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9. ★★★ 如图,已知每个小正方形的边长均为1,△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上,那么△DEF与△ABC相似的是 (
A
C
D
A
)A
C
D
答案
9. A
解析
【分析】
要判断格点三角形是否相似，可通过“三边成比例的两个三角形相似”来判定。首先需要用勾股定理分别求出△ABC和各选项中△DEF的所有边长，再把两个三角形的边长分别从小到大排序，验证三组对应边的比值是否完全相等，比值相等则两三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
先计算△ABC的三边长：
由勾股定理得：$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=3$，
将△ABC的三边从小到大排序为：$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$3$。
再分别计算各选项△DEF的三边长：
选项A：$DE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$EF=2$，$DF=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，排序为$2$，$\sqrt{10}$，$3\sqrt{2}$。
对应边比值：$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}$，三边比值相等，故△DEF与△ABC相似。
选项B：△DEF三边为$1$，$\sqrt{5}$，$2\sqrt{2}$，对应边比值不相等，不相似。
选项C：△DEF三边为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，对应边比值不相等，不相似。
选项D：△DEF三边为$2$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，对应边比值不相等，不相似。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似的典型题型，解题关键是准确计算各边长度，排序后再求比值能有效避免对应边匹配错误，降低计算失误率。
【难度系数】
0.6
要判断格点三角形是否相似，可通过“三边成比例的两个三角形相似”来判定。首先需要用勾股定理分别求出△ABC和各选项中△DEF的所有边长，再把两个三角形的边长分别从小到大排序，验证三组对应边的比值是否完全相等，比值相等则两三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
先计算△ABC的三边长：
由勾股定理得：$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=3$，
将△ABC的三边从小到大排序为：$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$3$。
再分别计算各选项△DEF的三边长：
选项A：$DE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$EF=2$，$DF=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，排序为$2$，$\sqrt{10}$，$3\sqrt{2}$。
对应边比值：$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}$，三边比值相等，故△DEF与△ABC相似。
选项B：△DEF三边为$1$，$\sqrt{5}$，$2\sqrt{2}$，对应边比值不相等，不相似。
选项C：△DEF三边为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，对应边比值不相等，不相似。
选项D：△DEF三边为$2$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，对应边比值不相等，不相似。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似的典型题型，解题关键是准确计算各边长度，排序后再求比值能有效避免对应边匹配错误，降低计算失误率。
【难度系数】
0.6
10. ★★★ (2025·上海期中)一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是 (
A.15厘米、18厘米
B.20厘米、24厘米
C.25厘米、50厘米
D.36厘米、60厘米
B
)A.15厘米、18厘米
B.20厘米、24厘米
C.25厘米、50厘米
D.36厘米、60厘米
答案
10. B
解析
【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题时需明确：相似三角形的对应边成比例，由于题目未说明30cm的木条与原三角形哪条边是对应边，因此需要分三种情况讨论，分别计算出另两条边的长度，再对比选项选出不符合条件的即可。
【解析】
设相似三角形的相似比为$ k $，分三种情况讨论：
1. 当30cm的边与原三角形5cm的边为对应边时，相似比$ k=\frac{30}{5}=6 $，则另外两条边的长度分别为$ 6×6=36\mathrm{cm} $，$ 10×6=60\mathrm{cm} $，对应D选项符合条件；
2. 当30cm的边与原三角形6cm的边为对应边时，相似比$ k=\frac{30}{6}=5 $，则另外两条边的长度分别为$ 5×5=25\mathrm{cm} $，$ 10×5=50\mathrm{cm} $，对应C选项符合条件；
3. 当30cm的边与原三角形10cm的边为对应边时，相似比$ k=\frac{30}{10}=3 $，则另外两条边的长度分别为$ 5×3=15\mathrm{cm} $，$ 6×3=18\mathrm{cm} $，对应A选项符合条件。
综上，只有B选项的边长不符合条件。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略30cm的边对应原三角形边长的多种可能性，只按一种对应关系计算导致错选，解题时要注意对应边的不确定性，全面考虑所有情况。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形性质的应用，解题时需明确：相似三角形的对应边成比例，由于题目未说明30cm的木条与原三角形哪条边是对应边，因此需要分三种情况讨论，分别计算出另两条边的长度，再对比选项选出不符合条件的即可。
【解析】
设相似三角形的相似比为$ k $，分三种情况讨论：
1. 当30cm的边与原三角形5cm的边为对应边时，相似比$ k=\frac{30}{5}=6 $，则另外两条边的长度分别为$ 6×6=36\mathrm{cm} $，$ 10×6=60\mathrm{cm} $，对应D选项符合条件；
2. 当30cm的边与原三角形6cm的边为对应边时，相似比$ k=\frac{30}{6}=5 $，则另外两条边的长度分别为$ 5×5=25\mathrm{cm} $，$ 10×5=50\mathrm{cm} $，对应C选项符合条件；
3. 当30cm的边与原三角形10cm的边为对应边时，相似比$ k=\frac{30}{10}=3 $，则另外两条边的长度分别为$ 5×3=15\mathrm{cm} $，$ 6×3=18\mathrm{cm} $，对应A选项符合条件。
综上，只有B选项的边长不符合条件。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略30cm的边对应原三角形边长的多种可能性，只按一种对应关系计算导致错选，解题时要注意对应边的不确定性，全面考虑所有情况。
【难度系数】
0.7
11. ★★★ (2025·杭州期末)如图,在6×6方格中,点A,B,C,D,E均在格点上,若△ABC与△DEP_i (i=1,2,3,4)相似,则符合条件的格点P_i是 (
A.点P₁
B.点P₂
C.点P₃
D.点P₄
C
)A.点P₁
B.点P₂
C.点P₃
D.点P₄
答案
11. C
解析
【分析】
要判断△ABC与△DEP_i是否相似，我们可以先通过勾股定理及逆定理确定△ABC的形状和边长比例，再验证四个格点P_i对应的△DEP_i是否满足相似的判定条件。首先计算△ABC的边长，判断是否为直角三角形，得到直角边的比值，再逐一验证各△DEP_i的直角和边比是否匹配即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 分析△ABC的特征：
由勾股定理计算边长：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
由勾股定理逆定理：$AC^2+BC^2=2+8=10=AB^2$，可得△ABC是直角三角形，且直角边比值为$AC:BC=\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2$。
2. 验证△DEP_i：
先计算DE的长度：$DE=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
逐一判断四个点：
点P₁：△DEP₁不存在直角，不符合相似条件；
点P₂：△DEP₂不存在直角，不符合相似条件；
点P₃：△DEP₃为直角三角形，且两条直角边的比值为1:2，满足“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，故△ABC∽△DEP₃；
点P₄：△DEP₃的直角边比值不为1:2，不符合相似条件。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，勾股定理逆定理
【点评】
本题是格点三角形相似的典型考题，解题的关键是先确定已知三角形的形状和边长比例，再结合相似判定定理逐一验证选项，注意不要混淆边的对应关系。
【难度系数】
0.6
要判断△ABC与△DEP_i是否相似，我们可以先通过勾股定理及逆定理确定△ABC的形状和边长比例，再验证四个格点P_i对应的△DEP_i是否满足相似的判定条件。首先计算△ABC的边长，判断是否为直角三角形，得到直角边的比值，再逐一验证各△DEP_i的直角和边比是否匹配即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 分析△ABC的特征：
由勾股定理计算边长：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
由勾股定理逆定理：$AC^2+BC^2=2+8=10=AB^2$，可得△ABC是直角三角形，且直角边比值为$AC:BC=\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2$。
2. 验证△DEP_i：
先计算DE的长度：$DE=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
逐一判断四个点：
点P₁：△DEP₁不存在直角，不符合相似条件；
点P₂：△DEP₂不存在直角，不符合相似条件；
点P₃：△DEP₃为直角三角形，且两条直角边的比值为1:2，满足“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，故△ABC∽△DEP₃；
点P₄：△DEP₃的直角边比值不为1:2，不符合相似条件。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，勾股定理逆定理
【点评】
本题是格点三角形相似的典型考题，解题的关键是先确定已知三角形的形状和边长比例，再结合相似判定定理逐一验证选项，注意不要混淆边的对应关系。
【难度系数】
0.6
12. ★★★ (2025·邯郸模拟)如图,在4×4的正方形网格中,图中的点都在网格线的交点上.将点F,G,H,I分别与点D,E连结,得到△FED,△GED,△HED和△IED,这四个三角形中与△ABC相似的是
△GED
.答案
12. $△ GED$
解析
【分析】
要判断网格中两个三角形是否相似，我们采用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，解题思路如下：第一步，设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理先求出△ABC的三边长，得到其三边的比值；第二步，依次求出△FED、△GED、△HED、△IED的三边长，分别计算它们的三边比值，与△ABC的三边比值对比，比值相同的即为与△ABC相似的三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
$BC=1$，
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
因此△ABC的三边长从小到大的比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
2. 分别计算四个三角形的三边长：
公共边$ED=2$，
（1）△FED：
$EF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，
三边长比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{17}$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
（2）△GED：
$EG=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$DG=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
三边长比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，故相似；
（3）△HED：
$EH=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，$DH=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
三边长比为$2:\sqrt{13}:5$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
（4）△IED：
$EI=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$DI=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
三边长比为$2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与△ABC的三边比不相等，不相似。
【答案】
$△ GED$
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是网格类相似三角形判定的常考题，核心是通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再通过三边比例判断相似性，将各边从小到大排序后再对比比例，可有效避免对应边匹配错误。
【难度系数】
0.65
要判断网格中两个三角形是否相似，我们采用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，解题思路如下：第一步，设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理先求出△ABC的三边长，得到其三边的比值；第二步，依次求出△FED、△GED、△HED、△IED的三边长，分别计算它们的三边比值，与△ABC的三边比值对比，比值相同的即为与△ABC相似的三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
$BC=1$，
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
因此△ABC的三边长从小到大的比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
2. 分别计算四个三角形的三边长：
公共边$ED=2$，
（1）△FED：
$EF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，
三边长比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{17}$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
（2）△GED：
$EG=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$DG=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
三边长比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，故相似；
（3）△HED：
$EH=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，$DH=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
三边长比为$2:\sqrt{13}:5$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
（4）△IED：
$EI=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$DI=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
三边长比为$2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与△ABC的三边比不相等，不相似。
【答案】
$△ GED$
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是网格类相似三角形判定的常考题，核心是通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再通过三边比例判断相似性，将各边从小到大排序后再对比比例，可有效避免对应边匹配错误。
【难度系数】
0.65
13. 如图，某地四个乡镇A,B,C,D之间建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，BC=42千米，DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P84 专题4
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答案
13. $AB// CD$,理由如下:由题意得$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{28}{42}=\dfrac{2}{3}$,$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$,$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{21}{31.5}=\dfrac{2}{3}$,$\therefore \dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BD}{CD}$,$\therefore △ ABD∽ △ BDC$,$\therefore ∠ ABD = ∠ BDC$,$\therefore AB// CD.$
解析
【分析】
要判断AB与CD是否平行，可通过证明二者被BD所截形成的内错角∠ABD和∠BDC相等来推导。题目给出了△ABD和△BDC的所有边长，我们可以先计算两个三角形三组对应边的比值，若比值相等即可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应角相等得到内错角相等，最终判定两直线平行。
【解析】
解：$AB// CD$，理由如下：
由题意计算各对应边的比值：
$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{28}{42}=\dfrac{2}{3}$，
$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$，
$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{21}{31.5}=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore \dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BD}{CD}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABD∽ △ BDC$，
由相似三角形对应角相等，得$∠ ABD = ∠ BDC$，
∠ABD和∠BDC是直线AB、CD被BD所截的内错角，内错角相等，两直线平行，因此$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$，理由：$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{2}{3}$，故$△ ABD∽△ BDC$，得$∠ ABD=∠ BDC$，因此$AB// CD$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题结合了相似三角形和平行线的判定两个知识点，解题关键是准确计算对应边的比值，通过证明三角形相似得到角的等量关系，进而判定直线平行，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断AB与CD是否平行，可通过证明二者被BD所截形成的内错角∠ABD和∠BDC相等来推导。题目给出了△ABD和△BDC的所有边长，我们可以先计算两个三角形三组对应边的比值，若比值相等即可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应角相等得到内错角相等，最终判定两直线平行。
【解析】
解：$AB// CD$，理由如下：
由题意计算各对应边的比值：
$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{28}{42}=\dfrac{2}{3}$，
$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$，
$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{21}{31.5}=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore \dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BD}{CD}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABD∽ △ BDC$，
由相似三角形对应角相等，得$∠ ABD = ∠ BDC$，
∠ABD和∠BDC是直线AB、CD被BD所截的内错角，内错角相等，两直线平行，因此$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$，理由：$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{2}{3}$，故$△ ABD∽△ BDC$，得$∠ ABD=∠ BDC$，因此$AB// CD$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题结合了相似三角形和平行线的判定两个知识点，解题关键是准确计算对应边的比值，通过证明三角形相似得到角的等量关系，进而判定直线平行，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
