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5. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示的几何图形,若$AD// BC$,$BE// DC$,$BF$平分$∠ EBC$交$AD$于点$G$.若$∠ 1=70°$,则$∠ 2$的度数为 (
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
A
)A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先利用平行线的性质推导角的等量关系：首先由$BE// DC$可推出$∠ EBC$与$∠ 1$相等，再结合角平分线的定义求出BF平分后的$∠ FBC$的度数，最后根据$AD// BC$的平行线性质，即可得出$∠ 2$的度数。
【解析】
1. 因为 $BE// DC$，BC是两条平行线的截线，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $∠ EBC = ∠ 1 = 70°$。
2. 已知BF平分$∠ EBC$，根据角平分线的定义，得 $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ EBC = \frac{1}{2}×70° = 35°$。
3. 又因为 $AD// BC$，BF是两条平行线的截线，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $∠ 2 = ∠ FBC = 35°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础知识，解题的核心是准确识别平行线的截线，梳理清楚角之间的等量关系，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行线的性质推导角的等量关系：首先由$BE// DC$可推出$∠ EBC$与$∠ 1$相等，再结合角平分线的定义求出BF平分后的$∠ FBC$的度数，最后根据$AD// BC$的平行线性质，即可得出$∠ 2$的度数。
【解析】
1. 因为 $BE// DC$，BC是两条平行线的截线，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $∠ EBC = ∠ 1 = 70°$。
2. 已知BF平分$∠ EBC$，根据角平分线的定义，得 $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ EBC = \frac{1}{2}×70° = 35°$。
3. 又因为 $AD// BC$，BF是两条平行线的截线，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $∠ 2 = ∠ FBC = 35°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础知识，解题的核心是准确识别平行线的截线，梳理清楚角之间的等量关系，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，CD是$△ ABC$的角平分线，E是边BC上的一点，且$∠ 1 = ∠ 2$. 试判断DE与AC的位置关系，并说明理由.
答案
6. $DE// AC$.
理由:$\because \ CD$ 是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore \ ∠ ACD=∠ 2$.
$\because \ ∠ 1=∠ 2$,
$\therefore \ ∠ ACD=∠ 1$.
$\therefore \ DE// AC$.
理由:$\because \ CD$ 是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore \ ∠ ACD=∠ 2$.
$\because \ ∠ 1=∠ 2$,
$\therefore \ ∠ ACD=∠ 1$.
$\therefore \ DE// AC$.
解析
【分析】
要判断DE与AC的位置关系，首先结合图形可猜想两直线平行，根据平行线的判定定理，只需证明两条直线被CD所截形成的内错角相等即可。首先利用角平分线的定义可得∠ACD=∠2，再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到内错角∠ACD=∠1，即可推出两直线平行。
【解析】
解：$DE// AC$，理由如下：
$\because$ CD是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ACD=∠ 2$（角平分线的定义）.
又$\because ∠ 1=∠ 2$（已知），
$\therefore ∠ ACD=∠ 1$（等量代换）.
$\therefore DE// AC$（内错角相等，两直线平行）.
【答案】
$DE// AC$，理由：$\because \ CD$ 是$△ ABC$的角平分线，$\therefore \ ∠ ACD=∠ 2$；$\because \ ∠ 1=∠ 2$，$\therefore \ ∠ ACD=∠ 1$，$\therefore \ DE// AC$.
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合已知条件推导得到相等的内错角，熟练掌握角平分线的定义和平行线的判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断DE与AC的位置关系，首先结合图形可猜想两直线平行，根据平行线的判定定理，只需证明两条直线被CD所截形成的内错角相等即可。首先利用角平分线的定义可得∠ACD=∠2，再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到内错角∠ACD=∠1，即可推出两直线平行。
【解析】
解：$DE// AC$，理由如下：
$\because$ CD是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ ACD=∠ 2$（角平分线的定义）.
又$\because ∠ 1=∠ 2$（已知），
$\therefore ∠ ACD=∠ 1$（等量代换）.
$\therefore DE// AC$（内错角相等，两直线平行）.
【答案】
$DE// AC$，理由：$\because \ CD$ 是$△ ABC$的角平分线，$\therefore \ ∠ ACD=∠ 2$；$\because \ ∠ 1=∠ 2$，$\therefore \ ∠ ACD=∠ 1$，$\therefore \ DE// AC$.
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合已知条件推导得到相等的内错角，熟练掌握角平分线的定义和平行线的判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7. 用三角尺作$△ ABC$的边AB上的高,下列三角尺的摆放位置正确的是 ( 
)
)答案
7. B
解析
【分析】
要判断哪个三角尺的摆放是作AB边上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形一条边所对的顶点，向这条边（或其延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。作AB边上的高需要满足两个核心条件：一是三角尺的一条直角边要与AB边（或AB所在直线）重合，二是另一条直角边要经过AB边所对的顶点C，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，作△ABC边AB上的高，需过点C向AB边作垂线：
1. 分析选项A：三角尺的直角边未与AB重合，且直角边经过顶点A，是作BC边上高的作法，不符合要求，错误；
2. 分析选项B：三角尺的一条直角边与AB边重合，另一条直角边经过AB的对顶点C，符合AB边上高的作图要求，正确；
3. 分析选项C：三角尺的直角边经过顶点B，是作AC边上高的作法，不符合要求，错误；
4. 分析选项D：三角尺的直角边未与AB边正确重合，不符合高的作图要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义，三角形高的画法
【点评】
本题考查三角形高的作图，解题的关键是熟练掌握三角形高的定义，明确作某条边上的高时，要保证直角三角板的一条直角边与该边重合，另一条直角边经过这条边所对的顶点。
【难度系数】
0.8
要判断哪个三角尺的摆放是作AB边上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形一条边所对的顶点，向这条边（或其延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。作AB边上的高需要满足两个核心条件：一是三角尺的一条直角边要与AB边（或AB所在直线）重合，二是另一条直角边要经过AB边所对的顶点C，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，作△ABC边AB上的高，需过点C向AB边作垂线：
1. 分析选项A：三角尺的直角边未与AB重合，且直角边经过顶点A，是作BC边上高的作法，不符合要求，错误；
2. 分析选项B：三角尺的一条直角边与AB边重合，另一条直角边经过AB的对顶点C，符合AB边上高的作图要求，正确；
3. 分析选项C：三角尺的直角边经过顶点B，是作AC边上高的作法，不符合要求，错误；
4. 分析选项D：三角尺的直角边未与AB边正确重合，不符合高的作图要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义，三角形高的画法
【点评】
本题考查三角形高的作图，解题的关键是熟练掌握三角形高的定义，明确作某条边上的高时，要保证直角三角板的一条直角边与该边重合，另一条直角边经过这条边所对的顶点。
【难度系数】
0.8
8. 如图. (1) AD 是 $△ ABC$ 的角平分线, 则 $∠ BAD=$
(2) AE 是 $△ ABC$ 的中线, 则
(3) AF 是 $△ ABC$ 的高, 则 $∠$
∠CAD
$=\frac{1}{2}$ ∠CAB
;(2) AE 是 $△ ABC$ 的中线, 则
CE
$=$ BE
$=\frac{1}{2}$ BC
;(3) AF 是 $△ ABC$ 的高, 则 $∠$
AFB
$=∠$ AFC
$=90°$.答案
8. (1) ∠CAD ∠CAB
(2) CE BE BC
(3) AFB AFC
(2) CE BE BC
(3) AFB AFC
解析
【分析】
解题时结合三角形角平分线、中线、高的定义逐一推导即可：
1. 解决角平分线相关填空时，回忆角平分线的核心性质：可将一个角平分为两个相等的小角，每个小角的大小是原角的一半，对应找到AD平分的角即可填空；
2. 解决中线相关填空时，回忆中线的核心性质：可平分对边，分得的两条线段长度相等，均为原对边长度的一半，对应找到AE平分的边即可填空；
3. 解决高相关填空时，回忆高的核心性质：高与对应边互相垂直，夹角为90°，对应找到AF和BC形成的两个直角即可填空。
【解析】
(1) 根据三角形角平分线的定义，AD是$△ ABC$的角平分线，则AD平分$∠ BAC$，因此$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CAB$；
(2) 根据三角形中线的定义，AE是$△ ABC$的中线，则E是BC的中点，因此$BE=CE=\frac{1}{2}BC$；
(3) 根据三角形高的定义，AF是$△ ABC$的高，则$AF⊥ BC$，因此$∠ AFB=∠ AFC=90°$。
【答案】
(1) $∠ CAD$；$∠ CAB$
(2) $CE$；$BE$；$BC$
(3) $AFB$；$AFC$
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对三角形三类重要线段的定义的掌握，熟记相关概念即可快速作答，这类基础知识点是后续学习三角形相关性质、全等、相似等内容的核心基础。
【难度系数】
0.9
解题时结合三角形角平分线、中线、高的定义逐一推导即可：
1. 解决角平分线相关填空时，回忆角平分线的核心性质：可将一个角平分为两个相等的小角，每个小角的大小是原角的一半，对应找到AD平分的角即可填空；
2. 解决中线相关填空时，回忆中线的核心性质：可平分对边，分得的两条线段长度相等，均为原对边长度的一半，对应找到AE平分的边即可填空；
3. 解决高相关填空时，回忆高的核心性质：高与对应边互相垂直，夹角为90°，对应找到AF和BC形成的两个直角即可填空。
【解析】
(1) 根据三角形角平分线的定义，AD是$△ ABC$的角平分线，则AD平分$∠ BAC$，因此$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CAB$；
(2) 根据三角形中线的定义，AE是$△ ABC$的中线，则E是BC的中点，因此$BE=CE=\frac{1}{2}BC$；
(3) 根据三角形高的定义，AF是$△ ABC$的高，则$AF⊥ BC$，因此$∠ AFB=∠ AFC=90°$。
【答案】
(1) $∠ CAD$；$∠ CAB$
(2) $CE$；$BE$；$BC$
(3) $AFB$；$AFC$
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对三角形三类重要线段的定义的掌握，熟记相关概念即可快速作答，这类基础知识点是后续学习三角形相关性质、全等、相似等内容的核心基础。
【难度系数】
0.9
9. 如图,在$△ ABC$中,AD是中线,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F.若$AB=6\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm}$,则$\dfrac{DF}{DE}=$
$\frac{3}{2}$
.答案
9. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，AD是△ABC的中线，根据中线的性质可知中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$；再结合$DE⊥AB$、$DF⊥AC$的条件，两个小三角形的面积可分别用底AB、AC和对应的高DE、DF表示，建立等式后代入AB、AC的长度，即可求出DF与DE的比值。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$\boldsymbol{S_{△ ABD}=S_{△ ACD}}$
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · DF$
∴$\frac{1}{2} · AB · DE = \frac{1}{2} · AC · DF$
化简得：$AB · DE = AC · DF$
将$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$代入得：
$6DE = 4DF$
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式，比例计算
【点评】
本题是典型的面积法应用类题目，解题核心是利用三角形中线平分面积的性质建立等式，避免了复杂的几何证明，方法巧妙，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，AD是△ABC的中线，根据中线的性质可知中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$；再结合$DE⊥AB$、$DF⊥AC$的条件，两个小三角形的面积可分别用底AB、AC和对应的高DE、DF表示，建立等式后代入AB、AC的长度，即可求出DF与DE的比值。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$\boldsymbol{S_{△ ABD}=S_{△ ACD}}$
∵$DE⊥AB$，$DF⊥AC$
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · DF$
∴$\frac{1}{2} · AB · DE = \frac{1}{2} · AC · DF$
化简得：$AB · DE = AC · DF$
将$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$代入得：
$6DE = 4DF$
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积公式，比例计算
【点评】
本题是典型的面积法应用类题目，解题核心是利用三角形中线平分面积的性质建立等式，避免了复杂的几何证明，方法巧妙，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$△ ABC$的三条高$AD$，$BE$，$CF$相交于点$O$.
(1)写出$△ ACO$各边上的高.
(2)$BF$是哪些三角形中哪条边上的高？
(3)若$AB=12$，$CF=10$，$AD=9$，求$BC$的长.
(1)写出$△ ACO$各边上的高.
(2)$BF$是哪些三角形中哪条边上的高？
(3)若$AB=12$，$CF=10$，$AD=9$，求$BC$的长.
答案
10. (1) OE 是边 AC 上的高,CD 是边 AO 上的高,AF 是边 CO 上的高.
(2) $△ BFO$ 中边 $OF$ 上的高, $△ BCO$ 中边 $CO$ 上的高, $△ BFC$ 中边 $CF$ 上的高.
(3) $BC=\frac{40}{3}$.
(2) $△ BFO$ 中边 $OF$ 上的高, $△ BCO$ 中边 $CO$ 上的高, $△ BFC$ 中边 $CF$ 上的高.
(3) $BC=\frac{40}{3}$.
解析
【分析】
(1)解决第一问需紧扣三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高。分别针对△ACO的三条边AC、AO、CO，找对应顶点向边作的垂线段即可。
(2)第二问先明确BF垂直于CF所在直线，再找所有以BF为垂线段、以CF所在直线上的线段为底边的三角形即可。
(3)第三问利用同一个三角形面积相等的特点，用两组不同的底和高表示△ABC的面积，建立等式求解BC的长度。
【解析】
(1)根据三角形高的定义判断：
①边AC：BE是△ABC的高，即BE⊥AC，所以OE是△ACO中边AC上的高；
②边AO：AD是△ABC的高，即AD⊥BC，所以CD垂直于AO所在直线，CD是△ACO中边AO上的高；
③边CO：CF是△ABC的高，即CF⊥AB，所以AF垂直于CO所在直线，AF是△ACO中边CO上的高。
(2)已知CF⊥AB，即BF⊥CF所在直线：
①在△BFO中，BF⊥OF，故BF是△BFO中边OF上的高；
②在△BCO中，BF⊥CO的延长线，故BF是△BCO中边CO上的高；
③在△BFC中，BF⊥CF，故BF是△BFC中边CF上的高。
(3)△ABC的面积可通过两组不同的底和高计算，面积相等：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CF = \frac{1}{2} × BC × AD$
代入$AB=12$，$CF=10$，$AD=9$得：
$\frac{1}{2} × 12 × 10 = \frac{1}{2} × BC × 9$
两边同乘2消去分母：$120=9BC$
解得$BC=\frac{120}{9}=\frac{40}{3}$
【答案】
(1) OE 是边 AC 上的高,CD 是边 AO 上的高,AF 是边 CO 上的高。
(2) BF是△BFO中边OF上的高，△BCO中边CO上的高，△BFC中边CF上的高。
(3) $BC=\frac{40}{3}$
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积计算，等面积法应用
【点评】
本题核心考查三角形高的概念辨析和等面积法的使用，需要注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，准确识别高对应的底边是解题的前提，等面积法是三角形线段长度计算的常用方法，要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1)解决第一问需紧扣三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高。分别针对△ACO的三条边AC、AO、CO，找对应顶点向边作的垂线段即可。
(2)第二问先明确BF垂直于CF所在直线，再找所有以BF为垂线段、以CF所在直线上的线段为底边的三角形即可。
(3)第三问利用同一个三角形面积相等的特点，用两组不同的底和高表示△ABC的面积，建立等式求解BC的长度。
【解析】
(1)根据三角形高的定义判断：
①边AC：BE是△ABC的高，即BE⊥AC，所以OE是△ACO中边AC上的高；
②边AO：AD是△ABC的高，即AD⊥BC，所以CD垂直于AO所在直线，CD是△ACO中边AO上的高；
③边CO：CF是△ABC的高，即CF⊥AB，所以AF垂直于CO所在直线，AF是△ACO中边CO上的高。
(2)已知CF⊥AB，即BF⊥CF所在直线：
①在△BFO中，BF⊥OF，故BF是△BFO中边OF上的高；
②在△BCO中，BF⊥CO的延长线，故BF是△BCO中边CO上的高；
③在△BFC中，BF⊥CF，故BF是△BFC中边CF上的高。
(3)△ABC的面积可通过两组不同的底和高计算，面积相等：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CF = \frac{1}{2} × BC × AD$
代入$AB=12$，$CF=10$，$AD=9$得：
$\frac{1}{2} × 12 × 10 = \frac{1}{2} × BC × 9$
两边同乘2消去分母：$120=9BC$
解得$BC=\frac{120}{9}=\frac{40}{3}$
【答案】
(1) OE 是边 AC 上的高,CD 是边 AO 上的高,AF 是边 CO 上的高。
(2) BF是△BFO中边OF上的高，△BCO中边CO上的高，△BFC中边CF上的高。
(3) $BC=\frac{40}{3}$
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积计算，等面积法应用
【点评】
本题核心考查三角形高的概念辨析和等面积法的使用，需要注意钝角三角形的部分高会落在三角形外部，准确识别高对应的底边是解题的前提，等面积法是三角形线段长度计算的常用方法，要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
