22.如图,某工厂制作一款边长为6 dm的正方形ABCD装饰品,装饰品由四个三角形组成,分别采用甲、乙、丙、丁四种材料制作.点E在BC上,点F在DC上,DF=2FC,设BE的长为x dm.
(1)请用含x的代数式分别表示下列各量.
甲的面积是 $\mathrm{dm}^2$;乙的面积是 $\mathrm{dm}^2$;
丙的面积是 $\mathrm{dm}^2$;丁的面积是 $\mathrm{dm}^2$.

(2)已知甲、乙、丙、丁四种材料的单价分别为2元/$\mathrm{dm}^2$,5元/$\mathrm{dm}^2$,3元/$\mathrm{dm}^2$,2元/$\mathrm{dm}^2$,若每块正方形装饰品的材料费用为96元,求BE的长.
(3)若甲、乙、丙、丁四种材料的单价分别为2元/$\mathrm{dm}^2$,2m元/$\mathrm{dm}^2$,$\frac{1}{2}m$元/$\mathrm{dm}^2$,n元/$\mathrm{dm}^2$(m,n为常数).要使每块正方形装饰品的材料费用不变,直接写出m,n满足的数量关系以及每块正方形装饰品的材料费用.

22.(1)$S_甲=3x,S_乙=(6-x),S_丙=12,S_丁=(18-2x).$
(2)由题意得$2×3x+5(6-x)+3×12+2(18-2x)=96,$解得$x=2.$
故$BE$的长为$2\ \mathrm{dm}.$
(3)由题意,$W_{材料}=2×3x+2m(6-x)+\frac{1}{2}m×12+n(18-2x)$
$=(6-2m-2n)x+18(m+n).$
因为每块装饰品的材料费用不变,所以式子的值与$x$的值无关,
所以$6-2m-2n=0,$即$m+n=3,W_{材料}=54.$

【分析】
（1）先确定各三角形的底和高：正方形边长为6dm，由DF=2FC可算出DF=4dm、FC=2dm。甲是直角△ABE，底BE=x，高AB=6，直接用三角形面积公式计算；乙是直角△EFC，底EC=6-x，高FC=2，代入面积公式计算；丙是直角△ADF，底AD=6，高DF=4，代入面积公式计算；丁的面积用正方形总面积减去甲、乙、丙的面积即可求得。
（2）总费用为各部分面积乘对应单价的和，代入总费用96元列一元一次方程，求解即可得到BE的长度。
（3）先列出总费用的代数式，整理为关于x的一次式，要使总费用和x无关，需让x的系数为0，即可得到m、n的数量关系，再代入计算得到固定总费用。
【解析】
(1) 正方形ABCD边长为6dm，因此$AB=BC=CD=AD=6\ \mathrm{dm}$，正方形总面积$S_{正方形}=6×6=36\ \mathrm{dm}^2$。
由$DF=2FC$，$CD=6\ \mathrm{dm}$，得$DF=4\ \mathrm{dm}$，$FC=2\ \mathrm{dm}$。
① 甲的面积：$S_甲=\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×6×x=3x$；
② 乙的面积：$S_乙=\frac{1}{2}×EC×FC=\frac{1}{2}×(6-x)×2=6-x$；
③ 丙的面积：$S_丙=\frac{1}{2}×AD×DF=\frac{1}{2}×6×4=12$；
④ 丁的面积：$S_丁=S_{正方形}-S_甲-S_乙-S_丙=36-3x-(6-x)-12=18-2x$。
(2) 根据总费用的计算规则列方程：
$2×3x + 5(6-x) + 3×12 + 2(18-2x) = 96$
展开计算：$6x + 30 -5x +36 +36 -4x =96$
合并同类项：$-3x +102=96$
解得：$x=2$。
(3) 设总材料费用为$W$，根据题意：
$W=2×3x + 2m(6-x) + \frac{1}{2}m×12 + n(18-2x)$
化简得：$W=(6-2m-2n)x + 18(m+n)$
要使总费用不随$x$变化，即$W$与$x$无关，则$x$的系数为0：
$6-2m-2n=0$，整理得$m+n=3$。
代入$W$的表达式得：$W=18(m+n)=18×3=54$。
【答案】
(1) $3x$；$6-x$；$12$；$18-2x$
(2) $BE$的长为$2\ \mathrm{dm}$
(3) $m+n=3$，每块正方形装饰品的材料费用为54元
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；整式的加减
【点评】
本题结合几何图形面积计算，综合考查了代数式表示、方程求解以及整式取值与变量无关的性质，解题的关键是准确计算各部分面积，正确理解“费用与x无关”的含义是x的系数为0，计算过程中要注意合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.6

23.设 m 是一个四位正整数,如果它的千位与十位上的数字之和是 9,百位与个位上的数字之和也是 9,则称 m 为“长久数”.
(1)判断下列四位数是不是“长久数”,请在横线上填“是”或“不是”.
①1 485 ;②5 247 ;③4 564 .
(2)设一个“长久数”m 的千位、百位、十位、个位上的数字分别为 a ,b ,c ,d ,判断 m 是不是99 的倍数,并说明理由.
(3)如果正整数 P 和 Q 满足 $P=Q^3$,则称正整数 P 是立方数.例如,$27=3^3$,则 27 为立方数.已知四位正整数 m 为“长久数”,记 $P=\frac{m - 99}{11}$,当 P 是立方数时,直接写出所有满足条件的 m.

23.(1)①是 ②是 ③不是
(2)由题意,得$a+c=9(1≤ a≤9,$且$a$为正整数$),b+d=9(0≤ b≤9,$且$b$为正整数$),$
则$c=9-a,d=9-b,$
$m=1\ 000a+100b+10c+d=1\ 000a+100b+10(9-a)+(9-b)$
$=990a+99b+99=99(10a+b+1).$
因为$10a+b+1$为正整数,所以$m$为99的倍数.
(3)2 475,8 118.
提示:$P=\frac{m-99}{11}=\frac{99(10a+b+1)-99}{11}=9(10a+b).$
$10a+b=3k^3$($k$ 为正整数).
$k=2,a=2,b=4;$
$k=3,a=8,b=1.$

【分析】
（1）判断“长久数”直接根据定义：分别计算每个数的千位与十位数字之和、百位与个位数字之和，若两者均为9则是“长久数”，否则不是。
（2）要判断m是否为99的倍数，先根据“长久数”的定义得到c=9-a，d=9-b，再将四位数m用数位展开式表示，代入c、d的表达式后化简，若化简结果能分解出因数99，即可证明m是99的倍数。
（3）先利用第（2）问得到的m的表达式代入P的公式，化简得到P的表达式，再结合P是立方数、m是四位正整数的条件，确定P的取值范围，筛选出符合要求的立方数，反推得到a、b的值，最终求出对应的m。
【解析】
（1）①对于1485：千位1，十位8，1+8=9；百位4，个位5，4+5=9，符合定义，是“长久数”。
②对于5247：千位5，十位4，5+4=9；百位2，个位7，2+7=9，符合定义，是“长久数”。
③对于4564：千位4，十位6，4+6=10≠9，不符合定义，不是“长久数”。
（2）由“长久数”定义得：$a+c=9$（$1≤a≤9$，a为正整数），$b+d=9$（$0≤b≤9$，b为整数），因此$c=9-a$，$d=9-b$。
四位数m的数位展开式为：
$m=1000a+100b+10c+d$
代入c、d得：
$\begin{aligned}m&=1000a+100b+10(9-a)+(9-b)\\&=1000a+100b+90-10a+9-b\\&=990a+99b+99\\&=99(10a+b+1)\end{aligned}$
因为$10a+b+1$是正整数，所以m能被99整除，即m是99的倍数。
（3）由（2）知$m=99(10a+b+1)$，代入P的表达式：
$\begin{aligned}P&=\frac{m-99}{11}\\&=\frac{99(10a+b+1)-99}{11}\\&=\frac{99(10a+b+1-1)}{11}\\&=9(10a+b)\end{aligned}$
因为m是四位正整数，所以$1000≤m≤9999$，因此：
$\frac{1000-99}{11}≈81.9≤P≤\frac{9999-99}{11}=900$
又因为P是立方数，且P是9的倍数，在82~900之间的立方数有：$4^3=64$（太小舍去），$5^3=125$（不是9的倍数舍去），$6^3=216$，$7^3=343$（不是9的倍数舍去），$8^3=512$（不是9的倍数舍去），$9^3=729$，$10^3=1000$（太大舍去）。
①当$P=216$时，$9(10a+b)=216$，解得$10a+b=24$，即$a=2$，$b=4$，则$c=9-2=7$，$d=9-4=5$，$m=2475$。
②当$P=729$时，$9(10a+b)=729$，解得$10a+b=81$，即$a=8$，$b=1$，则$c=9-8=1$，$d=9-1=8$，$m=8118$。
综上，满足条件的m为2475、8118。
【答案】
(1)①是 ②是 ③不是
(2)m是99的倍数，理由见解析
(3)2475，8118
【知识点】
新定义问题，整式的化简，立方数的性质
【点评】
本题以新定义“长久数”为载体，综合考查了数位表示、整式化简、倍数判断及立方数的应用，解题核心是准确把握新定义的规则，正确对整式进行变形，再结合取值范围筛选符合条件的结果，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6