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24.在同一条直线上的A,B,C三点,若满足点C到另两个点A,B的距离之比是2,则称C是其余两点的亮点(或暗点).具体地,当点C在线段AB上时,若$\frac{CA}{CB}=2$,则称C是$[A,B]$的亮点;若$\frac{CB}{CA}=2$,则称C是$[B,A]$的亮点;当点C在线段AB的延长线上时,若$\frac{CA}{CB}=2$,则称C是$[A,B]$的暗点.例如,如图①,数轴上的点A,B,C,D分别表示数$-1,2,1,0$,则C是$[A,B]$的亮点,又是$[A,D]$的暗点;D是$[B,A]$的亮点,又是$[B,C]$的暗点.
(1)如图②,M,N为数轴上两点,点M表示的数为$-2$,点N表示的数为4.
$[M,N]$的亮点表示的数是
(2)如图③,数轴上点A表示的数为$-20$,点B表示的数为40.一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
①求当$t$为何值时,P是$[B,A]$的暗点.
②求当$t$为何值时,P,A,B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点.
(1)如图②,M,N为数轴上两点,点M表示的数为$-2$,点N表示的数为4.
$[M,N]$的亮点表示的数是
2
,$[N,M]$的亮点表示的数是0
,$[M,N]$的暗点表示的数是10
,$[N,M]$的暗点表示的数是-8
.(2)如图③,数轴上点A表示的数为$-20$,点B表示的数为40.一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
①求当$t$为何值时,P是$[B,A]$的暗点.
②求当$t$为何值时,P,A,B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点.
答案
24.(1)2 0 10 -8
(2)①因为$P$是$[B,A]$的暗点,所以$PB=2PA$,
即$2t=2(2t-60),$解得$t=60.$
故当$t=60$时,$P$是$[B,A]$的暗点.
②当$P$是$[A,B]$的亮点时,$60-2t=2×2t,$解得$t=10;$
当$P$是$[B,A]$的亮点时,$2t=2(60-2t),$解得$t=20;$
当$A$是$[B,P]$的亮点时,$60=2(2t-60),$解得$t=45;$
当$A$是$[P,B]$的亮点时,$2t-60=2×60,$解得$t=90.$
综上所述,当$t$ 为$10,20,45,90$时,$P,A,B$ 三个点中恰有一个点为其余两点的亮点.
(2)①因为$P$是$[B,A]$的暗点,所以$PB=2PA$,
即$2t=2(2t-60),$解得$t=60.$
故当$t=60$时,$P$是$[B,A]$的暗点.
②当$P$是$[A,B]$的亮点时,$60-2t=2×2t,$解得$t=10;$
当$P$是$[B,A]$的亮点时,$2t=2(60-2t),$解得$t=20;$
当$A$是$[B,P]$的亮点时,$60=2(2t-60),$解得$t=45;$
当$A$是$[P,B]$的亮点时,$2t-60=2×60,$解得$t=90.$
综上所述,当$t$ 为$10,20,45,90$时,$P,A,B$ 三个点中恰有一个点为其余两点的亮点.
解析
【分析】
本题属于数轴上的新定义题型，解题核心是先准确理解亮点、暗点的定义：亮点在线段两点之间，满足前一个点到该点的距离与后一个点到该点的距离比为2；暗点在线段的延长线上，满足前一个点到该点的距离与后一个点到该点的距离比为2。
（1）求解各亮点、暗点表示的数时，可设未知数为x，根据该点的位置确定两点距离的表达式，再根据比例关系列一元一次方程求解即可。
（2）①先明确电子蚂蚁P的运动路程为2t，P是[B,A]的暗点说明P在线段BA的延长线上，且PB=2PA，据此列方程求解t；②“恰有一个点为其余两点的亮点”需分4种情况分类讨论：P为[A,B]的亮点、P为[B,A]的亮点、A为[B,P]的亮点、A为[P,B]的亮点，每种情况结合亮点的比例关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设所求点表示的数为$x$，点M表示数$-2$，点N表示数4，$MN=4-(-2)=6$：
① $[M,N]$的亮点在线段MN上，满足$\frac{CM}{CN}=2$，其中$CM=x-(-2)=x+2$，$CN=4-x$，列方程：
$x+2=2(4-x)$，解得$x=2$；
② $[N,M]$的亮点在线段MN上，满足$\frac{CN}{CM}=2$，列方程：
$4-x=2(x+2)$，解得$x=0$；
③ $[M,N]$的暗点在线段MN的延长线上（N的右侧），满足$\frac{CM}{CN}=2$，其中$CM=x+2$，$CN=x-4$，列方程：
$x+2=2(x-4)$，解得$x=10$；
④ $[N,M]$的暗点在线段NM的延长线上（M的左侧），满足$\frac{CN}{CM}=2$，其中$CN=4-x$，$CM=-2-x$，列方程：
$4-x=2(-2-x)$，解得$x=-8$。
(2) 点A表示数$-20$，点B表示数40，故$AB=40-(-20)=60$，电子蚂蚁P从B出发向左运动，速度为每秒2个单位，运动t秒后$PB=2t$，P表示的数为$40-2t$。
① P是$[B,A]$的暗点，说明P在线段BA的延长线上（A的左侧），满足$PB=2PA$，此时$PA=-20-(40-2t)=2t-60$，列方程：
$2t=2(2t-60)$
$2t=4t-120$
解得$t=60$。
② 分4种情况讨论：
情况1：P是$[A,B]$的亮点，P在线段AB上，满足$PA=2PB$，$PA=60-2t$，列方程：
$60-2t=2×2t$
$6t=60$
解得$t=10$；
情况2：P是$[B,A]$的亮点，P在线段AB上，满足$PB=2PA$，列方程：
$2t=2(60-2t)$
$6t=120$
解得$t=20$；
情况3：A是$[B,P]$的亮点，A在线段BP上（P在A左侧），满足$AB=2PA$，$PA=2t-60$，列方程：
$60=2(2t-60)$
$4t=180$
解得$t=45$；
情况4：A是$[P,B]$的亮点，A在线段BP上（P在A左侧），满足$PA=2AB$，列方程：
$2t-60=2×60$
$2t=180$
解得$t=90$。
综上，符合条件的t值为10、20、45、90。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{0}$；$\boxed{10}$；$\boxed{-8}$
(2) ①当$\boxed{t=60}$时，P是$[B,A]$的暗点；②当$\boxed{t}$为$\boxed{10,20,45,90}$时，P,A,B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点。
【知识点】
数轴上两点距离；一元一次方程的应用；新定义问题
【点评】
本题以新定义为背景结合数轴动点考察综合应用能力，解题关键是准确理解新定义的含义，分类讨论时做到不重不漏，能有效提升阅读理解能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.4
本题属于数轴上的新定义题型，解题核心是先准确理解亮点、暗点的定义：亮点在线段两点之间，满足前一个点到该点的距离与后一个点到该点的距离比为2；暗点在线段的延长线上，满足前一个点到该点的距离与后一个点到该点的距离比为2。
（1）求解各亮点、暗点表示的数时，可设未知数为x，根据该点的位置确定两点距离的表达式，再根据比例关系列一元一次方程求解即可。
（2）①先明确电子蚂蚁P的运动路程为2t，P是[B,A]的暗点说明P在线段BA的延长线上，且PB=2PA，据此列方程求解t；②“恰有一个点为其余两点的亮点”需分4种情况分类讨论：P为[A,B]的亮点、P为[B,A]的亮点、A为[B,P]的亮点、A为[P,B]的亮点，每种情况结合亮点的比例关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设所求点表示的数为$x$，点M表示数$-2$，点N表示数4，$MN=4-(-2)=6$：
① $[M,N]$的亮点在线段MN上，满足$\frac{CM}{CN}=2$，其中$CM=x-(-2)=x+2$，$CN=4-x$，列方程：
$x+2=2(4-x)$，解得$x=2$；
② $[N,M]$的亮点在线段MN上，满足$\frac{CN}{CM}=2$，列方程：
$4-x=2(x+2)$，解得$x=0$；
③ $[M,N]$的暗点在线段MN的延长线上（N的右侧），满足$\frac{CM}{CN}=2$，其中$CM=x+2$，$CN=x-4$，列方程：
$x+2=2(x-4)$，解得$x=10$；
④ $[N,M]$的暗点在线段NM的延长线上（M的左侧），满足$\frac{CN}{CM}=2$，其中$CN=4-x$，$CM=-2-x$，列方程：
$4-x=2(-2-x)$，解得$x=-8$。
(2) 点A表示数$-20$，点B表示数40，故$AB=40-(-20)=60$，电子蚂蚁P从B出发向左运动，速度为每秒2个单位，运动t秒后$PB=2t$，P表示的数为$40-2t$。
① P是$[B,A]$的暗点，说明P在线段BA的延长线上（A的左侧），满足$PB=2PA$，此时$PA=-20-(40-2t)=2t-60$，列方程：
$2t=2(2t-60)$
$2t=4t-120$
解得$t=60$。
② 分4种情况讨论：
情况1：P是$[A,B]$的亮点，P在线段AB上，满足$PA=2PB$，$PA=60-2t$，列方程：
$60-2t=2×2t$
$6t=60$
解得$t=10$；
情况2：P是$[B,A]$的亮点，P在线段AB上，满足$PB=2PA$，列方程：
$2t=2(60-2t)$
$6t=120$
解得$t=20$；
情况3：A是$[B,P]$的亮点，A在线段BP上（P在A左侧），满足$AB=2PA$，$PA=2t-60$，列方程：
$60=2(2t-60)$
$4t=180$
解得$t=45$；
情况4：A是$[P,B]$的亮点，A在线段BP上（P在A左侧），满足$PA=2AB$，列方程：
$2t-60=2×60$
$2t=180$
解得$t=90$。
综上，符合条件的t值为10、20、45、90。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{0}$；$\boxed{10}$；$\boxed{-8}$
(2) ①当$\boxed{t=60}$时，P是$[B,A]$的暗点；②当$\boxed{t}$为$\boxed{10,20,45,90}$时，P,A,B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点。
【知识点】
数轴上两点距离；一元一次方程的应用；新定义问题
【点评】
本题以新定义为背景结合数轴动点考察综合应用能力，解题关键是准确理解新定义的含义，分类讨论时做到不重不漏，能有效提升阅读理解能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.4
