1. ★★★(2025·宿州月考)如图，$DE// BC$，$DF// AC$，则下列比例式中，不正确的是 ()

A.$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{CF}{BF}$
B.$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{BD}$
C.$\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{DF}{AC}$
D.$\dfrac{AE}{DF}=\dfrac{DE}{BF}$
（第1题）

1. B

【分析】
解决本题的核心思路是：由已知的两组平行线，先推导得出相似三角形和平行四边形，再结合平行线分线段成比例定理、相似三角形对应边成比例的性质，以及平行四边形对边相等的性质，逐个验证每个选项的比例式是否成立，最终选出不正确的选项。
【解析】
已知$DE// BC$，$DF// AC$：
1. 由$DE// BC$可得$△ ADE ∽ △ ABC$，根据相似三角形性质，对应边成比例：$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$；同时由平行线分线段成比例得$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{DB}$。
2. 由$DF// AC$可得$△ BDF ∽ △ BAC$，根据相似三角形性质，对应边成比例：$\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{DF}{AC}$；同时由平行线分线段成比例得$\dfrac{CF}{BF}=\dfrac{AD}{DB}$。
3. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故四边形$DECF$是平行四边形，得$DE=FC$，$DF=EC$。
逐个分析选项：
选项A：由上述结论$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AD}{DB}$，$\dfrac{CF}{BF}=\dfrac{AD}{DB}$，故$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{CF}{BF}$，该式成立，不符合题意。
选项B：由$△ ADE ∽ △ ABC$得$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$，$AB=AD+BD≠ BD$，故$\dfrac{DE}{BC}≠\dfrac{AD}{BD}$，该式不成立，符合题意。
选项C：由$△ BDF ∽ △ BAC$直接可得$\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{DF}{AC}$，该式成立，不符合题意。
选项D：由$△ ADE ∽ △ DBF$（两组角分别相等，三角形相似），得对应边成比例$\dfrac{AE}{DF}=\dfrac{DE}{BF}$，该式成立，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例和相似三角形的基础应用题型，解题时要注意相似三角形的对应边不要混淆，结合平行四边形的性质转化相等的边，能更快速判断比例式是否正确。
【难度系数】
0.7

2. ★★★（2025·运城期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E在AB边上，且BE=2，连结CE，DE，点F是BC的延长线上一点，连结AF，若∠F=$\frac{1}{2}$∠EDC，则CF的长为。

2. 6

【分析】
解题时先利用矩形的性质和勾股定理求出DE的长度，发现△CDE是等腰三角形；再结合“∠F=1/2∠EDC”的条件，通过等腰三角形三线合一得到半角的三角函数值；最后在Rt△ABF中利用锐角三角函数求出BF的长度，减去BC的长度即可得到CF的长。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=CD=5，AD=BC=4，∠A=∠B=90°，AB//CD。
∵ BE=2，
∴ AE=AB-BE=5-2=3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ DE=CD=5，即△CDE为等腰三角形。
过点D作DG⊥CE于G，根据等腰三角形三线合一，DG平分∠EDC，即$∠GDC=\frac{1}{2}∠EDC$，
∵ $∠F=\frac{1}{2}∠EDC$，
∴ $∠GDC=∠F$。
在Rt△BCE中，$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
∴ $CG=\frac{1}{2}CE=\sqrt{5}$。
△CDE的面积：$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×CD×BC=\frac{1}{2}×5×4=10$，
又$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×CE×DG$，代入得$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×DG=10$，解得$DG=2\sqrt{5}$。
在Rt△DGC中，$\tan∠GDC=\frac{CG}{DG}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
∴ $\tan∠F=\frac{1}{2}$。
在Rt△ABF中，$\tan∠F=\frac{AB}{BF}=\frac{5}{BF}=\frac{1}{2}$，解得$BF=10$，
∴ $CF=BF-BC=10-4=6$。
【答案】
6
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的应用
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过等腰三角形三线合一将半角关系转化为可计算的三角函数值，再结合直角三角形的边角关系求解，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3. （2025·渭南期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，将△ABD沿BC平移到△A'B'F'位置，A'B'交AC于点M，A'F'交AC于点N。此时M为A'B'中点，已知AB=3，AC=4，则NF'=。

3. $\dfrac{21}{40}$

【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC斜边BC的长度，再通过相似三角形求出BD的长度；接着根据平移的性质得到平行关系、相等线段，结合M是A'B'中点，利用平行线构造相似三角形求出B'C的长度，进而算出CF'的长度；最后再次利用相似三角形对应边成比例求出NF'的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. $\because AD⊥ BC$，$∠ ADB=∠ BAC=90°$，$∠ B$为公共角，
$\therefore △ ABD∽△ CBA$，则$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$，解得$BD=\frac{AB^2}{BC}=\frac{9}{5}$。
3. 由平移的性质可得：$A'B'// AB$，$A'F'// AD$，$A'B'=AB=3$，$B'F'=BD=\frac{9}{5}$，且$A'F'⊥ BC$。
4. $\because M$是$A'B'$中点，$\therefore MB'=\frac{1}{2}A'B'=\frac{3}{2}$。
5. $\because A'B'// AB$，$\therefore ∠ MB'C=∠ B$，又$∠ C$为公共角，
$\therefore △ MB'C∽△ ABC$，则$\frac{MB'}{AB}=\frac{B'C}{BC}$，代入得$\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{B'C}{5}$，解得$B'C=\frac{5}{2}$。
6. 可得$CF'=B'C-B'F'=\frac{5}{2}-\frac{9}{5}=\frac{7}{10}$。
7. $\because A'F'⊥ BC$，$\therefore ∠ NF'C=90°=∠ BAC$，又$∠ C$为公共角，
$\therefore △ CF'N∽△ CAB$，则$\frac{NF'}{AB}=\frac{CF'}{AC}$，代入得$\frac{NF'}{3}=\frac{\frac{7}{10}}{4}$，解得$NF'=\frac{21}{40}$。
【答案】
$\dfrac{21}{40}$
【知识点】
勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查平移性质、相似三角形判定及勾股定理的应用，解题核心是借助平移得到的平行线构造相似三角形，结合中点性质逐步推导相关线段长度，最终通过相似关系求解目标线段。
【难度系数】
0.6

4. 过程性学习（2025·日照月考）请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图①，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
下面是这个定理的部分证明过程。
证明：如图②，过点C作$CE // DA$，交BA的延长线于点E.…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图③，已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ ABC=90°$，AD平分$∠ BAC$，求$△ ABD$的周长。

4. (1) 如题图②,过 C 作 $CE// DA$,交 BA 的延长线于点 E.
$\because CE// AD,\therefore \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BA}{EA},∠ 2 = ∠ ACE, ∠ 1 = ∠ E. \because ∠ 1 = ∠ 2,$
$\therefore ∠ ACE=∠ E,\therefore AE=AC,\therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}.$
(2) 如题图③,$\because AB=3,BC=4,∠ ABC=90^{\circ },\therefore AC = \sqrt{BC^{2}+AB^{2}} = \sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5.\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CD}{BD},即\dfrac{5}{3}=\dfrac{CD}{BD},\therefore BD=\dfrac{3}{8}BC=\dfrac{3}{8}× 4=\dfrac{3}{2},\therefore AD=\sqrt{BD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{(\dfrac{3}{2})^{2}+3^{2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2},\therefore △ ABD$ 的周长为$\dfrac{3}{2}+3+\dfrac{3\sqrt{5}}{2}=\dfrac{9+3\sqrt{5}}{2}.$

【分析】
(1) 要完成角平分线分线段成比例定理的证明，已知辅助线为$CE// DA$，首先可利用平行线分线段成比例得到线段比例关系，再结合平行线的角性质和角平分线的条件，推导得到等角对等边，替换等量线段即可完成证明。
(2) 求解$△ ABD$的周长，首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理算出斜边$AC$的长度，再利用(1)中证得的角平分线分线段成比例定理求出$BD$的长，随后在$\mathrm{Rt}△ ABD$中用勾股定理算出$AD$的长，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：$\because CE// AD$，
$\therefore \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BA}{EA}$，$∠2 = ∠ACE$，$∠1 = ∠E$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠1=∠2$，
$\therefore ∠ACE=∠E$，$\therefore AE=AC$，
$\therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$。
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CD}{BD}$，
即$\dfrac{5}{3}=\dfrac{CD}{BD}$，$\therefore BD=\dfrac{3}{3+5}BC=\dfrac{3}{8}×4=\dfrac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+(\dfrac{3}{2})^2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore △ ABD$的周长为$AB+BD+AD=3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{5}}{2}=\dfrac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 证明剩余部分见上述解析；
(2) $\dfrac{9+3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
角平分线分线段成比例、平行线的性质、勾股定理
【点评】
本题为材料阅读类题型，既考查几何定理的推导逻辑，也考查新学定理的迁移应用能力，解题时需要结合已学的平行线性质、勾股定理等知识，能够有效锻炼逻辑推理和知识运用能力。
【难度系数】
0.7