知识梳理
1. 把一个化为几个整式的的形式，叫做多项式的因式分解.
2. 多项式 $ ma + mb + mc $ 中的每一项都含有一个因式 $ m $，我们称之为公因式.
3. 确定公因式的一般步骤:①定系数(找各项的系数的);②定字母(找各项中的字母，且相同字母的指数取).

1. 多项式 积
2. 相同的
3. 最大公因数 相同 最低

例1 下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是().

A.$m^2 -4 +m=(m+2)(m-2)+m$
B.$m^2 -5 = m(m-\dfrac{5}{m})$
C.$n(a+b)=na+nb$
D.$x^2 +2x +1=(x+1)^2$
答案:D
【解析】$m^2 -4 +m=(m+2)(m-2)+m$,等式右边不是整式积的形式,故不是因式分解,故A选项错误;$m^2 -5 = m(m-\dfrac{5}{m})$,等式右边不是整式积的形式,故不是因式分解,故B选项错误;$n(a+b)=na+nb$,是整式的乘法,不是因式分解,故C选项错误;$x^2 +2x +1=(x+1)^2$,等式右边是整式积的形式,是因式分解,故D选项正确.

D

根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断：A选项等式右边是多项式与单项式的和，不是整式积的形式，不属于因式分解；B选项等式右边的$m-\frac{5}{m}$是分式，不满足全为整式的要求，不属于因式分解；C选项是整式乘法的展开运算，是从整式积到多项式的变形，不属于因式分解；D选项将多项式$x^2+2x+1$化为整式$(x+1)$的平方，属于整式积的形式，是因式分解。

例2 把下列多项式分解因式:
(1) $6a^2m - 3am$.
(2) $m(a-2)+n(2-a)$.
(3) $(x-1)^2 + 3(x-1)$.
答案:(1) $6a^2m - 3am = 3am(2a - 1)$.
(2) $m(a-2)+n(2-a)=m(a-2)-n(a-2)=(a-2)(m-n)$.
(3) $(x-1)^2 + 3(x-1)=(x-1)(x-1+3)=(x-1)(x+2)$.
方法点拨 本题考查因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

解：
(1) 原式$=3am· 2a - 3am· 1$
$=3am(2a-1)$
(2) 原式$=m(a-2) - n(a-2)$
$=(a-2)(m-n)$
(3) 原式$=(x-1)·(x-1) + 3(x-1)$
$=(x-1)(x-1+3)$
$=(x-1)(x+2)$