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知识梳理
知识点 三角形的内角和
1. 三角形的内角和定理：
2. 几何语言:如图，
易错提示
1. 三角形的内角和定理的核心在于:无论三角形的形状、大小如何变化,其内角和始终为$180°$.
2. 用三角形的内角和定理解决问题,要确保每一步计算的准确性.
3. 为了证明的需要,有时需要在原来的图形中添加辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
易混辨析
1. 三角形的内角和定理揭示了任意三角形三个内角之间的数量关系.
2. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角,或者说至少有两个锐角.
知识点 三角形的内角和
1. 三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于 180°
.2. 几何语言:如图，
在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
.易错提示
1. 三角形的内角和定理的核心在于:无论三角形的形状、大小如何变化,其内角和始终为$180°$.
2. 用三角形的内角和定理解决问题,要确保每一步计算的准确性.
3. 为了证明的需要,有时需要在原来的图形中添加辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
易混辨析
1. 三角形的内角和定理揭示了任意三角形三个内角之间的数量关系.
2. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角,或者说至少有两个锐角.
答案
1. 三角形的内角和等于 180°
2. 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
2. 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
解析
【分析】
本题是三角形内角和定理的基础识记类题目，解题思路如下：1. 第一问考查定理的文字内容，直接回忆教材中三角形内角和定理的标准表述即可；2. 第二问考查定理的几何语言表达，需要结合给出的△ABC图形，明确三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C，将文字定理转化为符号式子即可。
【解析】
1. 三角形内角和定理是三角形相关性质中的基础定理，其标准内容为：三角形的内角和等于180°。
2. 结合题中给出的△ABC图形，该三角形的三个内角分别为顶点A、B、C对应的∠A、∠B、∠C，因此用几何语言表述内角和定理为：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。
【答案】
1. 三角形的内角和等于 180°
2. 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 几何语言表述
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对核心定理的记忆能力以及文字定理向几何符号转化的能力，是后续利用三角形内角和解决角度计算、证明类问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题是三角形内角和定理的基础识记类题目，解题思路如下：1. 第一问考查定理的文字内容，直接回忆教材中三角形内角和定理的标准表述即可；2. 第二问考查定理的几何语言表达，需要结合给出的△ABC图形，明确三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C，将文字定理转化为符号式子即可。
【解析】
1. 三角形内角和定理是三角形相关性质中的基础定理，其标准内容为：三角形的内角和等于180°。
2. 结合题中给出的△ABC图形，该三角形的三个内角分别为顶点A、B、C对应的∠A、∠B、∠C，因此用几何语言表述内角和定理为：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。
【答案】
1. 三角形的内角和等于 180°
2. 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 几何语言表述
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对核心定理的记忆能力以及文字定理向几何符号转化的能力，是后续利用三角形内角和解决角度计算、证明类问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
例 ∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角.
(1)已知∠A=40°,∠B=∠C,求∠B,∠C的度数；
(2)已知∠A−∠B=16°,∠C=54°,求∠A,∠B的度数；
(3)已知∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C,求∠A,∠B,∠C的度数.
分析:紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解.
解:(1)方法1:∵ ∠A=40°,∠B=∠C,
∴ ∠B=∠C=$\frac{180°−40°}{2}$=70°.
方法2:设∠B=∠C=m°.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ 40+m+m=180.
解得m=70.
∴ ∠B=∠C=70°.
(2)设∠A=x°,∠B=y°.
∵ ∠A−∠B=16°,∠A+∠B+∠C=180°,∠C=54°,
∴ $\begin{cases} x−y=16, \\ x+y+54=180. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=71, \\ y=55. \end{cases}$
∴ ∠A=71°,∠B=55°.
(3)∵ ∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C,
∴ ∠B=2∠A,∠C=3∠A.
设∠A=n°,则∠B=2n°,∠C=3n°.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ n+2n+3n=180.
解得n=30.
∴ ∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
(1)已知∠A=40°,∠B=∠C,求∠B,∠C的度数；
(2)已知∠A−∠B=16°,∠C=54°,求∠A,∠B的度数；
(3)已知∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C,求∠A,∠B,∠C的度数.
分析:紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解.
解:(1)方法1:∵ ∠A=40°,∠B=∠C,
∴ ∠B=∠C=$\frac{180°−40°}{2}$=70°.
方法2:设∠B=∠C=m°.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ 40+m+m=180.
解得m=70.
∴ ∠B=∠C=70°.
(2)设∠A=x°,∠B=y°.
∵ ∠A−∠B=16°,∠A+∠B+∠C=180°,∠C=54°,
∴ $\begin{cases} x−y=16, \\ x+y+54=180. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=71, \\ y=55. \end{cases}$
∴ ∠A=71°,∠B=55°.
(3)∵ ∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C,
∴ ∠B=2∠A,∠C=3∠A.
设∠A=n°,则∠B=2n°,∠C=3n°.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ n+2n+3n=180.
解得n=30.
∴ ∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
答案
解：
(1) ∵ ∠A=40°，∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=∠C=$\frac{180°-40°}{2}$=70°。
(2) 设∠A=x°，∠B=y°。
∵ ∠A−∠B=16°，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=54°，
∴ $\begin{cases} x-y=16, \\ x+y+54=180. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=71, \\ y=55. \end{cases}$
∴ ∠A=71°，∠B=55°。
(3) ∵ ∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C，
∴ ∠B=2∠A，∠C=3∠A。
设∠A=n°，则∠B=2n°，∠C=3n°。
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ n+2n+3n=180。
解得n=30。
∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。
(1) ∵ ∠A=40°，∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=∠C=$\frac{180°-40°}{2}$=70°。
(2) 设∠A=x°，∠B=y°。
∵ ∠A−∠B=16°，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=54°，
∴ $\begin{cases} x-y=16, \\ x+y+54=180. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=71, \\ y=55. \end{cases}$
∴ ∠A=71°，∠B=55°。
(3) ∵ ∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C，
∴ ∠B=2∠A，∠C=3∠A。
设∠A=n°，则∠B=2n°，∠C=3n°。
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ n+2n+3n=180。
解得n=30。
∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。
解析
【分析】
本题核心解题依据是三角形内角和定理，即三角形三个内角的和为180°，结合每小问给出的角度关系选择合适的方法求解：
(1) 已知一个角的度数，剩余两个角相等，可直接用内角和减去已知角后平分得到结果，也可设未知数列方程求解；
(2) 已知两个角的差和第三个角的度数，有两个未知量，可设两个未知数，结合角度差条件和内角和定理列二元一次方程组求解；
(3) 已知三个角的倍分关系，可将∠B、∠C统一用∠A表示，设一个未知数列一元一次方程求解。
【解析】
(1)
∵ ∠A=40°，∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=∠C=$\frac{180°-40°}{2}$=70°。
(2) 设∠A=x°，∠B=y°。
∵ ∠A−∠B=16°，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=54°，
∴ $\begin{cases} x-y=16, \\ x+y+54=180. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=71, \\ y=55. \end{cases}$
∴ ∠A=71°，∠B=55°。
(3)
∵ ∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C，
∴ ∠B=2∠A，∠C=3∠A。
设∠A=n°，则∠B=2n°，∠C=3n°。
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ n+2n+3n=180。
解得n=30。
∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。
【答案】
(1) ∠B=70°，∠C=70°；
(2) ∠A=71°，∠B=55°；
(3) ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 方程思想解几何问题
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题型，通过不同的角度关系设置，考查学生对定理的掌握情况，以及用代数方法解决几何问题的能力，是巩固基础、掌握方程思想在几何中应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题核心解题依据是三角形内角和定理，即三角形三个内角的和为180°，结合每小问给出的角度关系选择合适的方法求解：
(1) 已知一个角的度数，剩余两个角相等，可直接用内角和减去已知角后平分得到结果，也可设未知数列方程求解；
(2) 已知两个角的差和第三个角的度数，有两个未知量，可设两个未知数，结合角度差条件和内角和定理列二元一次方程组求解；
(3) 已知三个角的倍分关系，可将∠B、∠C统一用∠A表示，设一个未知数列一元一次方程求解。
【解析】
(1)
∵ ∠A=40°，∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=∠C=$\frac{180°-40°}{2}$=70°。
(2) 设∠A=x°，∠B=y°。
∵ ∠A−∠B=16°，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=54°，
∴ $\begin{cases} x-y=16, \\ x+y+54=180. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=71, \\ y=55. \end{cases}$
∴ ∠A=71°，∠B=55°。
(3)
∵ ∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C，
∴ ∠B=2∠A，∠C=3∠A。
设∠A=n°，则∠B=2n°，∠C=3n°。
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ n+2n+3n=180。
解得n=30。
∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。
【答案】
(1) ∠B=70°，∠C=70°；
(2) ∠A=71°，∠B=55°；
(3) ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 方程思想解几何问题
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题型，通过不同的角度关系设置，考查学生对定理的掌握情况，以及用代数方法解决几何问题的能力，是巩固基础、掌握方程思想在几何中应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
