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12.某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据：
(1)根据上表数据，求出其对应函数的表达式及a的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)如果P(4,1)是该函数图象在第一象限上的一点，过点P作x轴的平行线PQ，将PQ上方的函数图象沿着直线PQ翻折，求翻折后的函数图象与x轴的交点坐标。
(1)根据上表数据，求出其对应函数的表达式及a的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)如果P(4,1)是该函数图象在第一象限上的一点，过点P作x轴的平行线PQ，将PQ上方的函数图象沿着直线PQ翻折，求翻折后的函数图象与x轴的交点坐标。
答案
12.解:(1)$\because (-2)×(-2)=4,(-1)×(-4)=4,1×4=4,2×2=4$，
$\therefore$该函数是反比例函数,其表达式为$y=\frac{4}{x}$，
当$x=3$时,$a=\frac{4}{3}$。
画出该函数的图象如答图。
(2)如答图,由题意可知,翻折后的图象与x轴的交点坐标为(2,0)。
解析
【分析】
(1) 观察给出的坐标点，可发现每组x、y的乘积为定值，符合反比例函数的特征，因此先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入点坐标求出k值即可得到函数表达式，再将x=3代入表达式即可求出a的值，最后通过描点、连线画出函数图象即可。
(2) 首先确定翻折的对称轴为直线$y=1$，翻折属于轴对称变换，翻折后图象上的点与原函数图象上的对应点关于$y=1$对称，即两点横坐标相同，纵坐标的平均值为1。要找翻折后图象与x轴（纵坐标为0）的交点，可先求出原函数上纵坐标为$1+(1-0)=2$的点的坐标，再求该点关于$y=1$的对称点，即为所求交点。
【解析】
(1) 观察给出的点：$(-2)×(-2)=4$，$(-1)×(-4)=4$，$1×4=4$，$2×2=4$，可知x与y的乘积为定值4，因此该函数为反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，则$k=4$，即函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
当$x=3$时，$a=\frac{4}{3}$。
函数图象绘制：在坐标系中描出已知点，用平滑曲线连接，画出位于第一、三象限的双曲线即可。
(2) 由题意可知PQ为过点$P(4,1)$且平行于x轴的直线，即翻折的对称轴为直线$y=1$。
设翻折后图象与x轴的交点为$(x,0)$，该点对应原反比例函数图象上的点为$(x,m)$，根据轴对称的性质，两点纵坐标的中点在对称轴上，即$\frac{0+m}{2}=1$，解得$m=2$。
将$y=2$代入$y=\frac{4}{x}$，得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，即原对应点为$(2,2)$，其关于直线$y=1$的对称点为$(2,0)$，即为翻折后函数图象与x轴的交点坐标。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，$a=\boldsymbol{\frac{4}{3}}$，画出该函数的图象如答图。
(2) 翻折后的函数图象与x轴的交点坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的图象，轴对称的性质
【点评】
本题综合考查反比例函数的基础性质与图形翻折的应用，既考查了学生对反比例函数特征的掌握，也要求学生能灵活运用轴对称的性质解决坐标变换问题，注重对数形结合思维的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 观察给出的坐标点，可发现每组x、y的乘积为定值，符合反比例函数的特征，因此先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入点坐标求出k值即可得到函数表达式，再将x=3代入表达式即可求出a的值，最后通过描点、连线画出函数图象即可。
(2) 首先确定翻折的对称轴为直线$y=1$，翻折属于轴对称变换，翻折后图象上的点与原函数图象上的对应点关于$y=1$对称，即两点横坐标相同，纵坐标的平均值为1。要找翻折后图象与x轴（纵坐标为0）的交点，可先求出原函数上纵坐标为$1+(1-0)=2$的点的坐标，再求该点关于$y=1$的对称点，即为所求交点。
【解析】
(1) 观察给出的点：$(-2)×(-2)=4$，$(-1)×(-4)=4$，$1×4=4$，$2×2=4$，可知x与y的乘积为定值4，因此该函数为反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，则$k=4$，即函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
当$x=3$时，$a=\frac{4}{3}$。
函数图象绘制：在坐标系中描出已知点，用平滑曲线连接，画出位于第一、三象限的双曲线即可。
(2) 由题意可知PQ为过点$P(4,1)$且平行于x轴的直线，即翻折的对称轴为直线$y=1$。
设翻折后图象与x轴的交点为$(x,0)$，该点对应原反比例函数图象上的点为$(x,m)$，根据轴对称的性质，两点纵坐标的中点在对称轴上，即$\frac{0+m}{2}=1$，解得$m=2$。
将$y=2$代入$y=\frac{4}{x}$，得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，即原对应点为$(2,2)$，其关于直线$y=1$的对称点为$(2,0)$，即为翻折后函数图象与x轴的交点坐标。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，$a=\boldsymbol{\frac{4}{3}}$，画出该函数的图象如答图。
(2) 翻折后的函数图象与x轴的交点坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的图象，轴对称的性质
【点评】
本题综合考查反比例函数的基础性质与图形翻折的应用，既考查了学生对反比例函数特征的掌握，也要求学生能灵活运用轴对称的性质解决坐标变换问题，注重对数形结合思维的考查。
【难度系数】
0.7
13.参照学习反比例函数$y=\frac{2}{x}$的过程与方法，探究函数$y=\frac{2}{x-2}(x≠2)$的图象与性质.
(1)$m=$
(2)请画出函数$y=\frac{2}{x-2}(x≠2)$的图象.
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①$y=\frac{2}{x-2}$的图象是由$y=\frac{2}{x}$的图象向
②图象关于点
(1)$m=$
$-\frac{4}{3}$
.(2)请画出函数$y=\frac{2}{x-2}(x≠2)$的图象.
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①$y=\frac{2}{x-2}$的图象是由$y=\frac{2}{x}$的图象向
右
平移2
个单位长度得到的；②图象关于点
$(2,0)$
(填点的坐标)中心对称.答案
13.(1)$-\frac{4}{3}$
(2)解:如答图所示。
(3)①右 2 ②$(2,0)$
解析
【分析】
1. 第(1)问求m的值，只需将m对应的x取值代入函数解析式$y=\frac{2}{x-2}$，通过计算即可得到结果。
2. 第(2)问画函数图像使用描点法：先在坐标系中描出已知的坐标点，再用平滑曲线分别顺次连接$x＜2$和$x＞2$的点即可，注意函数定义域为$x≠2$，图像在$x=2$处断开，不能与直线$x=2$相交。
3. 第(3)问考查反比例函数平移规律和中心对称性质：①函数平移遵循“左加右减、上加下减”的规则，对比两个函数的解析式即可判断平移的方向和距离；②反比例函数$y=\frac{k}{x}$的对称中心为$(0,0)$，图像平移后对称中心也按照相同规律平移，即可得到新函数的对称中心坐标。
【解析】
(1) 将对应x值代入$y=\frac{2}{x-2}$，得$m=\frac{2}{\frac{1}{2}-2}=\frac{2}{-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}$。
(2) 采用描点法作图：先描出所有已知坐标点，再用平滑曲线分别连接$x＜2$、$x＞2$的各点，所得图像即为所求，如参考答案答图所示。
(3) ①对比$y=\frac{2}{x}$和$y=\frac{2}{x-2}$的解析式，x替换为$x-2$，根据“左加右减”的平移规律，可知图像向右平移2个单位长度。
②原函数$y=\frac{2}{x}$的对称中心为$(0,0)$，向右平移2个单位后，对称中心横坐标加2、纵坐标不变，故新函数图像的对称中心为$(2,0)$。
【答案】
(1)$-\frac{4}{3}$
(2)解:如答图所示。
(3)①右 2 ②$(2,0)$
【知识点】
反比例函数的性质，函数图像平移，描点法画函数图像
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，重点考查对函数平移规律的掌握，以及对反比例函数中心对称特点的理解，要求能熟练运用描点法绘制指定函数的图像。
【难度系数】
0.75
1. 第(1)问求m的值，只需将m对应的x取值代入函数解析式$y=\frac{2}{x-2}$，通过计算即可得到结果。
2. 第(2)问画函数图像使用描点法：先在坐标系中描出已知的坐标点，再用平滑曲线分别顺次连接$x＜2$和$x＞2$的点即可，注意函数定义域为$x≠2$，图像在$x=2$处断开，不能与直线$x=2$相交。
3. 第(3)问考查反比例函数平移规律和中心对称性质：①函数平移遵循“左加右减、上加下减”的规则，对比两个函数的解析式即可判断平移的方向和距离；②反比例函数$y=\frac{k}{x}$的对称中心为$(0,0)$，图像平移后对称中心也按照相同规律平移，即可得到新函数的对称中心坐标。
【解析】
(1) 将对应x值代入$y=\frac{2}{x-2}$，得$m=\frac{2}{\frac{1}{2}-2}=\frac{2}{-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}$。
(2) 采用描点法作图：先描出所有已知坐标点，再用平滑曲线分别连接$x＜2$、$x＞2$的各点，所得图像即为所求，如参考答案答图所示。
(3) ①对比$y=\frac{2}{x}$和$y=\frac{2}{x-2}$的解析式，x替换为$x-2$，根据“左加右减”的平移规律，可知图像向右平移2个单位长度。
②原函数$y=\frac{2}{x}$的对称中心为$(0,0)$，向右平移2个单位后，对称中心横坐标加2、纵坐标不变，故新函数图像的对称中心为$(2,0)$。
【答案】
(1)$-\frac{4}{3}$
(2)解:如答图所示。
(3)①右 2 ②$(2,0)$
【知识点】
反比例函数的性质，函数图像平移，描点法画函数图像
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，重点考查对函数平移规律的掌握，以及对反比例函数中心对称特点的理解，要求能熟练运用描点法绘制指定函数的图像。
【难度系数】
0.75
