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1. (2026·安庆期中)若$\frac{n}{m}=\frac{2}{3}$,则$\frac{n}{m+n}$的值为
$\frac{2}{5}$
.答案
1.$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
本题是已知两个字母的比值，求对应分式的值的问题，有两种常见解题思路：①参数法：根据已知的比例关系，设参数分别表示m、n，代入待求分式后消去参数即可得到结果；②整体代入法：将待求分式的分子分母同时除以m，把分式变形为只含$\frac{n}{m}$的形式，再代入已知比值计算。两种方法都要注意m≠0的隐含条件，避免分母无意义。
【解析】
方法一（参数法）：
∵$\frac{n}{m}=\frac{2}{3}$，
∴可设$n=2k$，$m=3k$（$k≠0$）
将$n=2k$，$m=3k$代入$\frac{n}{m+n}$得：
$\frac{n}{m+n}=\frac{2k}{3k+2k}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$
方法二（整体代入法）：
由题意可知$m≠0$，将$\frac{n}{m+n}$的分子、分母同时除以m得：
$\frac{n}{m+n}=\frac{\frac{n}{m}}{1+\frac{n}{m}}$
把$\frac{n}{m}=\frac{2}{3}$代入上式得：
$\frac{n}{m+n}=\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
比例的性质；分式化简求值
【点评】
本题是比例式求值的基础题型，两种解题方法都是比例相关计算的常用技巧，熟练掌握后可快速解决同类问题，解题时要注意隐含的分母不为0的条件。
【难度系数】
0.85
本题是已知两个字母的比值，求对应分式的值的问题，有两种常见解题思路：①参数法：根据已知的比例关系，设参数分别表示m、n，代入待求分式后消去参数即可得到结果；②整体代入法：将待求分式的分子分母同时除以m，把分式变形为只含$\frac{n}{m}$的形式，再代入已知比值计算。两种方法都要注意m≠0的隐含条件，避免分母无意义。
【解析】
方法一（参数法）：
∵$\frac{n}{m}=\frac{2}{3}$，
∴可设$n=2k$，$m=3k$（$k≠0$）
将$n=2k$，$m=3k$代入$\frac{n}{m+n}$得：
$\frac{n}{m+n}=\frac{2k}{3k+2k}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$
方法二（整体代入法）：
由题意可知$m≠0$，将$\frac{n}{m+n}$的分子、分母同时除以m得：
$\frac{n}{m+n}=\frac{\frac{n}{m}}{1+\frac{n}{m}}$
把$\frac{n}{m}=\frac{2}{3}$代入上式得：
$\frac{n}{m+n}=\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
比例的性质；分式化简求值
【点评】
本题是比例式求值的基础题型，两种解题方法都是比例相关计算的常用技巧，熟练掌握后可快速解决同类问题，解题时要注意隐含的分母不为0的条件。
【难度系数】
0.85
2. （2026·合肥期中）已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{7}$，且$a+c+e≠0$，则$\frac{b+d+f}{a+c+e}$的值为
$\frac{7}{2}$
。答案
2.$\frac{7}{2}$
解析
【分析】
本题考查比例性质的应用，看到多个比例式相等的条件，可优先选择等比性质或参数法求解：①若用等比性质，需先确认分母之和不为0，结合题设$a+c+e≠0$可推导$b+d+f$也不为0，满足等比性质的适用条件，先求出分子之和与分母之和的比值，再取倒数即可得到所求式子的值；②若用参数法，可将每个比例的分子、分母用参数表示，代入所求式子后消去参数即可得到结果。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{7}$，假设$b+d+f=0$，则$a+c+e=\frac{2}{7}b+\frac{2}{7}d+\frac{2}{7}f=\frac{2}{7}(b+d+f)=0$，与题设$a+c+e≠0$矛盾，故$b+d+f≠0$。
根据等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{2}{7}$。
因为$a+c+e≠0$，对上述等式两边同时取倒数，可得$\frac{b+d+f}{a+c+e}=\frac{7}{2}$。
方法二（参数法）：
设$a=2k$，$b=7k$，$c=2m$，$d=7m$，$e=2n$，$f=7n$（$k、m、n$为常数，且不全为0）。
由题设$a+c+e≠0$，可得$2k+2m+2n=2(k+m+n)≠0$，即$k+m+n≠0$。
代入所求式子化简：
$\frac{b+d+f}{a+c+e}=\frac{7k+7m+7n}{2k+2m+2n}=\frac{7(k+m+n)}{2(k+m+n)}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
等比性质，比例式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题时需注意等比性质的适用前提是各分母之和不为0，题设给出的$a+c+e≠0$可间接推导分母之和不为0，避免了无意义的情况。两种常用方法中参数法适用性更广，不容易出错，适合所有比例相等类的题型，建议熟练掌握。
【难度系数】
0.85
本题考查比例性质的应用，看到多个比例式相等的条件，可优先选择等比性质或参数法求解：①若用等比性质，需先确认分母之和不为0，结合题设$a+c+e≠0$可推导$b+d+f$也不为0，满足等比性质的适用条件，先求出分子之和与分母之和的比值，再取倒数即可得到所求式子的值；②若用参数法，可将每个比例的分子、分母用参数表示，代入所求式子后消去参数即可得到结果。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{7}$，假设$b+d+f=0$，则$a+c+e=\frac{2}{7}b+\frac{2}{7}d+\frac{2}{7}f=\frac{2}{7}(b+d+f)=0$，与题设$a+c+e≠0$矛盾，故$b+d+f≠0$。
根据等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{2}{7}$。
因为$a+c+e≠0$，对上述等式两边同时取倒数，可得$\frac{b+d+f}{a+c+e}=\frac{7}{2}$。
方法二（参数法）：
设$a=2k$，$b=7k$，$c=2m$，$d=7m$，$e=2n$，$f=7n$（$k、m、n$为常数，且不全为0）。
由题设$a+c+e≠0$，可得$2k+2m+2n=2(k+m+n)≠0$，即$k+m+n≠0$。
代入所求式子化简：
$\frac{b+d+f}{a+c+e}=\frac{7k+7m+7n}{2k+2m+2n}=\frac{7(k+m+n)}{2(k+m+n)}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
等比性质，比例式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题时需注意等比性质的适用前提是各分母之和不为0，题设给出的$a+c+e≠0$可间接推导分母之和不为0，避免了无意义的情况。两种常用方法中参数法适用性更广，不容易出错，适合所有比例相等类的题型，建议熟练掌握。
【难度系数】
0.85
3. （2026·安庆期中）已知$a,b,c$满足$\frac{a}{2}=\frac{b-c}{3}=\frac{a+c}{5}$，则$\frac{a+c}{2a+b}$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
3.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，通常采用设参数法求解，即设它们的比值为常数k，将a、b、c均用含k的代数式表示，再代入所求代数式，约去参数k即可得到结果。具体步骤为：先设比值为k，根据比例性质得到a、c的表达式，再求出b的表达式，最后代入分式化简求值。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b-c}{3}=\frac{a+c}{5}=k$（$k≠0$），根据比例的性质可得：
$a=2k$ ①，
$b-c=3k$ ②，
$a+c=5k$ ③。
将①代入③，得$2k + c = 5k$，解得$c=3k$。
将$c=3k$代入②，得$b - 3k = 3k$，解得$b=6k$。
把$a=2k$，$b=6k$，$c=3k$代入$\frac{a+c}{2a+b}$，得：
$\frac{a+c}{2a+b}=\frac{2k+3k}{2×2k + 6k}=\frac{5k}{10k}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的性质，参数法求值，分式化简
【点评】
本题是比例式求值的常见题型，解题核心是熟练运用设k法将多个变量用同一参数表示，代入所求分式后参数会自行消去，进而得到定值，计算时注意不要出现字母代换的错误即可。
【难度系数】
0.75
遇到连等的比例式时，通常采用设参数法求解，即设它们的比值为常数k，将a、b、c均用含k的代数式表示，再代入所求代数式，约去参数k即可得到结果。具体步骤为：先设比值为k，根据比例性质得到a、c的表达式，再求出b的表达式，最后代入分式化简求值。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b-c}{3}=\frac{a+c}{5}=k$（$k≠0$），根据比例的性质可得：
$a=2k$ ①，
$b-c=3k$ ②，
$a+c=5k$ ③。
将①代入③，得$2k + c = 5k$，解得$c=3k$。
将$c=3k$代入②，得$b - 3k = 3k$，解得$b=6k$。
把$a=2k$，$b=6k$，$c=3k$代入$\frac{a+c}{2a+b}$，得：
$\frac{a+c}{2a+b}=\frac{2k+3k}{2×2k + 6k}=\frac{5k}{10k}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的性质，参数法求值，分式化简
【点评】
本题是比例式求值的常见题型，解题核心是熟练运用设k法将多个变量用同一参数表示，代入所求分式后参数会自行消去，进而得到定值，计算时注意不要出现字母代换的错误即可。
【难度系数】
0.75
4. ★★★（2026·池州期中）下面四组线段中，成比例的是（
A.$a=2,b=3,c=4,d=5$
B.$a=1,b=2,c=2,d=4$
C.$a=4,b=6,c=8,d=10$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3},c=3,d=\sqrt{3}$
B
）A.$a=2,b=3,c=4,d=5$
B.$a=1,b=2,c=2,d=4$
C.$a=4,b=6,c=8,d=10$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3},c=3,d=\sqrt{3}$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的判定方法：先将四条线段按照长度从小到大的顺序排列，再根据比例的基本性质“比例的两内项之积等于两外项之积”，验证最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则四条线段成比例，反之则不成比例，接下来逐个选项验证即可。
【解析】
我们采用乘积法逐个判断选项：
A选项：四条线段从小到大排列为2，3，4，5，计算得$2×5=10$，$3×4=12$，$10≠12$，因此四条线段不成比例；
B选项：四条线段从小到大排列为1，2，2，4，计算得$1×4=4$，$2×2=4$，乘积相等，即$1:2=2:4$，因此四条线段成比例；
C选项：四条线段从小到大排列为4，6，8，10，计算得$4×10=40$，$6×8=48$，$40≠48$，因此四条线段不成比例；
D选项：先比较大小，$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，从小到大排列为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，3，计算得$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$，$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，$3\sqrt{2}≠3$，因此四条线段不成比例。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是比例线段的基础考查题，掌握“先排序，再用乘积法验证”的判断技巧可以快速解题，计算时要注意线段排序正确，避免因顺序错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的判定方法：先将四条线段按照长度从小到大的顺序排列，再根据比例的基本性质“比例的两内项之积等于两外项之积”，验证最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则四条线段成比例，反之则不成比例，接下来逐个选项验证即可。
【解析】
我们采用乘积法逐个判断选项：
A选项：四条线段从小到大排列为2，3，4，5，计算得$2×5=10$，$3×4=12$，$10≠12$，因此四条线段不成比例；
B选项：四条线段从小到大排列为1，2，2，4，计算得$1×4=4$，$2×2=4$，乘积相等，即$1:2=2:4$，因此四条线段成比例；
C选项：四条线段从小到大排列为4，6，8，10，计算得$4×10=40$，$6×8=48$，$40≠48$，因此四条线段不成比例；
D选项：先比较大小，$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，从小到大排列为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，3，计算得$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$，$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，$3\sqrt{2}≠3$，因此四条线段不成比例。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是比例线段的基础考查题，掌握“先排序，再用乘积法验证”的判断技巧可以快速解题，计算时要注意线段排序正确，避免因顺序错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
5. 已知线段$a=3$，$b=12$，则线段$a$，$b$的比例中项是
6
.答案
5.6
解析
【分析】
要解决求线段比例中项的问题，首先回忆比例中项的定义：若线段c是线段a、b的比例中项，则满足比例关系a:c=c:b，根据比例的基本性质可推导得c²=ab。需要注意的是，线段的长度为正数，因此计算结果需要舍去负根，只保留正的平方根。解题步骤为：先设比例中项为未知数，根据比例中项的性质列方程，代入数值求解后，结合线段的非负性确定最终结果。
【解析】
设线段a、b的比例中项为x，
根据比例中项的性质可得：$x^2 = a· b$，
将$a=3$，$b=12$代入得：$x^2 = 3×12 = 36$，
解得$x=\pm6$，
∵线段的长度为正数，
∴$x=-6$不符合题意，舍去，即$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
比例中项的概念、比例的基本性质、线段的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查比例中项的计算，易错点是容易忽略线段长度为正的要求，误保留负根得到错误结果，牢记比例中项的定义及线段的非负性即可正确作答。
【难度系数】
0.8
要解决求线段比例中项的问题，首先回忆比例中项的定义：若线段c是线段a、b的比例中项，则满足比例关系a:c=c:b，根据比例的基本性质可推导得c²=ab。需要注意的是，线段的长度为正数，因此计算结果需要舍去负根，只保留正的平方根。解题步骤为：先设比例中项为未知数，根据比例中项的性质列方程，代入数值求解后，结合线段的非负性确定最终结果。
【解析】
设线段a、b的比例中项为x，
根据比例中项的性质可得：$x^2 = a· b$，
将$a=3$，$b=12$代入得：$x^2 = 3×12 = 36$，
解得$x=\pm6$，
∵线段的长度为正数，
∴$x=-6$不符合题意，舍去，即$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
比例中项的概念、比例的基本性质、线段的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查比例中项的计算，易错点是容易忽略线段长度为正的要求，误保留负根得到错误结果，牢记比例中项的定义及线段的非负性即可正确作答。
【难度系数】
0.8
6. ★★★ (2025·六安期中)已知:线段$a,b,c$,根据以下条件回答问题.
(1)若$a=3\ \mathrm{cm},b=12\ \mathrm{cm},c$是$a,b$的比例中项线段,求$c$的长;
(2)若$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5},a-b+c=12$,求$a,b,c$的长.
(1)若$a=3\ \mathrm{cm},b=12\ \mathrm{cm},c$是$a,b$的比例中项线段,求$c$的长;
(2)若$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5},a-b+c=12$,求$a,b,c$的长.
答案
6. (1)
∵ c 是 a,b 的比例中项线段,
∴ $c^2=3×12=36$,
∴ c=6(负值舍去).即 c 的长为 6 cm.
(2)设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$,
∴ a=3k,b=4k,c=5k.
∵ a-b+c=12,
∴ 3k-4k+5k=12,
∴ k=3,
∴ a=9,b=12,c=15.
∵ c 是 a,b 的比例中项线段,
∴ $c^2=3×12=36$,
∴ c=6(负值舍去).即 c 的长为 6 cm.
(2)设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$,
∴ a=3k,b=4k,c=5k.
∵ a-b+c=12,
∴ 3k-4k+5k=12,
∴ k=3,
∴ a=9,b=12,c=15.
解析
【分析】
（1）首先回忆比例中项线段的定义：若线段c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$，由于线段长度为正数，求出$c^2$的值后取正根即可得到c的长度。
（2）对于连等的比例式，通用解题方法是引入参数k，令比例的比值等于k，即可将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知等式$a-b+c=12$，得到关于k的一元一次方程，解出k后就能分别求出a、b、c的长度。
【解析】
（1）
∵ c是a,b的比例中项线段，
∴ $c^2=a· b=3×12=36$，
∵ 线段长度为正数，
∴ $c=6$（负值舍去），即c的长为6 cm。
（2）设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$），
则$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，
将上述式子代入$a-b+c=12$，得：
$3k-4k+5k=12$，
合并同类项得$4k=12$，解得$k=3$，
∴ $a=3×3=9$，$b=4×3=12$，$c=5×3=15$。
【答案】
(1) c的长为6 cm；
(2) $a=9$，$b=12$，$c=15$。
【知识点】
比例中项的定义，比例的基本性质，连比式求值
【点评】
本题是比例线段的基础常考题，解题时需注意线段长度为非负数，求解比例中项时要舍去负根；处理连等比例式时，设参数k的方法可以将多个未知量转化为单一未知量，有效简化计算。
【难度系数】
0.7
（1）首先回忆比例中项线段的定义：若线段c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$，由于线段长度为正数，求出$c^2$的值后取正根即可得到c的长度。
（2）对于连等的比例式，通用解题方法是引入参数k，令比例的比值等于k，即可将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知等式$a-b+c=12$，得到关于k的一元一次方程，解出k后就能分别求出a、b、c的长度。
【解析】
（1）
∵ c是a,b的比例中项线段，
∴ $c^2=a· b=3×12=36$，
∵ 线段长度为正数，
∴ $c=6$（负值舍去），即c的长为6 cm。
（2）设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$），
则$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，
将上述式子代入$a-b+c=12$，得：
$3k-4k+5k=12$，
合并同类项得$4k=12$，解得$k=3$，
∴ $a=3×3=9$，$b=4×3=12$，$c=5×3=15$。
【答案】
(1) c的长为6 cm；
(2) $a=9$，$b=12$，$c=15$。
【知识点】
比例中项的定义，比例的基本性质，连比式求值
【点评】
本题是比例线段的基础常考题，解题时需注意线段长度为非负数，求解比例中项时要舍去负根；处理连等比例式时，设参数k的方法可以将多个未知量转化为单一未知量，有效简化计算。
【难度系数】
0.7
7. ★★★ (2025·铁岭模拟)玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶。实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“sol”。如图，若瓶高AB=10 cm，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC为
$5\sqrt{5}-5$
cm。答案
7.$5\sqrt{5}-5$
解析
【分析】
首先明确题意，题目指出水面高度与瓶高的比为黄金分割比，回忆黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中瓶高AB是整体长度，液面高度AC是黄金分割中对应的较长部分，因此用瓶高乘以黄金分割比即可求出AC的长度。
【解析】
根据黄金分割的性质，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
由题意得$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知$AB=10\mathrm{cm}$，代入计算：
$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5$（cm）
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割，线段的比
【点评】
本题结合生活实验场景考查黄金分割的实际应用，解题关键是牢记黄金分割的比值，准确对应题目中两个量的比例关系，代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确题意，题目指出水面高度与瓶高的比为黄金分割比，回忆黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中瓶高AB是整体长度，液面高度AC是黄金分割中对应的较长部分，因此用瓶高乘以黄金分割比即可求出AC的长度。
【解析】
根据黄金分割的性质，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
由题意得$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知$AB=10\mathrm{cm}$，代入计算：
$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5$（cm）
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割，线段的比
【点评】
本题结合生活实验场景考查黄金分割的实际应用，解题关键是牢记黄金分割的比值，准确对应题目中两个量的比例关系，代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
8. ★★★ (2026·宣城期中)线段AB的长度为1,线段AB上的点C满足$AC^2=BC·AB$,线段AC上的点D满足$AD^2=CD·AC$,线段AD上的点E满足$AE^2=DE·AD$,则线段AE的长度为
▶▶进一步挑战进阶专题:P81 专题2
$\sqrt{5}-2$
.▶▶进一步挑战进阶专题:P81 专题2
答案
8.$\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
首先观察题目给出的等式均满足“较长线段的平方=较短线段×总线段长”，符合黄金分割的定义，也可以通过设未知数列一元二次方程求解。我们可以先求出线段AC的长度，再用相同的逻辑依次求出AD、AE的长度即可。
【解析】
已知$AB=1$，设$AC=x$，则$BC=1-x$。
由$AC^2=BC·AB$，代入得：
$x^2=1×(1-x)$，整理得$x^2+x-1=0$，
因为线段长度为正，解得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
同理，点D是AC的黄金分割点，$AD=AC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$。
点E是AD的黄金分割点，$AE=AD×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$。
计算得：
$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3=\frac{(\sqrt{5}-1)^3}{8}=\frac{8\sqrt{5}-16}{8}=\sqrt{5}-2$。
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
黄金分割，比例线段，一元二次方程的应用
【点评】
本题考查黄金分割的识别与应用，既可以通过列一元二次方程逐步求解，也可以直接利用黄金比递推计算，熟练掌握黄金分割的比例关系可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
首先观察题目给出的等式均满足“较长线段的平方=较短线段×总线段长”，符合黄金分割的定义，也可以通过设未知数列一元二次方程求解。我们可以先求出线段AC的长度，再用相同的逻辑依次求出AD、AE的长度即可。
【解析】
已知$AB=1$，设$AC=x$，则$BC=1-x$。
由$AC^2=BC·AB$，代入得：
$x^2=1×(1-x)$，整理得$x^2+x-1=0$，
因为线段长度为正，解得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
同理，点D是AC的黄金分割点，$AD=AC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$。
点E是AD的黄金分割点，$AE=AD×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$。
计算得：
$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3=\frac{(\sqrt{5}-1)^3}{8}=\frac{8\sqrt{5}-16}{8}=\sqrt{5}-2$。
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
黄金分割，比例线段，一元二次方程的应用
【点评】
本题考查黄金分割的识别与应用，既可以通过列一元二次方程逐步求解，也可以直接利用黄金比递推计算，熟练掌握黄金分割的比例关系可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
