1.已知反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，当$x＞3$时，$y$的取值范围是 （）

A.$y＞-1$
B.$y＜1$
C.$-1＜y＜0$
D.$0＜y＜1$

1.C

【分析】
解决这道题需按三步思考：第一步，先根据反比例函数的k值判断图象所在象限和同一象限内的增减性；第二步，计算边界值x=3对应的y值；第三步，结合x＞3的范围确定对应图象所在象限，明确y的符号，再结合增减性推导y的取值范围，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中比例系数$k=-3＜0$，
∴ 该函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
当$x=3$时，代入函数得$y=-\dfrac{3}{3}=-1$。
∵ $x＞3＞0$，此时对应的函数图象在第四象限，因此$y＜0$，
又
∵ 第四象限内y随x的增大而增大，
∴ 当$x＞3$时，$y＞-1$，
综合可得y的取值范围是$-1＜y＜0$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础应用类题目，解题核心是先确定函数对应取值范围所在的象限，再结合增减性推导范围，要注意不要忽略y的符号限制，避免误选仅满足y＞-1的选项。
【难度系数】
0.7

2.(2025·苏州姑苏区期中)若$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(6,y_3)$三点都在反比例函数$y=\frac{-3}{x}$的图象上，其中$x_1＜x_2＜0$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（）

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1=y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$

2.D

【分析】
解决这类反比例函数的函数值比较问题，可按以下思路思考：①先根据反比例函数的解析式判断比例系数k的正负，确定函数图象所在的象限以及增减性；②再根据各点横坐标的正负，判断三点分别位于哪个象限，不同象限的点可先通过函数值的正负性初步比较大小；③最后对同一象限内的点，结合函数的增减性比较对应函数值的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{-3}{x}$，其中比例系数$k=-3＜0$，
∴该函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$位于第二象限，可得$y_1＞0$，$y_2＞0$，
又
∵$x_1＜x_2$，结合第二象限内的增减性，得$y_1＜y_2$。
∵点$C(6,y_3)$的横坐标$6＞0$，
∴点$C$位于第四象限，可得$y_3＜0$。
综上，$y_3＜0＜y_1＜y_2$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是明确不同象限内点的函数值的正负差异，以及同一象限内函数的增减性规律，切忌直接跨象限利用增减性比较函数值大小。
【难度系数】
0.8

3. 已知点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$的图象上，且$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围为。

3.$m＜1$

【分析】
首先观察点A、B的横坐标，1和2均为正数，说明两点位于反比例函数图象的同一象限内。接下来结合已知条件1＜2且$y_1＜y_2$，可判断该反比例函数在对应象限内y随x的增大而增大，根据反比例函数的增减性规律，可知其比例系数小于0，据此列出关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$的横坐标$1＞0$，$2＞0$，
∴A、B两点在反比例函数图象的同一分支上，
又
∵$1＜2$，且$y_1＜y_2$，
∴在该分支上，y随x的增大而增大，
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），当$k＜0$时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴本题中比例系数$k=m-1＜0$，
解得$m＜1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
反比例函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先判断两点是否在同一象限，再结合函数值的大小关系推导比例系数的符号，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【难度系数】
0.7

4.若直线$y=k_1x$与双曲线$y=\frac{k_2}{x}$相交于A，B两点，且$A(\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$，则$k_1 + k_2 =$.

4.$-8$

【分析】
本题的解题核心是“函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式”。已知点A是直线和双曲线的公共点，因此点A的坐标同时满足两个函数的表达式，我们可以先将点A的坐标分别代入两个函数式，求出$k_1$和$k_2$的值，再计算二者的和即可。
【解析】
∵ 点$A(\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$在直线$y=k_1x$上
∴ 将$x=\sqrt{3}$，$y=-2\sqrt{3}$代入$y=k_1x$，得：
$-2\sqrt{3} = k_1 · \sqrt{3}$
解得 $k_1 = -2$
又
∵ 点$A(\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$在双曲线$y=\frac{k_2}{x}$上
∴ 将$x=\sqrt{3}$，$y=-2\sqrt{3}$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得：
$-2\sqrt{3} = \frac{k_2}{\sqrt{3}}$
解得 $k_2 = -2\sqrt{3} × \sqrt{3} = -6$
∴ $k_1 + k_2 = -2 + (-6) = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系，代入计算时注意二次根式的运算规则即可得分。
【难度系数】
0.8

5. 教材变式题 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(2,-3)$。
(1)求$k$的值；
(2)函数的图象在哪几个象限？$y$随$x$的增大怎样变化？
(3)画出函数的图象；
(4)点$B(\frac{1}{2},-12),C(-2,4)$在这个函数的图象上吗？

5.解:(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(2,-3)$，
∴$k=-3×2=-6$.
(2)由(1)知$k=-6＜0$,
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
(3)函数的图象如答图.
(4)点 B 在这个函数的图象上，点 C 不在这个函数的图象上.

【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点A的横、纵坐标代入反比例函数表达式$y=\frac{k}{x}$，即可求解k的值。
(2) 反比例函数的图象象限分布、增减性均由k的符号决定：当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，结合(1)中求得的k的符号即可作答。
(3) 画反比例函数图象采用描点法：先列表选取x的正负取值，计算对应的y值，再依次描点、用平滑曲线连接即可，注意图象有两个独立分支，不与坐标轴相交。
(4) 判断点是否在函数图象上，只需验证点的横、纵坐标的乘积是否等于k，或把横坐标代入解析式计算的纵坐标是否和点的纵坐标一致，相等则点在图象上，反之不在。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(2,-3)$
∴将$x=2$，$y=-3$代入解析式得：$-3=\frac{k}{2}$
解得$k=2×(-3)=-6$
(2) 由(1)得$k=-6＜0$
∴该反比例函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。
(3) 采用描点法绘制图象：先列表选取对称的正负x值，计算对应y值，再描点后用平滑曲线连接各点得到两个分支，即为函数图象。
(4) 验证点B：$\frac{1}{2}×(-12)=-6=k$，符合反比例函数解析式特征，故点B在函数图象上；
验证点C：$-2×4=-8≠-6$，不符合反比例函数解析式特征，故点C不在函数图象上。
【答案】
(1)$k=-6$；
(2)函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；
(3)函数的图象如答图；
(4)点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上。
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的图象与性质，反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，全面考查了反比例函数的相关基础知识点，掌握反比例函数中k的意义和相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8

6.已知点$A(-2,y_1),B(-1,y_2),C(3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 （）

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$

6.C

【分析】
要比较三个点的纵坐标大小，首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象与性质：$k＜0$时，图象分布在第二、四象限，第二象限内的点纵坐标为正，第四象限内的点纵坐标为负，且同一象限内$y$随$x$的增大而增大。第一步先判断三个点所在的象限，确定$y_3$为负数最小；第二步再比较第二象限内两个点的横坐标，结合增减性判断$y_1$和$y_2$的大小，最终得到三个值的大小关系。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标为负，两点均在第二象限，
∴$y_1＞0$，$y_2＞0$，
又
∵$-2＜-1$，根据同一象限内$y$随$x$增大而增大，可得$y_1＜y_2$。
∵点$C(3,y_3)$的横坐标为正，点$C$在第四象限，
∴$y_3＜0$。
综上可得：$y_3＜y_1＜y_2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先明确各点所在的象限，再结合函数增减性比较大小，注意反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，不能直接跨象限比较大小，避免出错。
【难度系数】
0.7

7.(2025·苏州姑苏区一模)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象和点A如图所示，点A的坐标为(-2,-1)，则k的值可能为（）

A.－3
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$π$

7.D

【分析】
解题时先结合反比例函数图象所在象限判断k的符号，排除错误选项；再根据x=-2时函数图象在点A下方，得到对应y值的范围，代入解析式列不等式求解k的取值范围；最后估算各无理数的大小，选出符合范围的选项即可。
【解析】
1. 首先判断k的符号：由图可知反比例函数图象在第三象限（x＜0时y＜0），因此$k=xy＞0$，可直接排除负数选项A（-3）。
2. 列不等式求k的范围：当x=-2时，观察图象可得函数对应的y值小于点A的纵坐标-1，即$y ＜ -1$。
将x=-2代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{-2}$，因此有：
$\frac{k}{-2} ＜ -1$
不等式两边同时乘-2，不等号方向改变，解得$k ＞ 2$。
3. 估算选项数值判断：
选项B：$\sqrt{2}\approx1.414 ＜ 2$，不符合；
选项C：$\sqrt{3}\approx1.732 ＜ 2$，不符合；
选项D：$π\approx3.14 ＞ 2$，符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，无理数的估算
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是从图象中提取x=-2时函数值的取值范围，再结合反比例函数解析式和无理数估算得到结果，属于基础中等类考题。
【难度系数】
0.7