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8.已知点$A(-2,y_1)$和点$B(m,y_2)$均在反比例函数$y=-\frac{5}{x}$的图象上.若$0＜m＜1$,则$y_1+y_2$
＜
0.(填“＞”“=”或“＜”)答案
8.＜
解析
【分析】
解题思路如下：①先将点A的横坐标代入反比例函数表达式，求出y₁的具体值，判断其正负；②根据点B横坐标的取值范围，结合反比例函数的性质，求出y₂的取值范围；③最后计算y₁+y₂的取值范围，判断其与0的大小关系。
【解析】
解：将点A(-2,y₁)代入反比例函数$y=-\frac{5}{x}$，得：
$y_1=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}$
已知$0＜m＜1$，点B的横坐标为正，代入函数得$y_2=-\frac{5}{m}$，
因为$0＜m＜1$，所以$\frac{1}{m}＞1$，两边同乘$-5$（不等号方向改变），得$-\frac{5}{m}＜-5$，即$y_2＜-5$。
因此$y_1+y_2＜\frac{5}{2}-5=-\frac{5}{2}＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先确定点所在象限，再结合自变量的范围求出对应函数值的范围，进而判断两个函数值和的符号，是反比例函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①先将点A的横坐标代入反比例函数表达式，求出y₁的具体值，判断其正负；②根据点B横坐标的取值范围，结合反比例函数的性质，求出y₂的取值范围；③最后计算y₁+y₂的取值范围，判断其与0的大小关系。
【解析】
解：将点A(-2,y₁)代入反比例函数$y=-\frac{5}{x}$，得：
$y_1=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}$
已知$0＜m＜1$，点B的横坐标为正，代入函数得$y_2=-\frac{5}{m}$，
因为$0＜m＜1$，所以$\frac{1}{m}＞1$，两边同乘$-5$（不等号方向改变），得$-\frac{5}{m}＜-5$，即$y_2＜-5$。
因此$y_1+y_2＜\frac{5}{2}-5=-\frac{5}{2}＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先确定点所在象限，再结合自变量的范围求出对应函数值的范围，进而判断两个函数值和的符号，是反比例函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
9.(常州金坛区期末)函数$y_1=|x|$与函数$y_2=\frac{1}{|x|}$的部分图象如图所示，有以下结论：①当$x＜0$时，$y_1,y_2$都随$x$的增大而增大；②当$x＜-1$时，$y_1＞y_2$；③$y_1$与$y_2$的图象的两个交点之间的距离是2；④函数$y=y_1+y_2$的最小值是2.其中所有正确结论的序号是
②③④
。答案
9.②③④
解析
【分析】
两个函数$y_1=|x|$和$y_2=\frac{1}{|x|}$均为关于y轴对称的偶函数，可先分析$x＞0$时的函数性质，再通过对称性推导$x＜0$的性质，接下来逐个验证4个结论：①判断$x＜0$时两个函数的增减性；②比较$x＜-1$时$y_1$和$y_2$的大小；③先求两函数交点坐标，再计算交点间距；④通过代数变形求$y=y_1+y_2$的最小值。
【解析】
我们对每个结论逐一分析：
1. 分析结论①：当$x＜0$时，$y_1=|x|=-x$，y随x的增大而减小；$y_2=\frac{1}{|x|}=-\frac{1}{x}$，y也随x的增大而减小，因此①错误。
2. 分析结论②：当$x＜-1$时，$|x|＞1$，此时$|x|＞\frac{1}{|x|}$，即$y_1＞y_2$，也可代入特殊值$x=-2$验证：$y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$，确实满足$y_1＞y_2$，因此②正确。
3. 分析结论③：令$|x|=\frac{1}{|x|}$，解得$|x|=1$，即$x=\pm1$，两交点坐标为$(1,1)$和$(-1,1)$，两点之间的距离为$1-(-1)=2$，因此③正确。
4. 分析结论④：$y=y_1+y_2=|x|+\frac{1}{|x|}$，由完全平方公式变形得：$|x|+\frac{1}{|x|}=(\sqrt{|x|}-\frac{1}{\sqrt{|x|}})^2+2$，因为平方数非负，所以$(\sqrt{|x|}-\frac{1}{\sqrt{|x|}})^2≥0$，因此$y≥2$，当$|x|=1$时取等号，即函数最小值为2，因此④正确。
综上，正确结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的性质，函数最值计算
【点评】
本题综合考查了分段一次函数与反比例函数的图象性质，利用函数的对称性可简化分析过程，解题时可结合特殊值法、代数变形法验证结论，既能提高解题效率，也能降低出错概率。
【难度系数】
0.7
两个函数$y_1=|x|$和$y_2=\frac{1}{|x|}$均为关于y轴对称的偶函数，可先分析$x＞0$时的函数性质，再通过对称性推导$x＜0$的性质，接下来逐个验证4个结论：①判断$x＜0$时两个函数的增减性；②比较$x＜-1$时$y_1$和$y_2$的大小；③先求两函数交点坐标，再计算交点间距；④通过代数变形求$y=y_1+y_2$的最小值。
【解析】
我们对每个结论逐一分析：
1. 分析结论①：当$x＜0$时，$y_1=|x|=-x$，y随x的增大而减小；$y_2=\frac{1}{|x|}=-\frac{1}{x}$，y也随x的增大而减小，因此①错误。
2. 分析结论②：当$x＜-1$时，$|x|＞1$，此时$|x|＞\frac{1}{|x|}$，即$y_1＞y_2$，也可代入特殊值$x=-2$验证：$y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$，确实满足$y_1＞y_2$，因此②正确。
3. 分析结论③：令$|x|=\frac{1}{|x|}$，解得$|x|=1$，即$x=\pm1$，两交点坐标为$(1,1)$和$(-1,1)$，两点之间的距离为$1-(-1)=2$，因此③正确。
4. 分析结论④：$y=y_1+y_2=|x|+\frac{1}{|x|}$，由完全平方公式变形得：$|x|+\frac{1}{|x|}=(\sqrt{|x|}-\frac{1}{\sqrt{|x|}})^2+2$，因为平方数非负，所以$(\sqrt{|x|}-\frac{1}{\sqrt{|x|}})^2≥0$，因此$y≥2$，当$|x|=1$时取等号，即函数最小值为2，因此④正确。
综上，正确结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的性质，函数最值计算
【点评】
本题综合考查了分段一次函数与反比例函数的图象性质，利用函数的对称性可简化分析过程，解题时可结合特殊值法、代数变形法验证结论，既能提高解题效率，也能降低出错概率。
【难度系数】
0.7
10. 如图,一次函数$y=x+m$的图象与$x$轴交于点$A(-3,0)$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k$为常数,$k≠0$)的图象在第一象限的部分交于点$B(n,4)$.
(1)求$m,n,k$的值;
(2)若$C$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限部分上的点,且$△ AOC$的面积小于$△ AOB$的面积,直接写出点$C$的横坐标$a$的取值范围.
(1)求$m,n,k$的值;
(2)若$C$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限部分上的点,且$△ AOC$的面积小于$△ AOB$的面积,直接写出点$C$的横坐标$a$的取值范围.
答案
10.解:(1)把$(-3,0)$代入$y=x+m$,得$0=-3+m$,
解得$m=3$,
∴一次函数的表达式为$y=x+3$.
把$B(n,4)$代入$y=x+3$,得$4=n+3$,解得$n=1$,
∴$B(1,4)$.
把$B(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$4=\frac{k}{1}$,解得$k=4$.
(2)$a$的取值范围是$a＞1$.
解得$m=3$,
∴一次函数的表达式为$y=x+3$.
把$B(n,4)$代入$y=x+3$,得$4=n+3$,解得$n=1$,
∴$B(1,4)$.
把$B(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$4=\frac{k}{1}$,解得$k=4$.
(2)$a$的取值范围是$a＞1$.
解析
【分析】
(1)求m、n、k的值可采用待定系数法：首先将点A的坐标代入一次函数解析式即可求出m的值，得到完整的一次函数表达式；再将点B的坐标代入一次函数表达式，即可求出n的值，得到点B的完整坐标；最后将点B坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
(2)先计算出△AOB的面积，再结合反比例函数解析式表示出点C的纵坐标，根据△AOC的面积小于△AOB的面积列出不等式，结合点C在第一象限的条件求解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
(1)将点$A(-3,0)$代入一次函数$y=x+m$，得：
$0=-3+m$，解得$m=3$，
∴一次函数的表达式为$y=x+3$。
将点$B(n,4)$代入$y=x+3$，得：
$4=n+3$，解得$n=1$，
∴点B的坐标为$(1,4)$。
将$B(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$。
(2)首先计算$△ AOB$的面积：
已知$OA=|-3|=3$，点B的纵坐标为4，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×y_B=\frac{1}{2}×3×4=6$。
∵点C在第一象限的反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，横坐标为a，
∴点C的纵坐标为$\frac{4}{a}$，且$a＞0$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×OA×y_C=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{a}=\frac{6}{a}$。
根据题意$S_{△ AOC}＜S_{△ AOB}$，即$\frac{6}{a}＜6$，
∵$a＞0$，不等式两边同时乘a得$6＜6a$，解得$a＞1$。
【答案】
(1)$m=3$，$n=1$，$k=4$；
(2)$a＞1$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数图象上点的坐标满足对应函数解析式的特点，结合三角形面积公式列不等式求解时，要注意第一象限内点的横坐标为正的隐含条件，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
(1)求m、n、k的值可采用待定系数法：首先将点A的坐标代入一次函数解析式即可求出m的值，得到完整的一次函数表达式；再将点B的坐标代入一次函数表达式，即可求出n的值，得到点B的完整坐标；最后将点B坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
(2)先计算出△AOB的面积，再结合反比例函数解析式表示出点C的纵坐标，根据△AOC的面积小于△AOB的面积列出不等式，结合点C在第一象限的条件求解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
(1)将点$A(-3,0)$代入一次函数$y=x+m$，得：
$0=-3+m$，解得$m=3$，
∴一次函数的表达式为$y=x+3$。
将点$B(n,4)$代入$y=x+3$，得：
$4=n+3$，解得$n=1$，
∴点B的坐标为$(1,4)$。
将$B(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$。
(2)首先计算$△ AOB$的面积：
已知$OA=|-3|=3$，点B的纵坐标为4，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×y_B=\frac{1}{2}×3×4=6$。
∵点C在第一象限的反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，横坐标为a，
∴点C的纵坐标为$\frac{4}{a}$，且$a＞0$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×OA×y_C=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{a}=\frac{6}{a}$。
根据题意$S_{△ AOC}＜S_{△ AOB}$，即$\frac{6}{a}＜6$，
∵$a＞0$，不等式两边同时乘a得$6＜6a$，解得$a＞1$。
【答案】
(1)$m=3$，$n=1$，$k=4$；
(2)$a＞1$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数图象上点的坐标满足对应函数解析式的特点，结合三角形面积公式列不等式求解时，要注意第一象限内点的横坐标为正的隐含条件，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
11.如图，直线$y=kx$与双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$交于A，B两点，已知点A的坐标为$(a,2)$。
(1)求$a,k$的值；
(2)将直线$y=kx$向上平移$m(m＞0)$个单位长度，与双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$在第二象限交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P。若$PE=PC$，求$m$的值。
(1)求$a,k$的值；
(2)将直线$y=kx$向上平移$m(m＞0)$个单位长度，与双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$在第二象限交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P。若$PE=PC$，求$m$的值。
答案
11.解:(1)
∵双曲线$y=-\frac{4}{x}$过点$(a,2)$,
∴$2a=-4$,解得$a=-2$.
又
∵直线$y=kx$过点$(-2,2)$,
∴$-2k=2$,解得$k=-1$.
(2)
∵将直线$y=-x$向上平移$m(m＞0)$个单位长度后对应的函数表达式为$y=-x+m$,
∴$P(0,m)$,$E(m,0)$,
从而$OP=OE=m$.
如答图
,过点$C$作$CF⊥y$轴于点$F$,则$∠CFP=∠EOP=90°$.
∵$∠CPF=∠EPO$,$PE=PC$,
∴$△PFC≌△POE(AAS)$,
∴$PO=PF=m$,$CF=OE=m$,
∴$C(-m,2m)$.
∵双曲线$y=-\frac{4}{x}$过点$C(-m,2m)$,
∴$-2m^2=-4$,解得$m=±\sqrt{2}$(负值舍去),
∴$m$的值为$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 求解a、k的值可利用“函数图象上的点坐标满足对应函数解析式”这一性质：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出a，再把得到的A点坐标代入正比例函数解析式即可求出k。
(2) 首先根据一次函数“上加下减”的平移规律写出平移后的直线解析式，求出P、E两点的坐标；结合PE=PC的条件，通过作CF垂直y轴构造全等三角形，利用全等性质推导得到点C的坐标；最后将点C坐标代入反比例函数解析式，结合m＞0的条件求解即可得到m的值。
【解析】
(1)
∵双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$过点$(a,2)$，
∴$2=-\dfrac{4}{a}$，即$2a=-4$，解得$a=-2$，
∴点A的坐标为$(-2,2)$。
又
∵直线$y=kx$过点$(-2,2)$，
∴代入得$2=-2k$，解得$k=-1$。
(2)
将直线$y=-x$向上平移$m(m＞0)$个单位长度，根据平移规律可得新的函数表达式为$y=-x+m$。
令$x=0$，得$y=m$，
∴$P(0,m)$；令$y=0$，得$x=m$，
∴$E(m,0)$，即$OP=OE=m$。
如答图，过点$C$作$CF⊥y$轴于点$F$，则$∠CFP=∠EOP=90°$。
在$△PFC$和$△POE$中：
$\begin{cases}∠CFP=∠EOP \\∠CPF=∠EPO \\PC=PE\end{cases}$
∴$△PFC≌△POE(AAS)$，
∴$PF=PO=m$，$CF=OE=m$，
∴点C的横坐标为$-m$，纵坐标为$m+m=2m$，即$C(-m,2m)$。
∵点C在双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$上，代入得$2m=-\dfrac{4}{-m}$，即$2m^2=4$，
解得$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$，
∵$m＞0$，
∴舍去$m=-\sqrt{2}$，故$m=\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$a=-2$，$k=-1$；(2)$m=\sqrt{2}$
【知识点】
1.反比例函数的坐标特征
2.一次函数平移规律
3.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于反比例函数与一次函数的综合基础题，考查的都是核心知识点，解题的关键是熟练掌握函数图象和点坐标的对应关系，合理构造辅助线推导未知点坐标。
【难度系数】
0.7
(1) 求解a、k的值可利用“函数图象上的点坐标满足对应函数解析式”这一性质：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出a，再把得到的A点坐标代入正比例函数解析式即可求出k。
(2) 首先根据一次函数“上加下减”的平移规律写出平移后的直线解析式，求出P、E两点的坐标；结合PE=PC的条件，通过作CF垂直y轴构造全等三角形，利用全等性质推导得到点C的坐标；最后将点C坐标代入反比例函数解析式，结合m＞0的条件求解即可得到m的值。
【解析】
(1)
∵双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$过点$(a,2)$，
∴$2=-\dfrac{4}{a}$，即$2a=-4$，解得$a=-2$，
∴点A的坐标为$(-2,2)$。
又
∵直线$y=kx$过点$(-2,2)$，
∴代入得$2=-2k$，解得$k=-1$。
(2)
将直线$y=-x$向上平移$m(m＞0)$个单位长度，根据平移规律可得新的函数表达式为$y=-x+m$。
令$x=0$，得$y=m$，
∴$P(0,m)$；令$y=0$，得$x=m$，
∴$E(m,0)$，即$OP=OE=m$。
如答图
，过点$C$作$CF⊥y$轴于点$F$，则$∠CFP=∠EOP=90°$。在$△PFC$和$△POE$中：
$\begin{cases}∠CFP=∠EOP \\∠CPF=∠EPO \\PC=PE\end{cases}$
∴$△PFC≌△POE(AAS)$，
∴$PF=PO=m$，$CF=OE=m$，
∴点C的横坐标为$-m$，纵坐标为$m+m=2m$，即$C(-m,2m)$。
∵点C在双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$上，代入得$2m=-\dfrac{4}{-m}$，即$2m^2=4$，
解得$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$，
∵$m＞0$，
∴舍去$m=-\sqrt{2}$，故$m=\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$a=-2$，$k=-1$；(2)$m=\sqrt{2}$
【知识点】
1.反比例函数的坐标特征
2.一次函数平移规律
3.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于反比例函数与一次函数的综合基础题，考查的都是核心知识点，解题的关键是熟练掌握函数图象和点坐标的对应关系，合理构造辅助线推导未知点坐标。
【难度系数】
0.7
