1. ★★★（2025·长春月考）如图，$DE// AB$，$∠1=∠2$，则图中的相似三角形共有（）

A.6对
B.5对
C.4对
D.3对
（第1题）

1. C

【分析】
解题时先从已知条件出发，第一步利用平行线的性质，找到由平行直接推导的A字型相似三角形；第二步结合∠1=∠2的条件，利用平行线得到的内错角相等，推导另一组两组角对应相等的相似三角形；第三步利用公共角+已知等角推导第三组相似；最后结合已得到的相似关系，利用相似的传递性或者直接找角相等推导第四组相似，过程中要按顺序排查，避免漏找或多找。
【解析】
我们按以下步骤找相似三角形：
1. 由$DE// AB$，可得$∠ CDE=∠ CAB$，$∠ CED=∠ CBA$，又$∠ C$为公共角，根据AA相似判定，得$△ CDE ∽ △ CAB$，为第1对。
2. 由$DE// AB$，可得$∠ DEA=∠ EAB$，又已知$∠1=∠2$，根据AA相似判定，得$△ ADE ∽ △ BEA$，为第2对。
3. 已知$∠1=∠2$，又$∠ C$为公共角，根据AA相似判定，得$△ CAE ∽ △ CBA$，为第3对。
4. 由$△ CDE ∽ △ CAB$、$△ CAE ∽ △ CBA$，根据相似的传递性，可得$△ CDE ∽ △ CEA$，为第4对。
综上共有4对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、相似的传递性
【点评】
本题是相似三角形判定的基础综合题，需要结合平行线的角的性质逐步推导，排查相似三角形时要按固定顺序梳理，避免遗漏或重复计数。
【难度系数】
0.6

2. ★★★ 如图，A,B,C,D是$\odot O$上的四个点，AC交BD于点E，下列说法错误的是 （）

A.$∠ DAB+∠ DCB=180°$
B.$∠ ABD=∠ ACD$
C.$△ AED∽△ BEC$
D.$△ ACD∽△ BCD$

2. D

【分析】
要解决这道题，我们需要逐个验证四个选项的正误，解题思路如下：1. 先利用圆内接四边形的性质判断A选项；2. 利用同弧所对圆周角相等的性质判断B选项；3. 结合圆周角性质和对顶角相等，用两角对应相等的相似判定定理判断C、D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ DAB+∠ DCB=180°$，该选项说法正确，不符合题意。
B选项：
∵$∠ ABD$和$∠ ACD$都对应弧AD，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得$∠ ABD=∠ ACD$，该选项说法正确，不符合题意。
C选项：
∵$∠ ADB$和$∠ ACB$都对应弧AB，
∴$∠ ADB=∠ ACB$，又
∵$∠ AED$和$∠ BEC$是对顶角，
∴$∠ AED=∠ BEC$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ AED ∽ △ BEC$，该选项说法正确，不符合题意。
D选项：$△ ACD$和$△ BCD$中，仅有$∠ CAD=∠ CBD$（同对弧CD）这一组对应角相等，其余角无法证明相等，对应边也无法证明成比例，因此无法判定$△ ACD ∽ △ BCD$，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是圆与相似结合的基础题，需要熟练掌握圆的相关性质和相似三角形的判定定理，做题时注意题干要求选错误的选项，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7

3. 教材变式 如图,在平行四边形$ABCD$中,点$E,F$分别在边$AD,BC$上,且$EF// CD$,$G$为边$AD$延长线上一点,连结$BG$,则图中与$△ ABG$相似的三角形有个.

3. 4

【分析】
解题前先回顾两个核心知识点：一是平行四边形对边平行、对角相等的性质，二是相似三角形的判定定理——平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边延长线）相交，所得三角形与原三角形相似。解题时先由平行四边形性质得到AB//CD、AD//BC，结合已知EF//CD推出AB//CD//EF的平行关系，再按从外到内的顺序逐一排查符合相似条件的三角形，避免漏数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，∠A=∠C，
又
∵EF//CD，
∴AB//CD//EF。
①
∵CD//AB，∠G为公共角，∠GDC=∠A，
∴△GDC∽△GAB；
②
∵EF//AB，∠G为公共角，∠GEF=∠A，
∴EF与GB相交构成的三角形与△GAB相似；
③
∵AD//BC即AG//BC，可得∠G=∠CBG，又∠A=∠C，
∴CD与GB相交构成的△BCM∽△GAB；
④
∵EF//AB，AD//BC，可得∠BFN=∠A，∠FBN=∠G，
∴EF与GB相交构成的△BFN∽△GAB。
综上，与△ABG相似的三角形共有4个。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、平行四边形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础综合题，核心是结合平行四边形的平行关系找相似，解题时要有序梳理图形中的平行关系，避免因漏看隐藏的平行线导致漏算相似三角形。
【难度系数】
0.6

4. 如图，D，E分别在$△ ABC$的边AB，AC上，要使$△ AED$与$△ ABC$相似，不能添加的条件是()

A.$DE// BC$
B.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
C.$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$
D.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$

4. D

【分析】
要判断哪个条件不能使△AED与△ABC相似，首先明确两个三角形已有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理分析即可：①有两组角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似。逐个分析选项，排除能判定相似的选项即可得到答案。
【解析】
已知△AED和△ABC有公共角∠A，即∠DAE=∠BAC：
选项A：若$DE// BC$，根据相似三角形的预备定理，可得$△ ADE ∽ △ ABC$，即两个三角形相似，不符合题意；
选项B：若$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$，结合公共角$∠ A$，满足“两边对应成比例且夹角相等”，可得$△ ADE ∽ △ ABC$，即两个三角形相似，不符合题意；
选项C：若$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$，结合公共角$∠ A$，满足“两边对应成比例且夹角相等”，可得$△ AED ∽ △ ABC$，不符合题意；
选项D：若$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$，此时相等的$∠ A$不是两组成比例边的夹角，属于“SSA”的情况，不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 平行线判定三角形相似
3. 两边及夹角判定相似
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题关键是明确有公共角的前提下，两边成比例必须是夹公共角的两边对应成比例，“SSA”不能作为三角形相似的判定依据。
【难度系数】
0.7

5. ★★★ (2025·铜仁期中)如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点,且AB=3DB,BC=3EC,CF=$\frac{1}{2}$FA,则图中的相似三角形有 ()

A.3组
B.2组
C.1组
D.0组

5. A

【分析】
解题时首先从题目给出的边的倍数关系入手，转化为各线段的比例，优先选用“两边对应成比例且夹角相等”的相似三角形判定定理逐一验证：
1. 先整理已知比例：由AB=3DB得$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$、$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$；由BC=3EC得$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{3}$、$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$；由CF=$\frac{1}{2}$FA得$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{3}$、$\frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$。
2. 先找有公共角的三角形，验证公共角的两边是否成比例，找到前两组和△ABC相似的三角形。
3. 再根据前两组相似的结论，推导其余三角形的边、角关系，找到第三组相似三角形。
【解析】
解：
1. 判定第一组相似：在△CFE和△CAB中
∵$CF=\frac{1}{2}FA$，
∴$\frac{CF}{CA}=\frac{CF}{CF+FA}=\frac{1}{3}$
∵$BC=3EC$，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{1}{3}$
又
∵∠C是两个三角形的公共角
∴$△ CFE ∽ △ CAB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
2. 判定第二组相似：在△AFD和△ACB中
∵$CF=\frac{1}{2}FA$，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$
∵$AB=3DB$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB-DB}{AB}=\frac{2}{3}$
又
∵∠A是两个三角形的公共角
∴$△ AFD ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
3. 判定第三组相似：
由$△ CFE ∽ △ CAB$、$△ AFD ∽ △ ACB$可得，$△ CFE$和$△ AFD$的对应角相等，且对应边的比为$\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=1:2$，即三边对应成比例
∴$△ CFE ∽ △ AFD$（三边对应成比例的两个三角形相似）
综上共有3组相似三角形。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例的性质
【点评】
本题需要结合已知的线段比例关系，灵活选用相似三角形的判定定理，解题时要注意不要遗漏不同三角形之间的相似组合，同时要准确计算各对应边的比例。
【难度系数】
0.6

6. （2025·聊城月考）如图，∠B=90°，AB=BC=CD=DE，那么下列结论正确的是（）

A.∠1+∠2+∠3=125°
B.△ABD∽△EBA
C.△ACD∽△ECA
D.以上结论都对

6. C

【分析】
首先我们可以设AB=BC=CD=DE=a，方便计算各边长度和角度。解题思路如下：①先利用等腰直角三角形的性质算出∠1的度数，初步判断A选项；②对于B、C两个相似判定的选项，我们采用“两边成比例且夹角相等”的相似判定定理，先计算对应边的比值，再看夹角是否相等，逐一判断相似是否成立；③最后结合各选项的对错选出正确答案。
【解析】
设AB=BC=CD=DE=a。
1. 计算相关边长与∠1的度数：
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=a，因此∠1=45°，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。
易得$BD=BC+CD=2a$，$BE=BC+CD+DE=3a$，$EC=CD+DE=2a$。
2. 判断选项A：
若△ACD∽△ECA，可得∠3=∠CAD，根据三角形外角性质，$∠ 1=∠ 2+∠ CAD=∠ 2+∠ 3=45°$，因此$∠ 1+∠ 2+∠ 3=45°+45°=90°≠125°$，A错误。
3. 判断选项B：
△ABD和△EBA中，∠B是公共直角，$\frac{AB}{BE}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{2a}{a}=2$，两组对应边比值不相等，因此△ABD与△EBA不相似，B错误。
4. 判断选项C：
△ACD和△ECA中，∠ACD=∠ECA是公共角，
$\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CD}{AC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此$\frac{AC}{EC}=\frac{CD}{AC}$，两边对应成比例且夹角相等，故△ACD∽△ECA，C正确。
5. 判断选项D：
因为A、B选项错误，所以D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定方法，通过设参数表示各边长度简化计算是常用的解题技巧，解题时要注意找准相似三角形的对应边和对应夹角，结合角度的性质综合判断选项。
【难度系数】
0.7

7. （2025·上海月考）在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，如果$∠ A=45°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=15\ \mathrm{cm}$，$∠ A'=45°$，$A'B'=16\ \mathrm{cm}$，那么$A'C'= \_\_\_\_\_\_$时，$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似。

7. $20\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{64}{5}\ \mathrm{cm}$

【分析】
本题已知两个三角形有一组相等的夹角∠A=∠A'=45°，要使两个三角形相似，根据相似三角形的判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，由于题目未明确两个三角形的边的对应关系，因此需要分两种情况讨论边的比例关系，分别计算A'C'的长度即可。
【解析】
已知∠A=∠A'=45°，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分两种情况讨论：
① 当$△ ABC ∽ △ A'B'C'$时，夹等角的两边对应成比例，即$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，
代入$AB=12\ \mathrm{cm}$，$A'B'=16\ \mathrm{cm}$，$AC=15\ \mathrm{cm}$得：
$\dfrac{12}{16}=\dfrac{15}{A'C'}$，
解得$A'C'=\dfrac{15×16}{12}=20\ \mathrm{cm}$；
② 当$△ ABC ∽ △ A'C'B'$时，夹等角的两边对应成比例，即$\dfrac{AB}{A'C'}=\dfrac{AC}{A'B'}$，
代入数值得：
$\dfrac{12}{A'C'}=\dfrac{15}{16}$，
解得$A'C'=\dfrac{12×16}{15}=\dfrac{64}{5}\ \mathrm{cm}$。
综上，$A'C'$的长度为$20\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{64}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{64}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确在未给出相似三角形对应关系的前提下，要分情况讨论边的对应比例，避免漏解，熟练掌握两边成比例且夹角相等的相似判定定理是正确解题的基础。
【难度系数】
0.6

8. ★★★ 如图,等腰△ABC中,AB=AC,D是BC中点,∠EDF=∠B,求证:△BDE∽△DFE.

8. $\because AB = AC, ∠ EDF = ∠ B, \therefore ∠ B = ∠ C = ∠ EDF. \because ∠ EDC = ∠ EDF + ∠ FDC = ∠ B + ∠ BED, \therefore ∠ BED = ∠ FDC, \therefore △ BDE ∽ △ CFD, \therefore \dfrac{BE}{CD} = \dfrac{DE}{DF}. 又\because BD = CD, \therefore \dfrac{BE}{BD} = \dfrac{DE}{DF}, 即\dfrac{BE}{DE} = \dfrac{BD}{DF}. \because ∠ EDF = ∠ B, \therefore △ BDE ∽ △ DFE.$

【分析】
要证明△BDE∽△DFE，已知∠EDF=∠B，根据相似三角形判定定理，只需再证明这组等角的两组夹边对应成比例即可。首先利用等腰三角形底角相等的性质得到∠B=∠C，结合三角形外角的性质可推出∠BED=∠FDC，先证明△BDE∽△CFD得到对应边成比例，再结合D是BC中点即BD=CD，将比例式中的CD替换为BD，整理得到△BDE和△DFE的夹边成比例，结合已知等角即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB = AC$，$∠EDF = ∠B$，
∴ $∠B = ∠C = ∠EDF$。
∵ $∠EDC$是$△ BDE$的外角，
∴ $∠EDC = ∠EDF + ∠FDC = ∠B + ∠BED$，
等式两边同时减去相等的$∠EDF$和$∠B$，得$∠BED = ∠FDC$，
∴ $△ BDE ∽ △ CFD$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\dfrac{BE}{CD} = \dfrac{DE}{DF}$。
又
∵ D是BC中点，
∴ $BD = CD$，
将$CD$替换为$BD$得$\dfrac{BE}{BD} = \dfrac{DE}{DF}$，整理得$\dfrac{BE}{DE} = \dfrac{BD}{DF}$。
∵ $∠EDF = ∠B$，
∴ $△ BDE ∽ △ DFE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
$\because AB = AC, ∠ EDF = ∠ B, \therefore ∠ B = ∠ C = ∠ EDF. \because ∠ EDC = ∠ EDF + ∠ FDC = ∠ B + ∠ BED, \therefore ∠ BED = ∠ FDC, \therefore △ BDE ∽ △ CFD, \therefore \dfrac{BE}{CD} = \dfrac{DE}{DF}. 又\because BD = CD, \therefore \dfrac{BE}{BD} = \dfrac{DE}{DF}, 即\dfrac{BE}{DE} = \dfrac{BD}{DF}. \because ∠ EDF = ∠ B, \therefore △ BDE ∽ △ DFE.$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外角性质，相似三角形判定
【点评】
本题是相似三角形证明的典型题型，核心考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题关键是通过外角性质推导等角，先证得一组三角形相似得到边的比例关系，再结合中点条件进行等量代换得到目标三角形的相似判定条件，对逻辑推理和条件转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6