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8. 一组数据为11,7,9,若添加一个数据,使得4个数据的中位数和众数相等,则添加的数据是
9
.答案
8.9
解析
【分析】
首先明确中位数和众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数。原3个数据7、9、11各出现1次，添加1个数据后共4个数据，若存在众数，添加的数据只能是原三个数中的一个（否则4个数据都仅出现1次，没有众数），因此分3种情况讨论，分别计算每种情况的中位数，判断是否与众数相等即可。
【解析】
先将原数据从小到大排序：7，9，11，设添加的数据为$x$。
若添加后4个数据存在众数，则$x$只能取7、9、11，分情况验证：
1. 若$x=7$：4个数据为7,7,9,11，众数是7；中位数为$\frac{7+9}{2}=8$，$8≠7$，不符合要求。
2. 若$x=9$：4个数据为7,9,9,11，众数是9；中位数为$\frac{9+9}{2}=9$，$9=9$，符合要求。
3. 若$x=11$：4个数据为7,9,11,11，众数是11；中位数为$\frac{9+11}{2}=10$，$10≠11$，不符合要求。
综上，添加的数据为9。
【答案】
9
【知识点】
中位数的定义；众数的定义
【点评】
本题考查中位数与众数的综合应用，解题时可先根据众数的存在性缩小待求数据的范围，再通过分类讨论逐一验证，易错点是忽略偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数。
【难度系数】
0.7
首先明确中位数和众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数。原3个数据7、9、11各出现1次，添加1个数据后共4个数据，若存在众数，添加的数据只能是原三个数中的一个（否则4个数据都仅出现1次，没有众数），因此分3种情况讨论，分别计算每种情况的中位数，判断是否与众数相等即可。
【解析】
先将原数据从小到大排序：7，9，11，设添加的数据为$x$。
若添加后4个数据存在众数，则$x$只能取7、9、11，分情况验证：
1. 若$x=7$：4个数据为7,7,9,11，众数是7；中位数为$\frac{7+9}{2}=8$，$8≠7$，不符合要求。
2. 若$x=9$：4个数据为7,9,9,11，众数是9；中位数为$\frac{9+9}{2}=9$，$9=9$，符合要求。
3. 若$x=11$：4个数据为7,9,11,11，众数是11；中位数为$\frac{9+11}{2}=10$，$10≠11$，不符合要求。
综上，添加的数据为9。
【答案】
9
【知识点】
中位数的定义；众数的定义
【点评】
本题考查中位数与众数的综合应用，解题时可先根据众数的存在性缩小待求数据的范围，再通过分类讨论逐一验证，易错点是忽略偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数。
【难度系数】
0.7
9. 有5个正整数，中位数是3，唯一的众数是6，则这5个数的和为
18
.答案
9.18
解析
【分析】
解题时先结合中位数的定义确定5个数排序后第3个数的取值，再根据唯一众数的限定确定后两个数的取值，最后推导前两个数的可能值，注意保证众数唯一，最后求和即可。具体思考步骤：①5个正整数从小到大排列后，中位数是第3个数，因此第3个数为3；②唯一众数是6，说明6的出现次数最多，且没有其他数的出现次数和6相同，因此排序后第4、5个数只能都是6，此时6出现2次；③前两个数是小于等于3的正整数，且不能出现重复，也不能等于3（否则3也出现2次，众数不唯一），因此前两个数只能是1和2，最后相加得到总和。
【解析】
设这5个正整数按从小到大的顺序排列为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$。
1. 根据中位数的定义：5个数的中位数是第$\frac{5+1}{2}=3$个数，因此$c=3$。
2. 根据唯一众数是6的条件：众数是出现次数最多的数，且唯一，因此6的出现次数要多于其他所有数的出现次数。由于$c=3$，$d、e≥3$，要让6出现次数最多，只能$d=e=6$，此时6共出现2次。
3. 推导前两个数：$a、b$为正整数，且$a≤ b ≤ 3$，若$b=3$，则3也出现2次，和6出现次数相同，众数不唯一；若$a=b$，则该数也出现2次，众数不唯一，因此$a、b$为不重复的小于3的正整数，即$a=1$，$b=2$。
4. 计算5个数的和：$1+2+3+6+6=18$。
【答案】
18
【知识点】
中位数的概念，众数的概念
【点评】
本题核心考查对中位数、众数定义的应用，解题的关键是抓住“唯一众数”这一限制条件，逐步推导每个数的取值，避免因忽略众数的唯一性导致取值错误。
【难度系数】
0.7
解题时先结合中位数的定义确定5个数排序后第3个数的取值，再根据唯一众数的限定确定后两个数的取值，最后推导前两个数的可能值，注意保证众数唯一，最后求和即可。具体思考步骤：①5个正整数从小到大排列后，中位数是第3个数，因此第3个数为3；②唯一众数是6，说明6的出现次数最多，且没有其他数的出现次数和6相同，因此排序后第4、5个数只能都是6，此时6出现2次；③前两个数是小于等于3的正整数，且不能出现重复，也不能等于3（否则3也出现2次，众数不唯一），因此前两个数只能是1和2，最后相加得到总和。
【解析】
设这5个正整数按从小到大的顺序排列为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$。
1. 根据中位数的定义：5个数的中位数是第$\frac{5+1}{2}=3$个数，因此$c=3$。
2. 根据唯一众数是6的条件：众数是出现次数最多的数，且唯一，因此6的出现次数要多于其他所有数的出现次数。由于$c=3$，$d、e≥3$，要让6出现次数最多，只能$d=e=6$，此时6共出现2次。
3. 推导前两个数：$a、b$为正整数，且$a≤ b ≤ 3$，若$b=3$，则3也出现2次，和6出现次数相同，众数不唯一；若$a=b$，则该数也出现2次，众数不唯一，因此$a、b$为不重复的小于3的正整数，即$a=1$，$b=2$。
4. 计算5个数的和：$1+2+3+6+6=18$。
【答案】
18
【知识点】
中位数的概念，众数的概念
【点评】
本题核心考查对中位数、众数定义的应用，解题的关键是抓住“唯一众数”这一限制条件，逐步推导每个数的取值，避免因忽略众数的唯一性导致取值错误。
【难度系数】
0.7
10.(2025·扬州)为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下(单位:分).
表1 评委评分数据
表2 评委评分数据分析
|选手|平均数|中位数|众数|
|----|----|----|----|
|小红|7.5|$b$|7|
|小丽|$a$|8|$c$|
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表2中$a=$
(2)你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由.
表1 评委评分数据
表2 评委评分数据分析
|选手|平均数|中位数|众数|
|----|----|----|----|
|小红|7.5|$b$|7|
|小丽|$a$|8|$c$|
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表2中$a=$
7.5
，$b=$7
，$c=$8
；(2)你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由.
答案
10.(1)7.5 7 8
(2)解:小丽的成绩较好,理由如下:
两人的平均分相同,实力相当,但是小丽的中位数为8,高于小红的中位数,小丽的众数也比小红的高,所以小丽的成绩较好.
(2)解:小丽的成绩较好,理由如下:
两人的平均分相同,实力相当,但是小丽的中位数为8,高于小红的中位数,小丽的众数也比小红的高,所以小丽的成绩较好.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确平均数、中位数、众数的定义：①平均数是所有数据之和除以数据总个数；②中位数是将数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数，取最中间的数；③众数是一组数据中出现次数最多的数。
对于第(1)问，先统计小丽的评分总和计算平均数a，将小红的评分排序后计算中位数b，统计小丽评分中出现次数最多的数得到众数c；第(2)问结合三个统计量的实际意义，对比两人的统计量结果即可判断谁的成绩更好。
【解析】
(1) 计算小丽的平均数$a$：
小丽的10个评分为7、7、6、8、8、8、8、8、7、8，评分总和为$6+7×3+8×6=75$，因此$a=75÷10=7.5$。
计算小红的中位数$b$：
将小红的评分从小到大排序为：7、7、7、7、7、7、8、8、8、9，共10个数据，中间的第5、6个数均为7，因此$b=(7+7)÷2=7$。
计算小丽的众数$c$：
小丽的评分中8出现了6次，出现次数最多，因此$c=8$。
(2) 对比两人的统计量：
小红和小丽的平均数均为7.5，说明两人平均水平相当；小丽的中位数为8，高于小红的中位数7，说明小丽的中等水平成绩更高；小丽的众数为8，高于小红的众数7，说明小丽获得高分的次数更多，因此小丽的成绩较好。
【答案】
(1) $\boxed{7.5}$，$\boxed{7}$，$\boxed{8}$
(2) 小丽的成绩较好，理由如下：两人的平均分相同，实力相当，但是小丽的中位数为8，高于小红的中位数，小丽的众数也比小红的高，所以小丽的成绩较好。
【知识点】
平均数的计算，中位数的计算，众数的识别
【点评】
本题结合实际比赛评分场景，考查了三个常用统计量的计算与应用，掌握各统计量的定义和代表的实际意义是解题的核心，能有效锻炼学生结合数据进行分析判断的能力。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确平均数、中位数、众数的定义：①平均数是所有数据之和除以数据总个数；②中位数是将数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数，取最中间的数；③众数是一组数据中出现次数最多的数。
对于第(1)问，先统计小丽的评分总和计算平均数a，将小红的评分排序后计算中位数b，统计小丽评分中出现次数最多的数得到众数c；第(2)问结合三个统计量的实际意义，对比两人的统计量结果即可判断谁的成绩更好。
【解析】
(1) 计算小丽的平均数$a$：
小丽的10个评分为7、7、6、8、8、8、8、8、7、8，评分总和为$6+7×3+8×6=75$，因此$a=75÷10=7.5$。
计算小红的中位数$b$：
将小红的评分从小到大排序为：7、7、7、7、7、7、8、8、8、9，共10个数据，中间的第5、6个数均为7，因此$b=(7+7)÷2=7$。
计算小丽的众数$c$：
小丽的评分中8出现了6次，出现次数最多，因此$c=8$。
(2) 对比两人的统计量：
小红和小丽的平均数均为7.5，说明两人平均水平相当；小丽的中位数为8，高于小红的中位数7，说明小丽的中等水平成绩更高；小丽的众数为8，高于小红的众数7，说明小丽获得高分的次数更多，因此小丽的成绩较好。
【答案】
(1) $\boxed{7.5}$，$\boxed{7}$，$\boxed{8}$
(2) 小丽的成绩较好，理由如下：两人的平均分相同，实力相当，但是小丽的中位数为8，高于小红的中位数，小丽的众数也比小红的高，所以小丽的成绩较好。
【知识点】
平均数的计算，中位数的计算，众数的识别
【点评】
本题结合实际比赛评分场景，考查了三个常用统计量的计算与应用，掌握各统计量的定义和代表的实际意义是解题的核心，能有效锻炼学生结合数据进行分析判断的能力。
【难度系数】
0.8
11.(2025·重庆)学校开展了航天知识竞赛活动,从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(成绩均不低于60分,用$x$表示,共分四组:A.$90≤x≤100$;B.$80≤x＜90$;C.$70≤x＜80$;D.$60≤x＜70$),下面给出了部分信息:
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是:83,84,84,84,85,87,88.
八年级20名学生竞赛成绩是:62,63,65,71,72,72,75,78,81,82,84,86,86,86,89,96,97,98,98,99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1)上述图表中$a=$
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好?请说明理由(写出一条理由即可);
(3)该校七年级有学生560人,八年级有学生500人,请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少?
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是:83,84,84,84,85,87,88.
八年级20名学生竞赛成绩是:62,63,65,71,72,72,75,78,81,82,84,86,86,86,89,96,97,98,98,99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1)上述图表中$a=$
84
,$b=$86
,$m=$30
;(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好?请说明理由(写出一条理由即可);
(3)该校七年级有学生560人,八年级有学生500人,请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少?
答案
11.(1)84 86 30
(2)解:该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好,理由如下:
因为该校七、八年级被抽取的学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同,但七年级被抽取的学生航天知识竞赛的成绩的中位数84大于八年级被抽取的学生航天知识竞赛成绩的中位数83,所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好.(理由合理即可)
(3)解:$560×30\% +500×\frac{5}{20}=293.$
答:估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293.
(2)解:该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好,理由如下:
因为该校七、八年级被抽取的学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同,但七年级被抽取的学生航天知识竞赛的成绩的中位数84大于八年级被抽取的学生航天知识竞赛成绩的中位数83,所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好.(理由合理即可)
(3)解:$560×30\% +500×\frac{5}{20}=293.$
答:估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293.
解析
【分析】
(1)求$a$：七年级共抽取20名学生，中位数为成绩从小到大排序后第10、11名成绩的平均数。先计算成绩低于80分的总人数，可判断第10、11名都落在B组，结合B组给出的数据即可求出中位数$a$；求$b$：众数是一组数据中出现次数最多的数，统计八年级20个成绩中出现次数最多的数即可得到$b$；求$m$：先计算A组人数占七年级抽取总人数的百分比，即可得到$m$的值。
(2)比较两个年级的成绩，可结合中位数、众数、高分段占比等统计量的实际意义，选择合理的理由说明即可。
(3)用样本估计总体，分别计算七年级、八年级成绩不低于90分的总人数，再相加得到结果。
【解析】
(1)①七年级成绩低于80分的人数为：$20×10\%+20×20\%=6$人，因此成绩从小到大排序后，第10、11名都在B组，B组数据从小到大排列为83,84,84,84,85,87,88，第10名、第11名成绩均为84，故$a=(84+84)÷2=84$；
②八年级20名成绩中，86共出现3次，出现次数最多，故众数$b=86$；
③七年级A组人数占抽取总人数的百分比为$1-10\%-20\%-(7÷20×100\%)=30\%$，故$m=30$。
(2)七年级成绩较好，理由：七、八年级抽取学生的成绩平均数相同，七年级成绩的中位数84大于八年级成绩的中位数83，说明七年级一半以上学生的成绩高于84分，八年级一半以上学生的成绩高于83分，因此七年级成绩较好。（理由合理即可）
(3)七年级不低于90分的人数占比为30%，八年级20名学生中不低于90分的有5人，占比为$\frac{5}{20}$，因此总人数为：
$560×30\% + 500×\frac{5}{20}=168+125=293$（人）
【答案】
(1)$84$；$86$；$30$
(2)七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：七、八年级被抽取学生成绩的平均数相同，七年级成绩的中位数84大于八年级成绩的中位数83（理由合理即可）
(3)估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生共是293人。
【知识点】
中位数；众数；样本估计总体
【点评】
本题结合竞赛场景考查统计相关知识，需要学生熟练掌握中位数、众数的计算方法，理解各统计量的实际意义，能合理用样本数据估计总体情况，是统计模块的典型应用题。
【难度系数】
0.7
(1)求$a$：七年级共抽取20名学生，中位数为成绩从小到大排序后第10、11名成绩的平均数。先计算成绩低于80分的总人数，可判断第10、11名都落在B组，结合B组给出的数据即可求出中位数$a$；求$b$：众数是一组数据中出现次数最多的数，统计八年级20个成绩中出现次数最多的数即可得到$b$；求$m$：先计算A组人数占七年级抽取总人数的百分比，即可得到$m$的值。
(2)比较两个年级的成绩，可结合中位数、众数、高分段占比等统计量的实际意义，选择合理的理由说明即可。
(3)用样本估计总体，分别计算七年级、八年级成绩不低于90分的总人数，再相加得到结果。
【解析】
(1)①七年级成绩低于80分的人数为：$20×10\%+20×20\%=6$人，因此成绩从小到大排序后，第10、11名都在B组，B组数据从小到大排列为83,84,84,84,85,87,88，第10名、第11名成绩均为84，故$a=(84+84)÷2=84$；
②八年级20名成绩中，86共出现3次，出现次数最多，故众数$b=86$；
③七年级A组人数占抽取总人数的百分比为$1-10\%-20\%-(7÷20×100\%)=30\%$，故$m=30$。
(2)七年级成绩较好，理由：七、八年级抽取学生的成绩平均数相同，七年级成绩的中位数84大于八年级成绩的中位数83，说明七年级一半以上学生的成绩高于84分，八年级一半以上学生的成绩高于83分，因此七年级成绩较好。（理由合理即可）
(3)七年级不低于90分的人数占比为30%，八年级20名学生中不低于90分的有5人，占比为$\frac{5}{20}$，因此总人数为：
$560×30\% + 500×\frac{5}{20}=168+125=293$（人）
【答案】
(1)$84$；$86$；$30$
(2)七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：七、八年级被抽取学生成绩的平均数相同，七年级成绩的中位数84大于八年级成绩的中位数83（理由合理即可）
(3)估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生共是293人。
【知识点】
中位数；众数；样本估计总体
【点评】
本题结合竞赛场景考查统计相关知识，需要学生熟练掌握中位数、众数的计算方法，理解各统计量的实际意义，能合理用样本数据估计总体情况，是统计模块的典型应用题。
【难度系数】
0.7
