1. 将一不吸水、体积为 $1 × 10^{-3} \, \mathrm{m}^3$ 的实心长方体缓慢放入装有一定水的圆柱形容器内，如图所示。长方体静止时有 $\frac{1}{4}$ 的体积露出水面。（$\rho_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3$，$g$ 取 $10 \, \mathrm{N/kg}$）

(1)长方体受到的浮力 $F_{\mathrm{浮}}$ 与重力 $G$ 的大小关系是 $F_{\mathrm{浮}}$ $G$，长方体所受浮力 $F_{\mathrm{浮}} = $ $\mathrm{N}$。
(2)放入长方体后，圆柱形容器内的水面上升了4 cm，容器底部受到水的压强增加了 $\mathrm{Pa}$。

(1) $\boldsymbol{=}$；$\boldsymbol{7.5}$ (2) $\boldsymbol{400}$

解：
(1) 长方体静止时漂浮在水面，受力平衡，因此$F_{\mathrm{浮}} = G$。
排开水的体积：
$V_{\mathrm{排}} = (1-\frac{1}{4})V = \frac{3}{4} × 1× 10^{-3}\, \mathrm{m}^3 = 7.5× 10^{-4}\, \mathrm{m}^3$
由阿基米德原理得：
$F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{水}} g V_{\mathrm{排}} = 1.0× 10^3\, \mathrm{kg/m}^3 × 10\, \mathrm{N/kg} × 7.5× 10^{-4}\, \mathrm{m}^3 = 7.5\, \mathrm{N}$
(2) 水面上升高度$\Delta h = 4\,\mathrm{cm} = 0.04\,\mathrm{m}$，容器底部增加的水的压强：
$\Delta p = \rho_{\mathrm{水}} g \Delta h = 1.0× 10^3\, \mathrm{kg/m}^3 × 10\, \mathrm{N/kg} × 0.04\,\mathrm{m} = 400\,\mathrm{Pa}$

2. 如图所示,将一边长为10 cm的正方体物块,放入盛有水的水槽内,待物块静止时,其下表面距水面6 cm。(g取10 N/kg)

(1)水对物体下表面的压强为 Pa。
(2)水对物体下表面压力为 N。
(3)若将物块全部浸没在水中,需施加竖直向下大小为 N的压力。

(1) $\boldsymbol{600}$ (2) $\boldsymbol{6}$ (3) $\boldsymbol{4}$

解：
(1) 下表面所处深度h=6cm=0.06m
水对物体下表面的压强：
$p=\rho_{水}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.06\ \mathrm{m}=600\ \mathrm{Pa}$
(2) 正方体物块的底面积$S=(10\ \mathrm{cm})^2=100\ \mathrm{cm}^2=0.01\ \mathrm{m}^2$
水对物体下表面的压力：
$F=pS=600\ \mathrm{Pa}×0.01\ \mathrm{m}^2=6\ \mathrm{N}$
(3) 物块漂浮时上表面不受水的压力，由压力差法得物块此时浮力$F_{浮}=F=6\ \mathrm{N}$，物块重力$G=F_{浮}=6\ \mathrm{N}$
物块全部浸没时，排开水的体积$V_{排}=V_{物}=(0.1\ \mathrm{m})^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
此时物块受到的浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=10\ \mathrm{N}$
需要施加的竖直向下的压力：
$F_{压}=F_{浮}'-G=10\ \mathrm{N}-6\ \mathrm{N}=4\ \mathrm{N}$

3.小科学习了浮力知识后，进行了“物体浮
沉条件”等相关研究，过程如图所示。

①图甲、乙:取两个完全相同的量筒,倒入等体积的水和白酒,液面高度均为$h_0$;
②图丙:把萝卜放入装有水的图甲所示量筒中,萝卜漂浮在水面上,此时液面高度为$h_1$;
③图丁:把图乙所示量筒中的部分白酒倒入图丙所示量筒中,萝卜沉底,此时液面高度为$h_2$;
④图戊:倒出若干白酒后,图乙所示量筒中剩余白酒液面高度为$h_3$。
请回答以下问题。
(1)把图乙量筒中部分白酒倒入图丙量筒中后,萝卜受到的浮力变,从而使萝卜沉底($\rho_{酒}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)。
(2)若不考虑水和白酒混合前后体积的变化,$\rho_{水}$表示水的密度,则萝卜的密度$\rho_{萝}=$(用题中字母表示)。
(3)若图丙中的萝卜会吸水,且吸水后质量和体积均变大,但仍处于漂浮状态,此时的液面高度为$h'$,则$h'$$h_1$(选填“＞”“=”或“＜”)。

解：
(1) 小
(2) 设量筒的底面积为$S$。
萝卜漂浮在水面上，由漂浮条件得萝卜的重力：
$G_{萝}=F_{浮}=\rho_{水}gS(h_1-h_0)$
萝卜的质量：
$m_{萝}=\frac{G_{萝}}{g}=\rho_{水}S(h_1-h_0)$
从乙量筒倒入丙量筒的白酒体积：
$V_{酒}=S(h_0-h_3)$
萝卜沉底时，萝卜的体积等于其排开混合液体的体积：
$V_{萝}=S h_2 - S h_0 - V_{酒}=S h_2 - S h_0 - S(h_0-h_3)=S(h_2+h_3-2h_0)$
萝卜的密度：
$\rho_{萝}=\frac{m_{萝}}{V_{萝}}=\frac{\rho_{水}S(h_1-h_0)}{S(h_2+h_3-2h_0)}=\boldsymbol{\dfrac{h_1-h_0}{h_2+h_3-2h_0}·\rho_{水}}$
(3) $\boldsymbol{=}$

4.装有一定量水的容器中，漂浮着载有铁块B的木块A，若把铁块B从木块A上取出放入水中，则水面会（选填“上升”“下降”或“不变”）；若B是比木块密度还小的塑料块，当把B从A上取出也放在水里，平衡后，则水面会（选填“上升”“下降”或“不变”）。

下降；不变。

解：
初始状态下，载有铁块B的木块A整体漂浮，根据漂浮条件得总浮力等于总重力：
$F_{\mathrm{浮1}} = G_A + G_B$
由阿基米德原理，此时总排开水的体积：
$V_{\mathrm{排1}} = \frac{F_{\mathrm{浮1}}}{\rho_{\mathrm{水}}g} = \frac{G_A + G_B}{\rho_{\mathrm{水}}g}$
将铁块B取出放入水中后，木块A单独漂浮，满足$F_{\mathrm{浮}A}=G_A$；铁块密度大于水，沉底，铁块受到的浮力$F_{\mathrm{浮}B}=\rho_{\mathrm{水}}gV_B ＜ G_B$。
此时总排开水的体积：
$V_{\mathrm{排2}} = V_{\mathrm{排}A} + V_B = \frac{G_A}{\rho_{\mathrm{水}}g} + \frac{G_B}{\rho_{\mathrm{铁}}g}$
由于$\rho_{\mathrm{铁}}＞\rho_{\mathrm{水}}$，因此$\frac{G_B}{\rho_{\mathrm{铁}}g} ＜ \frac{G_B}{\rho_{\mathrm{水}}g}$，可得$V_{\mathrm{排2}} ＜ V_{\mathrm{排1}}$，总排开水的体积减小，因此水面会下降。
若B为密度比木块小的塑料块，将B取出放入水中后，塑料块也处于漂浮状态，满足$F_{\mathrm{浮}B}'=G_B$，此时总浮力：
$F_{\mathrm{浮3}} = F_{\mathrm{浮}A} + F_{\mathrm{浮}B}' = G_A + G_B = F_{\mathrm{浮1}}$
对应总排开水的体积：
$V_{\mathrm{排3}} = \frac{F_{\mathrm{浮3}}}{\rho_{\mathrm{水}}g} = \frac{G_A + G_B}{\rho_{\mathrm{水}}g} = V_{\mathrm{排1}}$
总排开水的体积不变，因此水面会不变。