19.如图，点C分线段AB为5:7的两段，AC＜BC，点D分线段AB为5:11的两段。若CD=10，求AB的长度。

19.设$AB=x$,则$AC=\frac{5}{12}x,AD=\frac{5}{16}x.$
根据题意,有$\frac{5}{12}x-\frac{5}{16}x=10,$解得$x=96,$即$AB=96.$

【分析】
遇到线段按比例分配的计算问题，我们可以先把整条线段的长度设为未知数，再根据比例关系将涉及的各部分线段长度用含未知数的式子表示。首先观察线段上点的顺序为A、D、C、B，可知CD=AC-AD，结合已知CD=10的条件，就可以建立方程求解AB的长度。先明确各段线段占AB总长度的比例：点C分AB为5:7，说明AC占AB总长的$\frac{5}{5+7}$；点D分AB为5:11，说明AD占AB总长的$\frac{5}{5+11}$，再根据CD的长度列方程即可。
【解析】
解：设线段AB的长度为$x$。
∵ 点C分线段AB为5:7的两段，总份数为$5+7=12$，
∴ $AC=\frac{5}{12}x$。
∵ 点D分线段AB为5:11的两段，总份数为$5+11=16$，
∴ $AD=\frac{5}{16}x$。
由线段和差关系可知$CD=AC-AD$，已知$CD=10$，代入得：
$\frac{5}{12}x - \frac{5}{16}x = 10$
通分计算：
$\frac{20}{48}x - \frac{15}{48}x = 10$
$\frac{5}{48}x =10$
解得：$x=96$
【答案】
$AB=96$
【知识点】
线段和差计算，比例线段，一元一次方程应用
【点评】
本题是线段比例计算的常规题型，解题核心是通过设未知数将所有线段统一用同一未知数表达，再结合线段的和差关系建立方程求解，掌握这种按比例转换线段长度的方法，能高效解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.7

20.如图,在钝角∠AOB内作射线OC,满足∠AOB+∠AOC=180°,OF,OE分别平分∠BOC,∠AOB.
(1)若∠AOC=70°,直接写出∠AOB,∠AOF,∠EOF的度数.
(2)求∠AOF的度数.

20.(1)$∠AOB=180°-∠AOC=110°,$
$∠BOC=∠AOB-∠AOC=40°,∠BOF=\frac{1}{2}∠BOC=20°,∠AOF=∠AOB-∠BOF=90°.$
$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB=55°,∠EOF=∠AOF-∠AOE=35°.$
(2)设$∠AOC=α$,则$∠AOB=180°-α,$所以$∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-2α.$
因为$OF$平分$∠BOC$,
所以$∠COF=∠BOF=\frac{1}{2}∠BOC=90°-α,$
所以$∠AOF=∠AOB-∠BOF=180°-α-(90°-α)=90°.$

【分析】
(1) 解题时先利用已知的∠AOB与∠AOC互补的关系，代入∠AOC的度数即可求出∠AOB；再通过角度的差运算求出∠BOC，结合OF是∠BOC的角平分线算出∠BOF，用∠AOB减去∠BOF得到∠AOF；之后根据OE平分∠AOB求出∠AOE，最后用∠AOF减去∠AOE就能得到∠EOF的度数。
(2) 求∠AOF的定值时，可设∠AOC为参数α，仿照(1)的思路用含α的代数式依次表示∠AOB、∠BOC、∠BOF，最后代入∠AOF=∠AOB-∠BOF化简，即可消去参数得到∠AOF的固定度数。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB+∠ AOC=180°$，$∠ AOC=70°$，
所以$∠ AOB=180°-∠ AOC=180°-70°=110°$，
$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=110°-70°=40°$，
因为OF平分$∠ BOC$，所以$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
则$∠ AOF=∠ AOB-∠ BOF=110°-20°=90°$；
又因为OE平分$∠ AOB$，所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×110°=55°$，
则$∠ EOF=∠ AOF-∠ AOE=90°-55°=35°$。
(2) 设$∠ AOC=α$，
因为$∠ AOB+∠ AOC=180°$，所以$∠ AOB=180°-α$，
$∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=(180°-α)-α=180°-2α$，
因为OF平分$∠ BOC$，所以$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×(180°-2α)=90°-α$，
所以$∠ AOF=∠ AOB-∠ BOF=(180°-α)-(90°-α)=90°$。
【答案】
(1) $∠ AOB=110°$，$∠ AOF=90°$，$∠ EOF=35°$；
(2) $∠ AOF=90°$
【知识点】
角平分线的定义，角度和差运算，补角的定义
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，重点考查角平分线的性质和角度之间的和差关系，第二问通过设参数表示角度，化简后消去参数得到定值，是角度定值问题的典型考法，熟练掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

21.某市居民用电电费实行梯度价格,具体如下表所示.

(1)若月用电为150 kW·h,应交电费元;若月用电为250 kW·h,应交电费元.
(2)若居民王大爷家12月应交电费150元,请计算他家12月的用电量.
(3)若居民李大爷家11月和12月共用电480 kW·h(其中11月的用电量少于12月),共交电费262.6元.请直接写出李大爷家这两个月的用电量.

21.(1)75 132
(2)设他家 12 月的用电量为$x\ \mathrm{kW· h}.$
因为$90＜150＜222$,所以王大爷家的用电量在第二档($181∼400$)内.
由题意,得$180×0.5+0.6(x-180)=150,$解得$x=280.$
故王大爷家 12 月的用电量为$280\ \mathrm{kW· h}.$
(3)$78\ \mathrm{kW· h}$和$402\ \mathrm{kW· h}.$

【分析】
本题是梯度电价计费的实际应用问题，解题需先明确各用电量档位对应的收费标准：
(1) 直接判断用电量所属档位，按对应单价分段计算电费即可；
(2) 先计算各档位的最高电费，判断150元所属的收费档位，再根据“总电费=第一档电费+超出第一档部分的电费”列一元一次方程求解；
(3) 设11月用电量为$a\ \mathrm{kW·h}$，则12月为$(480-a)\ \mathrm{kW·h}$，由11月用电量少于12月可得$a＜240$，再分情况讨论$a$的所属档位，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 月用电$150\ \mathrm{kW·h}$，属于180及以下档位，应交电费：$150×0.5=75$元；
月用电$250\ \mathrm{kW·h}$，其中$180\ \mathrm{kW·h}$按0.5元计费，超出部分$250-180=70\ \mathrm{kW·h}$按0.6元计费，应交电费：$180×0.5 + 70×0.6=90+42=132$元。
(2) 先计算各档位最高电费：
第一档最高电费（用电$180\ \mathrm{kW·h}$）：$180×0.5=90$元；
第二档最高电费（用电$400\ \mathrm{kW·h}$）：$90 + (400-180)×0.6=90+132=222$元。
已知王大爷家电费150元，$90＜150＜222$，说明用电量在第二档（181~400）范围内。
设12月用电量为$x\ \mathrm{kW·h}$，由题意得：
$180×0.5 + 0.6(x-180)=150$
化简得：$90 + 0.6x - 108=150$
$0.6x=168$
解得$x=280$。
(3) 设11月用电量为$a\ \mathrm{kW·h}$，则12月用电量为$(480-a)\ \mathrm{kW·h}$，由11月用电量少于12月得$a＜480-a$，即$a＜240$，分情况讨论：
① 若$a≤180$且$480-a≤400$（即$80≤ a≤180$），列方程解得$a=74$，不符合$a≥80$，舍去；
② 若$a≤180$且$480-a＞400$（即$a＜80$），列方程解得$a=78$，符合条件，此时12月用电量为$480-78=402\ \mathrm{kW·h}$；
③ 若$180＜a＜240$，两个月用电量均在第二档，计算总电费为252元，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boxed{75}$；$\boxed{132}$
(2) $\boxed{280\ \mathrm{kW·h}}$
(3) $\boxed{78\ \mathrm{kW·h}}$和$\boxed{402\ \mathrm{kW·h}}$
【知识点】
阶梯收费问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题贴近生活实际，考查分段计费问题的处理方法，解题核心是先明确不同分段的计费规则，列方程前要先判断所求量所属的分段区间，涉及多个未知量时要结合已知条件分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6