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1.(2025·上海)某学校组织了一场体育测试,现抽出60个人的体育考试分数,并对此进行统计,如图所示.关于这60人的分数,下列说法正确的是 (
A.中位数是12
B.中位数是75
C.众数是21
D.众数是85
D
)A.中位数是12
B.中位数是75
C.众数是21
D.众数是85
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先明确中位数和众数的核心定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将数据按大小排序后，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，为奇数时取中间位置的数。接下来先从条形统计图中提取各分数对应的人数，再分别计算众数和中位数，逐一比对选项判断正误即可，注意不要把人数（频数）和分数（数据本身）混淆。
【解析】
首先提取各分数段人数：75分有5人，80分有12人，85分有21人，剩余90分、95分的总人数为$60-5-12-21=22$人，由统计图可知90、95分人数相等，各为11人。
1. 判断众数：85分对应的人数21是所有分数里人数最多的，因此众数为85，选项C将人数当作数据本身，错误，选项D正确。
2. 判断中位数：共60个数据，排序后中位数为第30、31个数据的平均数。累计人数：75分共5人，75分+80分共$5+12=17$人，75分+80分+85分共$17+21=38$人，说明第30、31个数据均为85分，因此中位数为$\frac{85+85}{2}=85$，选项A、B均错误。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
众数；中位数；条形统计图
【点评】
本题易错点是混淆条形统计图的频数（人数）和数据（分数），掌握中位数、众数的定义，正确从统计图中提取信息即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确中位数和众数的核心定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将数据按大小排序后，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，为奇数时取中间位置的数。接下来先从条形统计图中提取各分数对应的人数，再分别计算众数和中位数，逐一比对选项判断正误即可，注意不要把人数（频数）和分数（数据本身）混淆。
【解析】
首先提取各分数段人数：75分有5人，80分有12人，85分有21人，剩余90分、95分的总人数为$60-5-12-21=22$人，由统计图可知90、95分人数相等，各为11人。
1. 判断众数：85分对应的人数21是所有分数里人数最多的，因此众数为85，选项C将人数当作数据本身，错误，选项D正确。
2. 判断中位数：共60个数据，排序后中位数为第30、31个数据的平均数。累计人数：75分共5人，75分+80分共$5+12=17$人，75分+80分+85分共$17+21=38$人，说明第30、31个数据均为85分，因此中位数为$\frac{85+85}{2}=85$，选项A、B均错误。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
众数；中位数；条形统计图
【点评】
本题易错点是混淆条形统计图的频数（人数）和数据（分数），掌握中位数、众数的定义，正确从统计图中提取信息即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
2.(2025·德阳)德阳市正积极推进城市轨道交通建设,假设已经规划的5条线路长度分别为28公里,30公里,30公里,26公里,32公里.若后续又新增一条线路,使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里,众数保持不变,那么新增线路长度可能是 (
A.25公里
B.28公里
C.29公里
D.30公里
A
)A.25公里
B.28公里
C.29公里
D.30公里
答案
2.A
解析
【分析】解题时先明确中位数和众数的定义，按以下思路推导：1. 先对原有5条线路的长度排序，确定原数据的众数；2. 新增1条后共6个数据，偶数个数据的中位数是排序后第3、第4个数据的平均数，结合中位数为29的要求，可推出第3、第4个数据的和为58；3. 结合“众数保持不变”的限定，逐一验证选项即可得到答案。
【解析】首先将原有5条线路长度从小到大排序：26公里，28公里，30公里，30公里，32公里，可得原数据的众数是30公里（出现次数最多，共2次）。
新增1条线路后共6个数据，此时中位数为排序后第3位和第4位数据的平均数，要求中位数为29公里，因此第3位数据+第4位数据=29×2=58公里，且要求众数仍为30公里（即30的出现次数不少于其他数的出现次数）。
逐一验证选项：
A. 新增25公里：排序后为25，26，28，30，30，32，中位数=(28+30)÷2=29公里，众数仍为30公里（仅出现2次，其余数均出现1次），符合要求；
B. 新增28公里：排序后为26，28，28，30，30，32，中位数=(28+30)÷2=29公里，但此时28和30均出现2次，众数变为两个，不符合“众数保持不变”的要求；
C. 新增29公里：排序后为26，28，29，30，30，32，中位数=(29+30)÷2=29.5公里≠29公里，不符合要求；
D. 新增30公里：排序后为26，28，30，30，30，32，中位数=(30+30)÷2=30公里≠29公里，不符合要求。
综上，只有A选项符合条件。
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【点评】本题主要考查中位数和众数的实际应用，易错点是容易忽略“众数保持不变”的限定，误选B选项，解题时需紧扣两个统计量的定义判断。
【难度系数】0.7
【解析】首先将原有5条线路长度从小到大排序：26公里，28公里，30公里，30公里，32公里，可得原数据的众数是30公里（出现次数最多，共2次）。
新增1条线路后共6个数据，此时中位数为排序后第3位和第4位数据的平均数，要求中位数为29公里，因此第3位数据+第4位数据=29×2=58公里，且要求众数仍为30公里（即30的出现次数不少于其他数的出现次数）。
逐一验证选项：
A. 新增25公里：排序后为25，26，28，30，30，32，中位数=(28+30)÷2=29公里，众数仍为30公里（仅出现2次，其余数均出现1次），符合要求；
B. 新增28公里：排序后为26，28，28，30，30，32，中位数=(28+30)÷2=29公里，但此时28和30均出现2次，众数变为两个，不符合“众数保持不变”的要求；
C. 新增29公里：排序后为26，28，29，30，30，32，中位数=(29+30)÷2=29.5公里≠29公里，不符合要求；
D. 新增30公里：排序后为26，28，30，30，30，32，中位数=(30+30)÷2=30公里≠29公里，不符合要求。
综上，只有A选项符合条件。
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【点评】本题主要考查中位数和众数的实际应用，易错点是容易忽略“众数保持不变”的限定，误选B选项，解题时需紧扣两个统计量的定义判断。
【难度系数】0.7
3.(2025·南京玄武区期末)已知一组数据1,3,5,12,a,其中整数a是这组数据中的中位数和众数,则该组数据的平均数是
4.8或5.2
.答案
3.4.8或5.2
解析
【分析】
解题时先明确中位数和众数的定义：5个数据的中位数是排序后第3个数据，众数是出现次数最多的数。结合a是整数且同时为中位数、众数的条件，先确定a的取值范围，再筛选出符合众数要求的a的取值，最后分别计算对应情况下的平均数即可。
【解析】
该组数据共有5个，将数据从小到大排序后，中位数为第3个数据。
已知整数a是这组数据的中位数，因此a的取值范围为$3≤ a≤5$，a的可能整数值为3、4、5，再结合众数定义筛选：
1. 当$a=3$时，数据排序为$1,3,3,5,12$，此时众数为3，中位数为3，符合条件，平均数为$\frac{1+3+3+5+12}{5}=\frac{24}{5}=4.8$；
2. 当$a=4$时，数据排序为$1,3,4,5,12$，所有数据仅出现1次，无众数，不符合条件，舍去；
3. 当$a=5$时，数据排序为$1,3,5,5,12$，此时众数为5，中位数为5，符合条件，平均数为$\frac{1+3+5+5+12}{5}=\frac{26}{5}=5.2$。
综上，该组数据的平均数为4.8或5.2。
【答案】
4.8或5.2
【知识点】
中位数的定义，众数的定义，平均数的计算
【点评】
本题考查统计基础概念的综合应用，解题时需要结合限制条件对a的取值分类讨论，注意排除不符合众数要求的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确中位数和众数的定义：5个数据的中位数是排序后第3个数据，众数是出现次数最多的数。结合a是整数且同时为中位数、众数的条件，先确定a的取值范围，再筛选出符合众数要求的a的取值，最后分别计算对应情况下的平均数即可。
【解析】
该组数据共有5个，将数据从小到大排序后，中位数为第3个数据。
已知整数a是这组数据的中位数，因此a的取值范围为$3≤ a≤5$，a的可能整数值为3、4、5，再结合众数定义筛选：
1. 当$a=3$时，数据排序为$1,3,3,5,12$，此时众数为3，中位数为3，符合条件，平均数为$\frac{1+3+3+5+12}{5}=\frac{24}{5}=4.8$；
2. 当$a=4$时，数据排序为$1,3,4,5,12$，所有数据仅出现1次，无众数，不符合条件，舍去；
3. 当$a=5$时，数据排序为$1,3,5,5,12$，此时众数为5，中位数为5，符合条件，平均数为$\frac{1+3+5+5+12}{5}=\frac{26}{5}=5.2$。
综上，该组数据的平均数为4.8或5.2。
【答案】
4.8或5.2
【知识点】
中位数的定义，众数的定义，平均数的计算
【点评】
本题考查统计基础概念的综合应用，解题时需要结合限制条件对a的取值分类讨论，注意排除不符合众数要求的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
4.(2025·宿迁宿城区一模)已知一组数据6,8,9,a,且这组数据的中位数恰好也是该组数据的众数,则a的值为
8
.答案
4.8
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确中位数和众数的定义：4个数据的中位数是排序后第2、3个数据的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数。已知现有数据6、8、9各出现1次，若存在众数，则a必然与其中一个数相等，我们只需分情况讨论a取不同值时，中位数是否与众数相等即可。
【解析】
我们对a的取值分类讨论：
1. 当a=6时，数据排序为6,6,8,9，众数为6，中位数为$\frac{6+8}{2}=7$，$6≠7$，不符合要求；
2. 当a=8时，数据排序为6,8,8,9，众数为8，中位数为$\frac{8+8}{2}=8$，$8=8$，符合要求；
3. 当a=9时，数据排序为6,8,9,9，众数为9，中位数为$\frac{8+9}{2}=8.5$，$9≠8.5$，不符合要求；
若a取其他值，四个数据均不重复，不存在众数，也不符合要求。
综上，a的值为8。
【答案】
8
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查中位数与众数的综合应用，解题关键是结合数据个数为偶数的特点，对未知数据的取值进行分类讨论，验证是否满足中位数等于众数的条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先明确中位数和众数的定义：4个数据的中位数是排序后第2、3个数据的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数。已知现有数据6、8、9各出现1次，若存在众数，则a必然与其中一个数相等，我们只需分情况讨论a取不同值时，中位数是否与众数相等即可。
【解析】
我们对a的取值分类讨论：
1. 当a=6时，数据排序为6,6,8,9，众数为6，中位数为$\frac{6+8}{2}=7$，$6≠7$，不符合要求；
2. 当a=8时，数据排序为6,8,8,9，众数为8，中位数为$\frac{8+8}{2}=8$，$8=8$，符合要求；
3. 当a=9时，数据排序为6,8,9,9，众数为9，中位数为$\frac{8+9}{2}=8.5$，$9≠8.5$，不符合要求；
若a取其他值，四个数据均不重复，不存在众数，也不符合要求。
综上，a的值为8。
【答案】
8
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查中位数与众数的综合应用，解题关键是结合数据个数为偶数的特点，对未知数据的取值进行分类讨论，验证是否满足中位数等于众数的条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
5.某车间有 20 名工人,一天他们生产的零件个数统计如下表.
(1)求这一天 20 名工人生产零件的平均个数；
(2)为了提高大多数工人的积极性,管理者准备实行“每天定额生产,超产有奖”的措施.如果你是管理者,从平均数、中位数、众数的角度进行分析,你将如何确定这个“定额”?
(1)求这一天 20 名工人生产零件的平均个数；
(2)为了提高大多数工人的积极性,管理者准备实行“每天定额生产,超产有奖”的措施.如果你是管理者,从平均数、中位数、众数的角度进行分析,你将如何确定这个“定额”?
答案
5.解:(1)$\overline{x}=\frac{1}{20}×(9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1)=13.$
答:这一天20名工人生产零件的平均个数为13.
(2)将这些数据从小到大排列,中间两个数都是12,因此中位数为$\frac{12+12}{2}=12.$
因为数据11出现6次,出现次数最多,所以这组数据的众数为11.
当定额为13个时,有8人达标,6人获奖,不利于提高大多数工人的积极性,
当定额为12个时,有12人达标,8人获奖,不利于提高大多数工人的积极性,
当定额为11个时,有18人达标,12人获奖,有利于提高大多数工人的积极性,
∴定额为11个时,有利于提高大多数工人的积极性.
答:这一天20名工人生产零件的平均个数为13.
(2)将这些数据从小到大排列,中间两个数都是12,因此中位数为$\frac{12+12}{2}=12.$
因为数据11出现6次,出现次数最多,所以这组数据的众数为11.
当定额为13个时,有8人达标,6人获奖,不利于提高大多数工人的积极性,
当定额为12个时,有12人达标,8人获奖,不利于提高大多数工人的积极性,
当定额为11个时,有18人达标,12人获奖,有利于提高大多数工人的积极性,
∴定额为11个时,有利于提高大多数工人的积极性.
解析
【分析】
(1) 求工人生产零件的平均个数属于加权平均数的计算问题，只需先算出所有工人生产零件的总个数，再除以总人数20即可得到结果。
(2) 要确定合理的定额，首先需要分别求出这组数据的中位数和众数，再结合已知的平均数，逐一分析将定额设为这三个统计量时，达标人数、获奖人数的占比，选择能让大多数工人达标、获奖的数值作为定额，才能调动大多数工人的积极性。
【解析】
(1) 根据加权平均数公式计算：
$\overline{x}=\frac{1}{20}×(9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1)=13$
(2) 计算中位数：将20名工人生产的零件个数从小到大排列，第10、11个数据均为12，因此中位数为$\frac{12+12}{2}=12$；
计算众数：数据11出现的次数最多，共6次，因此众数为11；
分别分析不同定额的效果：
定额为13个（平均数）时，仅有8人达标、6人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；
定额为12个（中位数）时，仅有12人达标、8人获奖，调动积极性的范围有限；
定额为11个（众数）时，有18人达标、12人获奖，大多数工人都能达标获奖，有利于提高大多数工人的积极性。
因此选择定额为11个最合适。
【答案】
(1) 这一天20名工人生产零件的平均个数为13；
(2) 应将生产定额确定为11个。
【知识点】
加权平均数；中位数；众数
【点评】
本题结合实际生产场景考查统计特征量的应用，既要求掌握三类特征量的计算方法，也要求理解不同统计量的实际意义，能够结合实际需求选择合适的统计量作为决策依据，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 求工人生产零件的平均个数属于加权平均数的计算问题，只需先算出所有工人生产零件的总个数，再除以总人数20即可得到结果。
(2) 要确定合理的定额，首先需要分别求出这组数据的中位数和众数，再结合已知的平均数，逐一分析将定额设为这三个统计量时，达标人数、获奖人数的占比，选择能让大多数工人达标、获奖的数值作为定额，才能调动大多数工人的积极性。
【解析】
(1) 根据加权平均数公式计算：
$\overline{x}=\frac{1}{20}×(9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1)=13$
(2) 计算中位数：将20名工人生产的零件个数从小到大排列，第10、11个数据均为12，因此中位数为$\frac{12+12}{2}=12$；
计算众数：数据11出现的次数最多，共6次，因此众数为11；
分别分析不同定额的效果：
定额为13个（平均数）时，仅有8人达标、6人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；
定额为12个（中位数）时，仅有12人达标、8人获奖，调动积极性的范围有限；
定额为11个（众数）时，有18人达标、12人获奖，大多数工人都能达标获奖，有利于提高大多数工人的积极性。
因此选择定额为11个最合适。
【答案】
(1) 这一天20名工人生产零件的平均个数为13；
(2) 应将生产定额确定为11个。
【知识点】
加权平均数；中位数；众数
【点评】
本题结合实际生产场景考查统计特征量的应用，既要求掌握三类特征量的计算方法，也要求理解不同统计量的实际意义，能够结合实际需求选择合适的统计量作为决策依据，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
6.(2025·宿迁泗洪县一模)一组数据2，-4，x，6，-8的众数为6，则这组数据的中位数为 (
A.2
B.-4
C.6
D.-8
A
)A.2
B.-4
C.6
D.-8
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先要明确众数和中位数的定义，第一步先根据众数的定义求出未知数据x的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，题中给出众数为6，说明6的出现次数最多，现有数据中6仅出现1次，其余数据也都仅出现1次，因此x必须为6才能满足6是众数。第二步求中位数，需要先将所有数据按从小到大的顺序排列，由于这组数据共有5个（奇数个），排列后最中间的数就是这组数据的中位数。
【解析】
第一步：根据众数的定义确定x的值
∵ 这组数据的众数为6，即6是该组数据中出现次数最多的数
现有数据2、-4、6、-8均只出现1次，因此x=6，此时6出现2次，是出现次数最多的数，符合要求。
第二步：求中位数
将这组数据按从小到大的顺序排列为：-8，-4，2，6，6
该组数据共5个，为奇数个，中位数是排序后第3个数据，即2。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查统计中众数和中位数的基础应用，解题的核心是先利用众数的性质确定未知参数的值，再按照中位数的计算规则排序查找即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确众数和中位数的定义，第一步先根据众数的定义求出未知数据x的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，题中给出众数为6，说明6的出现次数最多，现有数据中6仅出现1次，其余数据也都仅出现1次，因此x必须为6才能满足6是众数。第二步求中位数，需要先将所有数据按从小到大的顺序排列，由于这组数据共有5个（奇数个），排列后最中间的数就是这组数据的中位数。
【解析】
第一步：根据众数的定义确定x的值
∵ 这组数据的众数为6，即6是该组数据中出现次数最多的数
现有数据2、-4、6、-8均只出现1次，因此x=6，此时6出现2次，是出现次数最多的数，符合要求。
第二步：求中位数
将这组数据按从小到大的顺序排列为：-8，-4，2，6，6
该组数据共5个，为奇数个，中位数是排序后第3个数据，即2。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查统计中众数和中位数的基础应用，解题的核心是先利用众数的性质确定未知参数的值，再按照中位数的计算规则排序查找即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
7.(2025·宿迁宿豫区期末)某舞蹈队10名队员的身高如下(单位cm):172,170,169,172,165,167,168,165,172,170.关于这组数据有以下结论:①平均数为169 cm;②众数为172 cm;③中位数为166 cm.其中正确的个数为 (
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
7.C
解析
【分析】
要判断三个结论的正确个数，需分别计算这组数据的平均数、众数、中位数，再逐一对应结论验证即可。首先回忆三个统计量的定义：平均数是所有数据的和除以数据总个数；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数，取中间的数。解题时先对数据排序，再依次计算三个统计量即可。
【解析】
首先将这10个数据从小到大排列：165，165，167，168，169，170，170，172，172，172。
1. 计算平均数：
数据总和 = 165×2 + 167 + 168 + 169 + 170×2 + 172×3 = 330 + 167 + 168 + 169 + 340 + 516 = 1690
平均数 = 1690 ÷ 10 = 169（cm），故结论①正确。
2. 找众数：
172出现了3次，出现次数最多，因此众数为172cm，故结论②正确。
3. 计算中位数：
数据共10个，为偶数个，中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数，即(169 + 170) ÷ 2 = 169.5（cm），故结论③错误。
综上，正确的结论有2个。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算；众数的识别；中位数的计算
【点评】
本题考查基础统计量的应用，属于常规题型，解题的关键是牢记三个统计量的定义，尤其注意计算中位数前必须先对数据排序，避免因未排序直接取中间数导致错误。
【难度系数】
0.7
要判断三个结论的正确个数，需分别计算这组数据的平均数、众数、中位数，再逐一对应结论验证即可。首先回忆三个统计量的定义：平均数是所有数据的和除以数据总个数；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数，取中间的数。解题时先对数据排序，再依次计算三个统计量即可。
【解析】
首先将这10个数据从小到大排列：165，165，167，168，169，170，170，172，172，172。
1. 计算平均数：
数据总和 = 165×2 + 167 + 168 + 169 + 170×2 + 172×3 = 330 + 167 + 168 + 169 + 340 + 516 = 1690
平均数 = 1690 ÷ 10 = 169（cm），故结论①正确。
2. 找众数：
172出现了3次，出现次数最多，因此众数为172cm，故结论②正确。
3. 计算中位数：
数据共10个，为偶数个，中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数，即(169 + 170) ÷ 2 = 169.5（cm），故结论③错误。
综上，正确的结论有2个。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算；众数的识别；中位数的计算
【点评】
本题考查基础统计量的应用，属于常规题型，解题的关键是牢记三个统计量的定义，尤其注意计算中位数前必须先对数据排序，避免因未排序直接取中间数导致错误。
【难度系数】
0.7
