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11.有这样一道题目:“已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分,求这个等腰三角形的腰长.”小虎是这样解答的:“设这个等腰三角形的腰长为$x$ cm,则$x+\frac{1}{2}x=9$,解得$x=6$.所以腰长为6 cm.”他的解答正确吗?若不正确,请给出正确解答.
答案
11. 他的解答不正确. 正确解答如下：
由题意,画出如图所示的示意图.
$\because \ △ ABC$ 是等腰三角形,$AB=AC$,BD 是 AC 边上的中线，
$\therefore \ AB+AD=9$ 或 $AB+AD=15$.
设这个等腰三角形的腰长为 $x$ cm.
①当 $AB+AD=9$ 时,有 $x+\frac{1}{2}x=9$,解得 $x=6$.
$\because \ $ 三角形的周长为 $9+15=24(\mathrm{cm})$,
$\therefore \ $ 三边长分别为 $6\ \mathrm{cm},6\ \mathrm{cm},12\ \mathrm{cm}$.
$\because \ 6+6=12$,不符合三角形的三边关系，
$\therefore \ x=6$ 不合题意,应舍去.
②当 $AB+AD=15$ 时,有 $x+\frac{1}{2}x=15$,解得 $x=10$.
$\because \ $ 三角形的周长为 $24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \ $ 三边长分别为 $10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},4\ \mathrm{cm}$,符合三角形的三边关系.
综上可知,这个等腰三角形的腰长为 $10\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
小虎的解答错误，原因是没有考虑中线分周长的两种情况，也没有验证所得边长是否满足三角形三边关系。解题思路如下：首先明确等腰三角形一腰上的中线将周长分为两部分，分别是“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算腰长后，必须用三角形三边关系检验，排除不能构成三角形的无效解。
【解析】
解：他的解答不正确，正确解答如下：
设这个等腰三角形的腰长为$x$ cm，
$\because △ ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，BD是AC边上的中线，
$\therefore AB+AD=9$ 或 $AB+AD=15$，分两种情况讨论：
①当$AB+AD=9$时，有$x+\frac{1}{2}x=9$，解得$x=6$，
$\because$ 三角形的周长为$9+15=24(\mathrm{cm})$，
$\therefore$ 三边长分别为$6\ \mathrm{cm},6\ \mathrm{cm},12\ \mathrm{cm}$，
$\because 6+6=12$，不符合三角形的三边关系，
$\therefore x=6$不合题意，应舍去。
②当$AB+AD=15$时，有$x+\frac{1}{2}x=15$，解得$x=10$，
$\because$ 三角形的周长为$24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 三边长分别为$10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},4\ \mathrm{cm}$，符合三角形的三边关系。
综上可知，这个等腰三角形的腰长为$10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
他的解答不正确，这个等腰三角形的腰长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是仅考虑一种情况求解，或求解后未验证三边是否满足三角形的构成条件，导致出现多解错误，解题时要注意考虑所有可能的情况，养成检验结果合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
小虎的解答错误，原因是没有考虑中线分周长的两种情况，也没有验证所得边长是否满足三角形三边关系。解题思路如下：首先明确等腰三角形一腰上的中线将周长分为两部分，分别是“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算腰长后，必须用三角形三边关系检验，排除不能构成三角形的无效解。
【解析】
解：他的解答不正确，正确解答如下：
设这个等腰三角形的腰长为$x$ cm，
$\because △ ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，BD是AC边上的中线，
$\therefore AB+AD=9$ 或 $AB+AD=15$，分两种情况讨论：
①当$AB+AD=9$时，有$x+\frac{1}{2}x=9$，解得$x=6$，
$\because$ 三角形的周长为$9+15=24(\mathrm{cm})$，
$\therefore$ 三边长分别为$6\ \mathrm{cm},6\ \mathrm{cm},12\ \mathrm{cm}$，
$\because 6+6=12$，不符合三角形的三边关系，
$\therefore x=6$不合题意，应舍去。
②当$AB+AD=15$时，有$x+\frac{1}{2}x=15$，解得$x=10$，
$\because$ 三角形的周长为$24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 三边长分别为$10\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},4\ \mathrm{cm}$，符合三角形的三边关系。
综上可知，这个等腰三角形的腰长为$10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
他的解答不正确，这个等腰三角形的腰长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是仅考虑一种情况求解，或求解后未验证三边是否满足三角形的构成条件，导致出现多解错误，解题时要注意考虑所有可能的情况，养成检验结果合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且△ABC的面积是4 cm²,求图中阴影部分的面积.
答案
12. $\because \ F$ 是 $CE$ 的中点，
$\therefore \ BF$ 是 $△ BEC$ 的中线.
$\therefore \ S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}$.
同理,$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
$S_{△ EDC}=\frac{1}{2}S_{△ ADC}$.
$\therefore \ S_{△ BEC} =S_{△ BDE}+S_{△ EDC}$
$=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ADC}$
$=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$.
$\therefore \ S_{△ BEF} =\frac{1}{2}S_{△ BEC} =\frac{1}{4}S_{△ ABC} =\frac{1}{4}× 4 =1(\mathrm{cm}^2)$.
$\therefore \ $ 图中阴影部分的面积为 $1\ \mathrm{cm}^2$.
$\therefore \ BF$ 是 $△ BEC$ 的中线.
$\therefore \ S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}$.
同理,$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
$S_{△ EDC}=\frac{1}{2}S_{△ ADC}$.
$\therefore \ S_{△ BEC} =S_{△ BDE}+S_{△ EDC}$
$=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ADC}$
$=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$.
$\therefore \ S_{△ BEF} =\frac{1}{2}S_{△ BEC} =\frac{1}{4}S_{△ ABC} =\frac{1}{4}× 4 =1(\mathrm{cm}^2)$.
$\therefore \ $ 图中阴影部分的面积为 $1\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题需利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两个小三角形。首先观察到F是CE的中点，因此BF是△BEC的中线，可得阴影部分△BEF的面积为△BEC面积的$\frac{1}{2}$；接下来推导△BEC的面积：E是AD的中点，因此BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，可得$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$，$S_{△EDC}=\frac{1}{2}S_{△ADC}$，两个式子相加可得$S_{△BEC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$；最后将$S_{△ABC}=4\mathrm{cm}^2$代入逐步计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
$\because \ F$ 是 $CE$ 的中点，
$\therefore \ BF$ 是 $△ BEC$ 的中线.
$\therefore \ S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}$.
同理,$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
$S_{△ EDC}=\frac{1}{2}S_{△ ADC}$.
$\therefore \ S_{△ BEC} =S_{△ BDE}+S_{△ EDC}$
$=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ADC}$
$=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$.
$\therefore \ S_{△ BEF} =\frac{1}{2}S_{△ BEC} =\frac{1}{4}S_{△ ABC} =\frac{1}{4}× 4 =1(\mathrm{cm}^2)$.
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形中线的等积性，面积和差运算
【点评】
本题考查三角形中线与面积的关系，解题核心是掌握“三角形中线将三角形分为两个面积相等的部分”这一结论，通过逐步推导各三角形面积的比例关系即可求解，属于基础类的面积计算题目。
【难度系数】
0.8
解题需利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两个小三角形。首先观察到F是CE的中点，因此BF是△BEC的中线，可得阴影部分△BEF的面积为△BEC面积的$\frac{1}{2}$；接下来推导△BEC的面积：E是AD的中点，因此BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，可得$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$，$S_{△EDC}=\frac{1}{2}S_{△ADC}$，两个式子相加可得$S_{△BEC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$；最后将$S_{△ABC}=4\mathrm{cm}^2$代入逐步计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
$\because \ F$ 是 $CE$ 的中点，
$\therefore \ BF$ 是 $△ BEC$ 的中线.
$\therefore \ S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}$.
同理,$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
$S_{△ EDC}=\frac{1}{2}S_{△ ADC}$.
$\therefore \ S_{△ BEC} =S_{△ BDE}+S_{△ EDC}$
$=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ADC}$
$=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$.
$\therefore \ S_{△ BEF} =\frac{1}{2}S_{△ BEC} =\frac{1}{4}S_{△ ABC} =\frac{1}{4}× 4 =1(\mathrm{cm}^2)$.
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形中线的等积性，面积和差运算
【点评】
本题考查三角形中线与面积的关系，解题核心是掌握“三角形中线将三角形分为两个面积相等的部分”这一结论，通过逐步推导各三角形面积的比例关系即可求解，属于基础类的面积计算题目。
【难度系数】
0.8
