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3.(山东)已知二次函数$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$，其中$a,b$为两个不相等的实数.
(1)当$a=0,b=3$时，求此函数图象的对称轴.
(2)当$b=2a$时，若该函数在$0≤ x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；在$3≤ x≤4$时，$y$随$x$的增大而增大，求$a$的取值范围.
(3)若点$A(a,y_1)$；$B(\dfrac{a+b}{2},y_2)$，$C(b,y_3)$均在该函数的图象上，是否存在常数$m$，使得$y_1+my_2+y_3=0$？若存在，求出$m$的值；若不存在，说明理由.
(1)当$a=0,b=3$时，求此函数图象的对称轴.
(2)当$b=2a$时，若该函数在$0≤ x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；在$3≤ x≤4$时，$y$随$x$的增大而增大，求$a$的取值范围.
(3)若点$A(a,y_1)$；$B(\dfrac{a+b}{2},y_2)$，$C(b,y_3)$均在该函数的图象上，是否存在常数$m$，使得$y_1+my_2+y_3=0$？若存在，求出$m$的值；若不存在，说明理由.
答案
3.解:(1)当$a=0,b=3$时,$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$，
∴此函数图象的对称轴为$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
(2)当$b=2a$时,$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
∴抛物线的对称轴为$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
∵$3＞0$，
∴抛物线开口向上。
∵在$0≤x≤1$时,y随x的增大而减小，
∴$a≥1$。
∵在$3≤x≤4$时,y随x的增大而增大，
∴$a≤3$。
∴$1≤a≤3$。
(3)存在。
∵点$A(a,y_1)$,$B(\frac{a+b}{2},y_2)$,$C(b,y_3)$均在该函数的图象上，
∴$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$，
$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$。
∵$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$，
∴$y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)(\frac{a+b}{2})+ab$
$=3·\frac{(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab$
$=-\frac{(a+b)^2}{4}+ab$
$=-\frac{1}{4}a^2-\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2+ab$
$=-\frac{1}{4}a^2+\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2$
$=-\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)$
$=-\frac{1}{4}(a-b)^2$。
若$y_1+my_2+y_3=0$，
则$a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$。
整理得$(a-b)^2(1-\frac{1}{4}m)=0$。
∵a,b为两个不相等的实数，
∴$a-b≠0$，
∴$1-\frac{1}{4}m=0$，
解得$m=4$。
故存在常数m,使得$y_1+my_2+y_3=0$,此时m的值为4。
∴此函数图象的对称轴为$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
(2)当$b=2a$时,$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
∴抛物线的对称轴为$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
∵$3＞0$，
∴抛物线开口向上。
∵在$0≤x≤1$时,y随x的增大而减小，
∴$a≥1$。
∵在$3≤x≤4$时,y随x的增大而增大，
∴$a≤3$。
∴$1≤a≤3$。
(3)存在。
∵点$A(a,y_1)$,$B(\frac{a+b}{2},y_2)$,$C(b,y_3)$均在该函数的图象上，
∴$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$，
$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$。
∵$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$，
∴$y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)(\frac{a+b}{2})+ab$
$=3·\frac{(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab$
$=-\frac{(a+b)^2}{4}+ab$
$=-\frac{1}{4}a^2-\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2+ab$
$=-\frac{1}{4}a^2+\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2$
$=-\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)$
$=-\frac{1}{4}(a-b)^2$。
若$y_1+my_2+y_3=0$，
则$a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$。
整理得$(a-b)^2(1-\frac{1}{4}m)=0$。
∵a,b为两个不相等的实数，
∴$a-b≠0$，
∴$1-\frac{1}{4}m=0$，
解得$m=4$。
故存在常数m,使得$y_1+my_2+y_3=0$,此时m的值为4。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先将a=0、b=3代入函数表达式，展开整理成二次函数的一般式$y=Ax^2+Bx+C$，再代入对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$即可求出对称轴。
(2) 第二问先把$b=2a$代入函数，整理得到含参数a的二次函数一般式，求出对称轴；由于二次项系数大于0，抛物线开口向上，因此在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，结合题目给出的增减性区间，即可得到对称轴的取值范围，进而求出a的范围。
(3) 第三问先分别将点A、B、C的横坐标代入函数，求出$y_1、y_2、y_3$的表达式，再代入$y_1+my_2+y_3=0$化简式子，结合a、b不相等的条件，即可求出m的值。
【解析】
(1) 当$a=0,b=3$时，
$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$，
∴此函数图象的对称轴为$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
(2) 当$b=2a$时，
$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
∴抛物线的对称轴为$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
∵$3＞0$，
∴抛物线开口向上。
∵在$0≤x≤1$时，y随x的增大而减小，
∴$a≥1$。
∵在$3≤x≤4$时，y随x的增大而增大，
∴$a≤3$。
∴$1≤a≤3$。
(3) 存在。
∵点$A(a,y_1)$，$B(\frac{a+b}{2},y_2)$，$C(b,y_3)$均在该函数的图象上，
∴$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$，
$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$。
∵$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$，
∴$y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)(\frac{a+b}{2})+ab$
$=3·\frac{(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab$
$=-\frac{(a+b)^2}{4}+ab$
$=-\frac{1}{4}a^2-\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2+ab$
$=-\frac{1}{4}a^2+\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2$
$=-\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)$
$=-\frac{1}{4}(a-b)^2$。
若$y_1+my_2+y_3=0$，
则$a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$。
整理得$(a-b)^2(1-\frac{1}{4}m)=0$。
∵a,b为两个不相等的实数，
∴$a-b≠0$，
∴$1-\frac{1}{4}m=0$，
解得$m=4$。
故存在常数m，使得$y_1+my_2+y_3=0$，此时m的值为4。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$；
(2) $1≤a≤3$；
(3) 存在，$m=4$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的对称轴，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题由易到难设置三小问，基础题考查二次函数对称轴的基本计算，中档题结合增减性考查参数范围求解，最后一问考查代数化简推理能力，解题时需先将函数化为一般式，再结合二次函数性质和题干已知条件求解，计算过程中要注意化简的准确性。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，先将a=0、b=3代入函数表达式，展开整理成二次函数的一般式$y=Ax^2+Bx+C$，再代入对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$即可求出对称轴。
(2) 第二问先把$b=2a$代入函数，整理得到含参数a的二次函数一般式，求出对称轴；由于二次项系数大于0，抛物线开口向上，因此在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，结合题目给出的增减性区间，即可得到对称轴的取值范围，进而求出a的范围。
(3) 第三问先分别将点A、B、C的横坐标代入函数，求出$y_1、y_2、y_3$的表达式，再代入$y_1+my_2+y_3=0$化简式子，结合a、b不相等的条件，即可求出m的值。
【解析】
(1) 当$a=0,b=3$时，
$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$，
∴此函数图象的对称轴为$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
(2) 当$b=2a$时，
$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
∴抛物线的对称轴为$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
∵$3＞0$，
∴抛物线开口向上。
∵在$0≤x≤1$时，y随x的增大而减小，
∴$a≥1$。
∵在$3≤x≤4$时，y随x的增大而增大，
∴$a≤3$。
∴$1≤a≤3$。
(3) 存在。
∵点$A(a,y_1)$，$B(\frac{a+b}{2},y_2)$，$C(b,y_3)$均在该函数的图象上，
∴$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$，
$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$。
∵$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$，
∴$y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)(\frac{a+b}{2})+ab$
$=3·\frac{(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab$
$=-\frac{(a+b)^2}{4}+ab$
$=-\frac{1}{4}a^2-\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2+ab$
$=-\frac{1}{4}a^2+\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2$
$=-\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)$
$=-\frac{1}{4}(a-b)^2$。
若$y_1+my_2+y_3=0$，
则$a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$。
整理得$(a-b)^2(1-\frac{1}{4}m)=0$。
∵a,b为两个不相等的实数，
∴$a-b≠0$，
∴$1-\frac{1}{4}m=0$，
解得$m=4$。
故存在常数m，使得$y_1+my_2+y_3=0$，此时m的值为4。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$；
(2) $1≤a≤3$；
(3) 存在，$m=4$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的对称轴，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题由易到难设置三小问，基础题考查二次函数对称轴的基本计算，中档题结合增减性考查参数范围求解，最后一问考查代数化简推理能力，解题时需先将函数化为一般式，再结合二次函数性质和题干已知条件求解，计算过程中要注意化简的准确性。
【难度系数】
0.6
4.(吉林长春)如图26－8,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线$y=x^2+bx$经过点(3,3),点A,B是该抛物线上的两点,横坐标分别为$m,m+1$.已知点M(1,1),作点A关于点M的对称点C,作点B关于点M的对称点D,构造四边形ABCD.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时,求点C的坐标.
(3)设抛物线在A,B两点之间的部分(含A,B两点)为图象G,当$0＜m＜1$时,若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$,求m的值.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时,求点C的坐标.
(3)设抛物线在A,B两点之间的部分(含A,B两点)为图象G,当$0＜m＜1$时,若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$,求m的值.
答案
4.解:(1)把点$(3,3)$的坐标代入$y=x^2+bx$，得$9+3b=3$,解得$b=-2$。
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$。
(2)抛物线$y=x^2-2x$的对称轴为$x=1$，
∵点A,B是抛物线上的两点,关于抛物线的对称轴对称,且横坐标分别为$m,m+1$，
∴$m+(m+1)=2×1$.解得$m=\frac{1}{2}$。
∵$(\frac{1}{2})^2-2×(\frac{1}{2})=-\frac{3}{4}$，
∴点A的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$。
设点A关于点$M(1,1)$对称的点C的坐标为$(p,q)$，
则$\frac{1}{2}+p=2×1,-\frac{3}{4}+q=2×1$，
解得$p=\frac{3}{2},q=\frac{11}{4}$，
∴点C的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$。
(3)当$0＜m≤\frac{1}{2}$时,$1＜m+1≤\frac{3}{2}$，
∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$，
∴$m^2-2m-(-1)=\frac{1}{2}$，
解得$m_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$(舍去),$m_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
当$\frac{1}{2}＜m＜1$时,$\frac{3}{2}＜m+1＜2$，
∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$，
∴$(m+1)^2-2(m+1)-(-1)=\frac{1}{2}$，
解得$m_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$m_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去)。
∴m的值为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$。
(2)抛物线$y=x^2-2x$的对称轴为$x=1$，
∵点A,B是抛物线上的两点,关于抛物线的对称轴对称,且横坐标分别为$m,m+1$，
∴$m+(m+1)=2×1$.解得$m=\frac{1}{2}$。
∵$(\frac{1}{2})^2-2×(\frac{1}{2})=-\frac{3}{4}$，
∴点A的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$。
设点A关于点$M(1,1)$对称的点C的坐标为$(p,q)$，
则$\frac{1}{2}+p=2×1,-\frac{3}{4}+q=2×1$，
解得$p=\frac{3}{2},q=\frac{11}{4}$，
∴点C的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$。
(3)当$0＜m≤\frac{1}{2}$时,$1＜m+1≤\frac{3}{2}$，
∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$，
∴$m^2-2m-(-1)=\frac{1}{2}$，
解得$m_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$(舍去),$m_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
当$\frac{1}{2}＜m＜1$时,$\frac{3}{2}＜m+1＜2$，
∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$，
∴$(m+1)^2-2(m+1)-(-1)=\frac{1}{2}$，
解得$m_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$m_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去)。
∴m的值为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法，将已知点$(3,3)$代入解析式，求解参数$b$即可得到结果。
(2) 先求出抛物线对称轴，若两点关于抛物线对称轴对称，则两点横坐标的平均数等于对称轴对应的$x$值，据此列方程求出$m$得到点$A$坐标；再根据中心对称的性质，点$M$是$A$、$C$的中点，利用中点坐标公式即可求出点$C$坐标。
(3) 先确定抛物线顶点坐标为$(1,-1)$，已知$0＜m＜1$，因此点$A$横坐标在$(0,1)$，点$B$横坐标在$(1,2)$，图象$G$包含抛物线顶点，最低点为顶点；再分两种情况讨论：①当$0＜m≤\frac{1}{2}$时，点$A$离对称轴更远，最高点为点$A$，列方程求解；②当$\frac{1}{2}＜m＜1$时，点$B$离对称轴更远，最高点为点$B$，列方程求解，最后舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 把点$(3,3)$的坐标代入$y=x^2+bx$，得：
$9+3b=3$，解得$b=-2$，
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x$。
(2) 抛物线$y=x^2-2x$的对称轴为直线$x=1$，
∵点$A$、$B$是抛物线上的两点，关于抛物线的对称轴对称，且横坐标分别为$m,m+1$，
∴$\frac{m+(m+1)}{2}=1$，解得$m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式，得点$A$的纵坐标为$(\frac{1}{2})^2-2×\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}$，
∴点$A$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$。
设点$C$的坐标为$(p,q)$，
∵点$M(1,1)$是线段$AC$的中点，
根据中点坐标公式得：$\frac{\frac{1}{2}+p}{2}=1$，$\frac{-\frac{3}{4}+q}{2}=1$，
解得：$p=\frac{3}{2}$，$q=\frac{11}{4}$，
∴点$C$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$。
(3) 将抛物线配方得$y=(x-1)^2-1$，开口向上，顶点坐标为$(1,-1)$，为图象最低点。
已知$0＜m＜1$，则点$A$横坐标$m∈(0,1)$，点$B$横坐标$m+1∈(1,2)$，图象$G$包含顶点，最低点纵坐标为$-1$，分两种情况讨论：
①当$0＜m≤\frac{1}{2}$时，$1＜m+1≤\frac{3}{2}$，点$A$到对称轴距离更大，图象最高点为$A$，纵坐标为$m^2-2m$，
由题意得：$m^2-2m-(-1)=\frac{1}{2}$，
整理得$m^2-2m+\frac{1}{2}=0$，解得$m=\frac{2±\sqrt{2}}{2}$，
结合$0＜m≤\frac{1}{2}$舍去不符合的解，得$m=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
②当$\frac{1}{2}＜m＜1$时，$\frac{3}{2}＜m+1＜2$，点$B$到对称轴距离更大，图象最高点为$B$，纵坐标为$(m+1)^2-2(m+1)=m^2-1$，
由题意得：$m^2-1-(-1)=\frac{1}{2}$，
整理得$m^2=\frac{1}{2}$，解得$m=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
结合$\frac{1}{2}＜m＜1$舍去不符合的解，得$m=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，$m$的值为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x$
(2) $(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$
(3) $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；中心对称的坐标特征
【点评】
本题是二次函数综合题，覆盖了解析式求解、对称性应用、最值分析等考点，解题时要注意分情况讨论思想的运用，求解后要结合参数的取值范围对解进行取舍，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法，将已知点$(3,3)$代入解析式，求解参数$b$即可得到结果。
(2) 先求出抛物线对称轴，若两点关于抛物线对称轴对称，则两点横坐标的平均数等于对称轴对应的$x$值，据此列方程求出$m$得到点$A$坐标；再根据中心对称的性质，点$M$是$A$、$C$的中点，利用中点坐标公式即可求出点$C$坐标。
(3) 先确定抛物线顶点坐标为$(1,-1)$，已知$0＜m＜1$，因此点$A$横坐标在$(0,1)$，点$B$横坐标在$(1,2)$，图象$G$包含抛物线顶点，最低点为顶点；再分两种情况讨论：①当$0＜m≤\frac{1}{2}$时，点$A$离对称轴更远，最高点为点$A$，列方程求解；②当$\frac{1}{2}＜m＜1$时，点$B$离对称轴更远，最高点为点$B$，列方程求解，最后舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 把点$(3,3)$的坐标代入$y=x^2+bx$，得：
$9+3b=3$，解得$b=-2$，
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x$。
(2) 抛物线$y=x^2-2x$的对称轴为直线$x=1$，
∵点$A$、$B$是抛物线上的两点，关于抛物线的对称轴对称，且横坐标分别为$m,m+1$，
∴$\frac{m+(m+1)}{2}=1$，解得$m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式，得点$A$的纵坐标为$(\frac{1}{2})^2-2×\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}$，
∴点$A$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$。
设点$C$的坐标为$(p,q)$，
∵点$M(1,1)$是线段$AC$的中点，
根据中点坐标公式得：$\frac{\frac{1}{2}+p}{2}=1$，$\frac{-\frac{3}{4}+q}{2}=1$，
解得：$p=\frac{3}{2}$，$q=\frac{11}{4}$，
∴点$C$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$。
(3) 将抛物线配方得$y=(x-1)^2-1$，开口向上，顶点坐标为$(1,-1)$，为图象最低点。
已知$0＜m＜1$，则点$A$横坐标$m∈(0,1)$，点$B$横坐标$m+1∈(1,2)$，图象$G$包含顶点，最低点纵坐标为$-1$，分两种情况讨论：
①当$0＜m≤\frac{1}{2}$时，$1＜m+1≤\frac{3}{2}$，点$A$到对称轴距离更大，图象最高点为$A$，纵坐标为$m^2-2m$，
由题意得：$m^2-2m-(-1)=\frac{1}{2}$，
整理得$m^2-2m+\frac{1}{2}=0$，解得$m=\frac{2±\sqrt{2}}{2}$，
结合$0＜m≤\frac{1}{2}$舍去不符合的解，得$m=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
②当$\frac{1}{2}＜m＜1$时，$\frac{3}{2}＜m+1＜2$，点$B$到对称轴距离更大，图象最高点为$B$，纵坐标为$(m+1)^2-2(m+1)=m^2-1$，
由题意得：$m^2-1-(-1)=\frac{1}{2}$，
整理得$m^2=\frac{1}{2}$，解得$m=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
结合$\frac{1}{2}＜m＜1$舍去不符合的解，得$m=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，$m$的值为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x$
(2) $(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$
(3) $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；中心对称的坐标特征
【点评】
本题是二次函数综合题，覆盖了解析式求解、对称性应用、最值分析等考点，解题时要注意分情况讨论思想的运用，求解后要结合参数的取值范围对解进行取舍，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
