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3. 二次函数 $y=(x-1)^2 + 2$ 的最小值是（
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查二次函数最值的求解，解题思路如下：首先观察给出的二次函数解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，先判断二次项系数$a$的正负：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标$k$；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标$k$。本题中$a=1＞0$，因此直接提取顶点式中的$k$值即可得到最小值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-1)^2 + 2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中：
二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标；
该函数顶点坐标为$(1,2)$，即纵坐标$k=2$，因此函数的最小值是$2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，只要熟练掌握二次函数顶点式的结构特征、开口方向与最值的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数最值的求解，解题思路如下：首先观察给出的二次函数解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，先判断二次项系数$a$的正负：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标$k$；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标$k$。本题中$a=1＞0$，因此直接提取顶点式中的$k$值即可得到最小值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-1)^2 + 2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中：
二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标；
该函数顶点坐标为$(1,2)$，即纵坐标$k=2$，因此函数的最小值是$2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，只要熟练掌握二次函数顶点式的结构特征、开口方向与最值的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4.在平面直角坐标系中，抛物线$y=x^2 -1$与x轴的交点的个数是（
A.3
B.2
C.1
D.0
B
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
4.B
解析
【分析】
要确定抛物线与x轴的交点个数，可将问题转化为判断抛物线对应的一元二次方程的实数根个数：令抛物线解析式中y=0，得到的一元二次方程有几个不同的实数根，抛物线就和x轴有几个交点；也可直接用一元二次方程根的判别式Δ判断：Δ＞0对应2个交点，Δ=0对应1个交点，Δ＜0对应0个交点。
【解析】
令抛物线$y=x^2 -1$中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 -1 = 0$
方法1：计算根的判别式，式中$a=1$，$b=0$，$c=-1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$
因此该方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
方法2：直接解方程得$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，对应交点为$(1,0)$、$(-1,0)$，共2个交点。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的情况的对应关系，熟练掌握判别式与交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线与x轴的交点个数，可将问题转化为判断抛物线对应的一元二次方程的实数根个数：令抛物线解析式中y=0，得到的一元二次方程有几个不同的实数根，抛物线就和x轴有几个交点；也可直接用一元二次方程根的判别式Δ判断：Δ＞0对应2个交点，Δ=0对应1个交点，Δ＜0对应0个交点。
【解析】
令抛物线$y=x^2 -1$中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 -1 = 0$
方法1：计算根的判别式，式中$a=1$，$b=0$，$c=-1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$
因此该方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
方法2：直接解方程得$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，对应交点为$(1,0)$、$(-1,0)$，共2个交点。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的情况的对应关系，熟练掌握判别式与交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 如图26－4，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0),(3,0)$。下列结论：①$\frac{ab}{c}＞0$；②$c=2b$；③若抛物线上有点$(\frac{5}{2},y_1),(-3,y_2),(-\frac{1}{2},y_3)$，则$y_2＜y_1＜y_3$；④方程$cx^2+bx+a=0$的解为$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{3}$。其中正确的个数是（
A.4
B.3
C.2
D.1
D
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
5.D 点拨:
∵抛物线的开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴右侧,
∴a＜0,b＞0,c＞0,
∴$\frac{ab}{c}＜0$,故①错误;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0),(3,0)$,
∴对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$,即$-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$,
∴$a=-b$,把$(-2,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+c$得$4a-2b+c=-4b-2b+c=0$,
∴$c=6b$,故②错误;
∵抛物线开口向下,$|-3-\frac{1}{2}|＞|\frac{5}{2}-\frac{1}{2}|＞|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|$,
∴$y_2＜y_1＜y_3$,故③正确;
∵$a=-b,c=6b$,
∴方程$cx^2+bx+a=0$可变成$6bx^2+bx-b=0$,即$6x^2+x-1=0$,解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{1}{2}$.故④错误.故选D.
∵抛物线的开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴右侧,
∴a＜0,b＞0,c＞0,
∴$\frac{ab}{c}＜0$,故①错误;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0),(3,0)$,
∴对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$,即$-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$,
∴$a=-b$,把$(-2,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+c$得$4a-2b+c=-4b-2b+c=0$,
∴$c=6b$,故②错误;
∵抛物线开口向下,$|-3-\frac{1}{2}|＞|\frac{5}{2}-\frac{1}{2}|＞|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|$,
∴$y_2＜y_1＜y_3$,故③正确;
∵$a=-b,c=6b$,
∴方程$cx^2+bx+a=0$可变成$6bx^2+bx-b=0$,即$6x^2+x-1=0$,解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{1}{2}$.故④错误.故选D.
解析
【分析】
本题是二次函数图像与性质的综合题，解题时先根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点确定a、b、c的符号，再结合已知交点求出对称轴，推导a、b、c的数量关系，之后利用二次函数的增减性比较函数值大小，最后将a、b、c的关系代入待解方程验证解是否正确，逐个判断4个结论即可得到正确个数。
【解析】
1. 判断$a、b、c$的符号：
由抛物线开口向下得$a＜0$，与y轴交于正半轴得$c＞0$；
已知抛物线过$(-2,0)$、$(3,0)$，则对称轴为直线$x=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}＞0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可得$b＞0$。
2. 验证结论①：
$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，则$\frac{ab}{c}＜0$，故①错误。
3. 验证结论②：
由对称轴$x=\frac{1}{2}=-\frac{b}{2a}$，得$a=-b$；
将$(-2,0)$代入抛物线解析式得$4a-2b+c=0$，把$a=-b$代入得：$4×(-b)-2b+c=0$，解得$c=6b$，故②错误。
4. 验证结论③：
抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小；
分别计算三个点到对称轴$x=\frac{1}{2}$的距离：
$|-3-\frac{1}{2}|=\frac{7}{2}$，$|\frac{5}{2}-\frac{1}{2}|=2$，$|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|=1$；
距离大小：$\frac{7}{2}＞2＞1$，因此$y_2＜y_1＜y_3$，故③正确。
5. 验证结论④：
将$a=-b$、$c=6b$代入方程$cx^2+bx+a=0$得：$6bx^2+bx-b=0$，
$\because b≠0$，两边同时除以$b$得$6x^2+x-1=0$，
解方程得$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{12}=\frac{-1\pm5}{12}$，即$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-\frac{1}{2}$，与结论④给出的解不符，故④错误。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程，函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数综合类常考题，需要熟练掌握二次函数系数与图象的对应关系、增减性规律以及二次函数和一元二次方程的转化，解题时需逐个验证结论，避免粗心出错。
【难度系数】
0.5
本题是二次函数图像与性质的综合题，解题时先根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点确定a、b、c的符号，再结合已知交点求出对称轴，推导a、b、c的数量关系，之后利用二次函数的增减性比较函数值大小，最后将a、b、c的关系代入待解方程验证解是否正确，逐个判断4个结论即可得到正确个数。
【解析】
1. 判断$a、b、c$的符号：
由抛物线开口向下得$a＜0$，与y轴交于正半轴得$c＞0$；
已知抛物线过$(-2,0)$、$(3,0)$，则对称轴为直线$x=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}＞0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可得$b＞0$。
2. 验证结论①：
$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，则$\frac{ab}{c}＜0$，故①错误。
3. 验证结论②：
由对称轴$x=\frac{1}{2}=-\frac{b}{2a}$，得$a=-b$；
将$(-2,0)$代入抛物线解析式得$4a-2b+c=0$，把$a=-b$代入得：$4×(-b)-2b+c=0$，解得$c=6b$，故②错误。
4. 验证结论③：
抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小；
分别计算三个点到对称轴$x=\frac{1}{2}$的距离：
$|-3-\frac{1}{2}|=\frac{7}{2}$，$|\frac{5}{2}-\frac{1}{2}|=2$，$|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|=1$；
距离大小：$\frac{7}{2}＞2＞1$，因此$y_2＜y_1＜y_3$，故③正确。
5. 验证结论④：
将$a=-b$、$c=6b$代入方程$cx^2+bx+a=0$得：$6bx^2+bx-b=0$，
$\because b≠0$，两边同时除以$b$得$6x^2+x-1=0$，
解方程得$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{12}=\frac{-1\pm5}{12}$，即$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-\frac{1}{2}$，与结论④给出的解不符，故④错误。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程，函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数综合类常考题，需要熟练掌握二次函数系数与图象的对应关系、增减性规律以及二次函数和一元二次方程的转化，解题时需逐个验证结论，避免粗心出错。
【难度系数】
0.5
6.已知二次函数$y=-x^2+2x+m$的部分图象如图26－5所示，则关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解为
$x_1=-1,x_2=3$
。答案
6.$x_1=-1,x_2=3$
解析
【分析】
要解一元二次方程$-x^2+2x+m=0$，可利用二次函数与一元二次方程的关系：方程的解对应二次函数$y=-x^2+2x+m$图象与x轴交点的横坐标。首先根据二次函数解析式求出对称轴，再结合图象给出的其中一个交点坐标，利用二次函数的对称性就能求出另一个交点的横坐标，最终得到方程的两个解。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=-x^2+2x+m$中，$a=-1$，$b=2$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
由题中图象可知，二次函数图象与x轴的一个交点横坐标为$3$。
因为二次函数图象关于对称轴对称，所以两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点的横坐标为$x_1$，则：
$\frac{x_1+3}{2}=1$
解得$x_1=2×1-3=-1$
因此一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是理解方程的解与函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，同时熟练运用二次函数的对称性简化计算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
要解一元二次方程$-x^2+2x+m=0$，可利用二次函数与一元二次方程的关系：方程的解对应二次函数$y=-x^2+2x+m$图象与x轴交点的横坐标。首先根据二次函数解析式求出对称轴，再结合图象给出的其中一个交点坐标，利用二次函数的对称性就能求出另一个交点的横坐标，最终得到方程的两个解。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=-x^2+2x+m$中，$a=-1$，$b=2$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
由题中图象可知，二次函数图象与x轴的一个交点横坐标为$3$。
因为二次函数图象关于对称轴对称，所以两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点的横坐标为$x_1$，则：
$\frac{x_1+3}{2}=1$
解得$x_1=2×1-3=-1$
因此一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是理解方程的解与函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，同时熟练运用二次函数的对称性简化计算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
7.如图26－6，已知二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点，则△ABC的面积为
3
。答案
7.3
解析
【分析】
要求△ABC的面积，需先确定三个顶点的坐标，得到三角形的底和对应高再计算。首先A、B是二次函数与x轴的交点，令y=0解一元二次方程即可得到两点横坐标，求出AB的长度作为底；C是二次函数与y轴的交点，令x=0求出C点纵坐标，纵坐标的绝对值就是AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求二次函数与x轴的交点A、B的坐标
令y=0，得方程：$x^2 -4x +3=0$
因式分解得：$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
∴A、B两点坐标为$(1,0)$、$(3,0)$，则AB的长度为$3-1=2$
步骤2：求二次函数与y轴的交点C的坐标
令x=0，代入函数得$y=0^2 -4×0 +3=3$
∴C点坐标为$(0,3)$，则点C到x轴（AB所在直线）的距离为3，即△ABC中AB边上的高为3
步骤3：计算△ABC的面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴的交点求解
2. 三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题型，解题关键是掌握二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合几何图形的面积公式即可完成解答，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
要求△ABC的面积，需先确定三个顶点的坐标，得到三角形的底和对应高再计算。首先A、B是二次函数与x轴的交点，令y=0解一元二次方程即可得到两点横坐标，求出AB的长度作为底；C是二次函数与y轴的交点，令x=0求出C点纵坐标，纵坐标的绝对值就是AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求二次函数与x轴的交点A、B的坐标
令y=0，得方程：$x^2 -4x +3=0$
因式分解得：$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
∴A、B两点坐标为$(1,0)$、$(3,0)$，则AB的长度为$3-1=2$
步骤2：求二次函数与y轴的交点C的坐标
令x=0，代入函数得$y=0^2 -4×0 +3=3$
∴C点坐标为$(0,3)$，则点C到x轴（AB所在直线）的距离为3，即△ABC中AB边上的高为3
步骤3：计算△ABC的面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 3=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴的交点求解
2. 三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题型，解题关键是掌握二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合几何图形的面积公式即可完成解答，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
8. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图26-7所示，则点$P(a,bc)$在第
三
象限。答案
8.三
解析
【分析】
要判断点$P(a,bc)$所在象限，需先确定$a$和$bc$的符号，因此要结合二次函数图像的性质依次推导$a、b、c$的符号：第一步根据抛物线开口方向判断$a$的符号；第二步结合对称轴位置和$a$的符号，用对称轴公式或“左同右异”口诀推导$b$的符号；第三步根据抛物线与$y$轴的交点位置判断$c$的符号；最后计算$bc$的符号，根据横纵坐标的符号即可确定点$P$所在象限。
【解析】
1. 判断$a$的符号：
∵ 二次函数图象开口向下，
∴ $a ＜ 0$。
2. 判断$b$的符号：
∵ 二次函数的对称轴在$y$轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a} ＞ 0$，
又
∵ $a ＜ 0$，不等式两边乘负数$2a$时不等号方向改变，得$-b ＜ 0$，
∴ $b ＞ 0$（也可直接用“左同右异”规律：对称轴在$y$轴右侧时$a、b$异号，已知$a＜0$，故$b＞0$）。
3. 判断$c$的符号：
∵ 二次函数图象与$y$轴交于负半轴，
∴ $c ＜ 0$。
4. 确定点$P$所在象限：
∵ $b＞0$，$c＜0$，
∴ $bc ＜ 0$。
点$P(a,bc)$的横坐标$a＜0$，纵坐标$bc＜0$，横、纵坐标均为负的点在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【点评】
本题属于二次函数图像性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置和系数$a、b、c$的对应关系，结合象限内点的坐标特征即可快速求解，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断点$P(a,bc)$所在象限，需先确定$a$和$bc$的符号，因此要结合二次函数图像的性质依次推导$a、b、c$的符号：第一步根据抛物线开口方向判断$a$的符号；第二步结合对称轴位置和$a$的符号，用对称轴公式或“左同右异”口诀推导$b$的符号；第三步根据抛物线与$y$轴的交点位置判断$c$的符号；最后计算$bc$的符号，根据横纵坐标的符号即可确定点$P$所在象限。
【解析】
1. 判断$a$的符号：
∵ 二次函数图象开口向下，
∴ $a ＜ 0$。
2. 判断$b$的符号：
∵ 二次函数的对称轴在$y$轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a} ＞ 0$，
又
∵ $a ＜ 0$，不等式两边乘负数$2a$时不等号方向改变，得$-b ＜ 0$，
∴ $b ＞ 0$（也可直接用“左同右异”规律：对称轴在$y$轴右侧时$a、b$异号，已知$a＜0$，故$b＞0$）。
3. 判断$c$的符号：
∵ 二次函数图象与$y$轴交于负半轴，
∴ $c ＜ 0$。
4. 确定点$P$所在象限：
∵ $b＞0$，$c＜0$，
∴ $bc ＜ 0$。
点$P(a,bc)$的横坐标$a＜0$，纵坐标$bc＜0$，横、纵坐标均为负的点在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【点评】
本题属于二次函数图像性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置和系数$a、b、c$的对应关系，结合象限内点的坐标特征即可快速求解，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
9.“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.
(1)当$x=60$时，$p=$
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润$W$(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价$x$的范围为$60≤ x≤80$.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
(1)当$x=60$时，$p=$
400
.(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润$W$(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价$x$的范围为$60≤ x≤80$.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.
答案
9.解:(1)400 点拨:由题意可得，$p=500-10(x-50)=-10x+1000$，即日销售量$p$(盒)关于每盒售价$x$(元)的函数解析式是$p=-10x+1000$。当$x=60$时，$p=-10×60+1000=400(x≥50)$。
(2)由题意可得，$W=(x-40)(-10x+1000)=-10x^2+1400x-40000=-10(x-70)^2+9000$。
∵每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴$\begin{cases} x≥50, \\ p≥350, \end{cases}$即$\begin{cases} x≥50, \\ -10x+1000≥350, \end{cases}$
解得$50≤x≤65$。
∴当$x=65$时，$W$取得最大值，此时$W=8750$。
故当每盒售价定为65元时，日销售利润$W$(元)最大，最大利润是8750元。
(3)小强:
∵$50≤x≤65$，设日销售额为$y$元，则$y=x·p=x(-10x+1000)=-10x^2+1000x=-10(x-50)^2+25000$，当$x=50$时，$y$值最大，此时$y=25000$。当$x=65$时，$W$值最大，此时$W=8750$。
∴小强的说法正确。
小红:当日销售利润不低于8000元时，$W≥8000$，即$-10(x-70)^2+9000≥8000$，解得$60≤x≤80$。
∵$50≤x≤65$，
∴当日销售利润不低于8000元时，$60≤x≤65$。
故小红的说法错误。当日销售利润不低于8000元时，$60≤x≤65$。
(2)由题意可得，$W=(x-40)(-10x+1000)=-10x^2+1400x-40000=-10(x-70)^2+9000$。
∵每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴$\begin{cases} x≥50, \\ p≥350, \end{cases}$即$\begin{cases} x≥50, \\ -10x+1000≥350, \end{cases}$
解得$50≤x≤65$。
∴当$x=65$时，$W$取得最大值，此时$W=8750$。
故当每盒售价定为65元时，日销售利润$W$(元)最大，最大利润是8750元。
(3)小强:
∵$50≤x≤65$，设日销售额为$y$元，则$y=x·p=x(-10x+1000)=-10x^2+1000x=-10(x-50)^2+25000$，当$x=50$时，$y$值最大，此时$y=25000$。当$x=65$时，$W$值最大，此时$W=8750$。
∴小强的说法正确。
小红:当日销售利润不低于8000元时，$W≥8000$，即$-10(x-70)^2+9000≥8000$，解得$60≤x≤80$。
∵$50≤x≤65$，
∴当日销售利润不低于8000元时，$60≤x≤65$。
故小红的说法错误。当日销售利润不低于8000元时，$60≤x≤65$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先根据售价与销售量的变化规律，写出日销售量$p$关于售价$x$的函数关系式，再将$x=60$代入即可求得$p$的值。
2. 第(2)问：根据“日销售利润=每盒利润×日销售量”列出利润$W$关于$x$的二次函数；再结合“售价不低于50元、日销售量不低于350盒”的约束条件列不等式组，求出自变量$x$的取值范围；最后结合二次函数的性质在取值范围内求最大利润即可。
3. 第(3)问：验证小强的说法时，先列出日销售额关于$x$的函数，求出销售额最大时的$x$值，与利润最大时的$x$值对比即可判断；验证小红的说法时，先解利润不低于8000元的不等式，再结合$x$的实际取值范围修正解集，即可判断说法正误。
【解析】
(1) 由题意得日销售量与售价的函数关系为：
$p=500-10(x-50)=-10x+1000$
将$x=60$代入得：
$p=-10×60+1000=400$
(2) 日销售利润$W=(x-40)p$，代入$p=-10x+1000$得：
$W=(x-40)(-10x+1000)=-10x^2+1400x-40000$
配方得：$W=-10(x-70)^2+9000$
根据约束条件列不等式组：
$\begin{cases} x≥50 \\ -10x+1000≥350 \end{cases}$
解得$50≤x≤65$
∵二次函数$W$开口向下，对称轴为$x=70$，在$x＜70$时$W$随$x$的增大而增大
∴当$x=65$时，$W$取最大值，最大值为$W=-10×(65-70)^2+9000=8750$
(3) ①判断小强的说法：
设日销售额为$y$元，则$y=x·p=-10x^2+1000x=-10(x-50)^2+25000$
∵$y$的开口向下，对称轴为$x=50$，在$50≤x≤65$范围内$y$随$x$的增大而减小
∴$x=50$时日销售额最大，而利润最大时$x=65$，此时销售额不是最大，故小强说法正确。
②判断小红的说法：
令$W≥8000$，即$-10(x-70)^2+9000≥8000$，解得$60≤x≤80$
结合$x$的实际取值范围$50≤x≤65$，可得实际解集为$60≤x≤65$，故小红说法错误。
【答案】
(1) $\boxed{400}$
(2) 当每盒售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是8750元。
(3) 小强的说法正确，小红的说法错误；当日销售利润不低于8000元时，每盒售价$x$的范围为$60≤x≤65$。
【知识点】
二次函数的实际应用、不等式组的应用、二次函数的性质
【点评】
本题结合生活销售场景考查函数的实际应用，解题的核心是要注意自变量的取值范围需符合实际约束，不能仅根据函数解析式直接求解，忽略边界限制容易出现错误。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：先根据售价与销售量的变化规律，写出日销售量$p$关于售价$x$的函数关系式，再将$x=60$代入即可求得$p$的值。
2. 第(2)问：根据“日销售利润=每盒利润×日销售量”列出利润$W$关于$x$的二次函数；再结合“售价不低于50元、日销售量不低于350盒”的约束条件列不等式组，求出自变量$x$的取值范围；最后结合二次函数的性质在取值范围内求最大利润即可。
3. 第(3)问：验证小强的说法时，先列出日销售额关于$x$的函数，求出销售额最大时的$x$值，与利润最大时的$x$值对比即可判断；验证小红的说法时，先解利润不低于8000元的不等式，再结合$x$的实际取值范围修正解集，即可判断说法正误。
【解析】
(1) 由题意得日销售量与售价的函数关系为：
$p=500-10(x-50)=-10x+1000$
将$x=60$代入得：
$p=-10×60+1000=400$
(2) 日销售利润$W=(x-40)p$，代入$p=-10x+1000$得：
$W=(x-40)(-10x+1000)=-10x^2+1400x-40000$
配方得：$W=-10(x-70)^2+9000$
根据约束条件列不等式组：
$\begin{cases} x≥50 \\ -10x+1000≥350 \end{cases}$
解得$50≤x≤65$
∵二次函数$W$开口向下，对称轴为$x=70$，在$x＜70$时$W$随$x$的增大而增大
∴当$x=65$时，$W$取最大值，最大值为$W=-10×(65-70)^2+9000=8750$
(3) ①判断小强的说法：
设日销售额为$y$元，则$y=x·p=-10x^2+1000x=-10(x-50)^2+25000$
∵$y$的开口向下，对称轴为$x=50$，在$50≤x≤65$范围内$y$随$x$的增大而减小
∴$x=50$时日销售额最大，而利润最大时$x=65$，此时销售额不是最大，故小强说法正确。
②判断小红的说法：
令$W≥8000$，即$-10(x-70)^2+9000≥8000$，解得$60≤x≤80$
结合$x$的实际取值范围$50≤x≤65$，可得实际解集为$60≤x≤65$，故小红说法错误。
【答案】
(1) $\boxed{400}$
(2) 当每盒售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是8750元。
(3) 小强的说法正确，小红的说法错误；当日销售利润不低于8000元时，每盒售价$x$的范围为$60≤x≤65$。
【知识点】
二次函数的实际应用、不等式组的应用、二次函数的性质
【点评】
本题结合生活销售场景考查函数的实际应用，解题的核心是要注意自变量的取值范围需符合实际约束，不能仅根据函数解析式直接求解，忽略边界限制容易出现错误。
【难度系数】
0.6
