件舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.25
