1. 如图,分别以$△ ABC$的边$AC$和$BC$为腰向外作等腰直角$△ DAC$和等腰直角$△ EBC$,连结$DE$.
(1)求证:$△ DAC ∽ △ EBC$;
(2)求证:$AB · EC=DE · BC$.

1. (1) $\because △ EBC$ 是等腰直角三角形, $\therefore BC = BE, ∠ EBC = 90°$,
$\therefore ∠ BEC= ∠ BCE = 45°$. 同理 $∠ DAC = 90°, ∠ ADC = ∠ ACD = 45°$,
$\therefore ∠ EBC= ∠ DAC=90°, ∠ BCE= ∠ ACD=45°, \therefore △ DAC ∽ △ EBC$.
(2) $\because △ DAC ∽ △ EBC, \therefore \frac{EC}{BC} = \frac{DC}{AC}. \because ∠ BCE = ∠ ACD = 45°$,
$\therefore ∠ BCE- ∠ ACE = ∠ ACD - ∠ ACE$, 即 $∠ BCA = ∠ ECD, \therefore △ DEC ∽ △ ABC, \therefore \frac{EC}{BC}=\frac{DE}{AB}, \therefore AB · EC=DE · BC$.

【分析】
(1) 要证△DAC∽△EBC，可根据相似三角形的判定定理，结合两个三角形均为等腰直角三角形的特征推导对应角相等即可：等腰直角三角形顶角为90°，两个底角均为45°，可得两个三角形三组对应角分别相等，即可证相似。
(2) 要证等积式AB·EC=DE·BC，先将其转化为比例式$\frac{EC}{BC}=\frac{DE}{AB}$，需证明△DEC和△ABC相似。首先由第(1)问的相似结论可得对应边成比例，再通过角的和差推导∠BCA=∠ECD，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证得△DEC∽△ABC，即可得到所需比例式，交叉相乘后得待证等积式。
【解析】
(1) $\because △ EBC$ 是等腰直角三角形, $\therefore BC = BE, ∠ EBC = 90°$,
$\therefore ∠ BEC= ∠ BCE = 45°$. 同理 $∠ DAC = 90°, ∠ ADC = ∠ ACD = 45°$,
$\therefore ∠ EBC= ∠ DAC=90°, ∠ BCE= ∠ ACD=45°, \therefore △ DAC ∽ △ EBC$.
(2) $\because △ DAC ∽ △ EBC, \therefore \frac{EC}{BC} = \frac{DC}{AC}. \because ∠ BCE = ∠ ACD = 45°$,
$\therefore ∠ BCE- ∠ ACE = ∠ ACD - ∠ ACE$, 即 $∠ BCA = ∠ ECD, \therefore △ DEC ∽ △ ABC, \therefore \frac{EC}{BC}=\frac{DE}{AB}, \therefore AB · EC=DE · BC$.
【答案】
(1) △DAC∽△EBC得证；
(2) AB·EC=DE·BC得证。
【知识点】
等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似证明的典型题型，第一问可直接利用等腰直角三角形的角的特征求证，第二问需借助已证的相似结论推导边的比例和相等夹角，将等积式转化为比例式是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.65

2. 如图,已知矩形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD上的点,DE与CF交于点G,DE⊥CF,求证:$\frac{CF}{DE}=\frac{AB}{AD}$.

2. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ A = ∠ ADC = 90°, AB = CD$.
$\because DE ⊥ CF, \therefore ∠ FGD=90°, \therefore ∠ ADE+ ∠ CFD = ∠ DCF+ ∠ CFD = 90°$,
$\therefore ∠ ADE = ∠ DCF, \therefore △ ADE ∽ △ DCF, \therefore \frac{CF}{DE} = \frac{DC}{AD}$. 又 $\because AB = CD$,
$\therefore \frac{CF}{DE}=\frac{AB}{AD}$.

【分析】
要证明线段成比例，通常可通过证明三角形相似得到对应边成比例。首先结合矩形的性质，可得到直角和对边相等的条件；再根据DE⊥CF的垂直关系，利用同角的余角相等推导得到一组相等的锐角，即可证明包含待证线段的两个三角形相似，最后结合矩形对边相等的性质替换线段，就能推出要证的比例式。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = ∠ ADC = 90°$，$AB = CD$。
∵ $DE ⊥ CF$，
∴ $∠ FGD = 90°$，
∴ $∠ ADE + ∠ CFD = 90°$，$∠ DCF + ∠ CFD = 90°$，
∴ $∠ ADE = ∠ DCF$，
∴ $△ ADE ∽ △ DCF$，
∴ $\frac{CF}{DE} = \frac{DC}{AD}$。
又
∵ $AB = CD$，
∴ $\frac{CF}{DE}=\frac{AB}{AD}$。
【答案】
$\frac{CF}{DE}=\frac{AB}{AD}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似证明的常规题型，解题的关键是利用矩形的直角和线段垂直的条件推导等角，进而证明三角形相似，再结合矩形对边相等的性质完成线段替换，即可得到待证的比例关系，要熟练掌握利用角的互余关系推导等角的方法。
【难度系数】
0.7