1. (★★)利用因式分解计算：
(1)$202^2 + 98^2 + 202×196$；
(2)$800^2 - 1600×798 + 798^2$.

解：
(1) 原式$=202^2 + 2×202×98 + 98^2$
$=(202+98)^2$
$=300^2$
$=90000$
(2) 原式$=800^2 - 2×800×798 + 798^2$
$=(800-798)^2$
$=2^2$
$=4$

【分析】
解题时先观察算式的结构特征，不要直接硬算。首先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，反过来$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$可用于简化计算。
(1)式中，先看第三项的196，可拆为$2×98$，此时原式正好符合完全平方和公式的结构，对应$a=202$，$b=98$，套用公式即可快速计算；
(2)式中，中间项$1600×798$可变形为$2×800×798$，此时原式符合完全平方差公式的结构，对应$a=800$，$b=798$，套用公式计算即可避免大数运算。
【解析】
(1) 先将196改写为$2×98$，可得：
原式$=202^2 + 2×202×98 + 98^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，代入$a=202$，$b=98$得：
$=(202+98)^2$
$=300^2$
$=90000$
(2) 先将$1600×798$改写为$2×800×798$，可得：
原式$=800^2 - 2×800×798 + 798^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入$a=800$，$b=798$得：
$=(800-798)^2$
$=2^2$
$=4$
【答案】
(1) $\boxed{90000}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解的简便运算
【点评】
本题是因式分解简化运算的典型题型，解题核心是识别算式的结构，将其变形为完全平方公式的标准形式，可大幅降低计算量，减少大数运算的失误率。
【难度系数】
0.8

2. (★★)当n为整数时，$(n+1)^2 - (n-1)^2$能被4整除吗？请说明理由。

解：能，理由如下：
对$(n+1)^2-(n-1)^2$因式分解：
$\begin{aligned}(n+1)^2-(n-1)^2&=[(n+1)+(n-1)][(n+1)-(n-1)]\\&=2n×2\\&=4n\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$4n$是4的整数倍，因此当$n$为整数时，$(n+1)^2-(n-1)^2$能被4整除。

【分析】要判断式子能否被4整除，只需将式子化简后判断是否含有因数4即可。观察原式是两个整式的平方相减，符合平方差公式的结构特征，可优先用平方差公式因式分解简化计算，也可通过展开完全平方公式合并同类项化简，得到最简结果后结合n为整数的条件，判断结果是否为4的整数倍即可。
【解析】
解：能，理由如下：
对$(n+1)^2-(n-1)^2$因式分解：
$\begin{aligned}(n+1)^2-(n-1)^2&=[(n+1)+(n-1)][(n+1)-(n-1)]\\&=2n×2\\&=4n\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$4n$是4的整数倍，因此当$n$为整数时，$(n+1)^2-(n-1)^2$能被4整除。
【答案】能，当n为整数时，$(n+1)^2 - (n-1)^2=4n$，是4的整数倍，故能被4整除。
【知识点】平方差公式，因式分解应用，整除判定
【点评】本题考查因式分解在整除判断问题中的应用，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，快速将原式化简，属于基础类题型，能够有效巩固因式分解的基本方法。
【难度系数】0.8

3. (★★)先阅读材料,然后解决问题:
材料:因为$(x-2)(x+3)=x^2+x-6$,所以$(x^2+x-6)÷(x-2)=x+3$,即$x^2+x-6$能被$x-2$整除.所以$x-2$是$x^2+x-6$的一个因式,且当$x=2$时,$x^2+x-6=0$.
(1)类比思考:$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$,所以$(x^2+5x+6)÷(x+2)=x+3$,即$x^2+5x+6$能被________整除,所以________是$x^2+5x+6$的一个因式,且当$x=\_\_\_\_\_\_$时,$x^2+5x+6=0$.
(2)拓展探究:根据以上材料,已知多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除,试求$m$的值.

解：
(1) $x+2$；$x+2$；$-2$
(2) 因为多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除，
所以当$x+2=0$，即$x=-2$时，$x^2+mx-14=0$。
将$x=-2$代入得：
$(-2)^2 -2m -14 = 0$
$4 -2m -14 = 0$
$-2m = 10$
解得 $m=-5$。

【分析】
（1）对照材料给出的规律：若两个一次多项式相乘得到二次多项式，则二次多项式能被其中任意一个一次多项式整除，该一次多项式就是二次多项式的一个因式，且当一次多项式的值为0时，对应x值代入二次多项式的结果为0，直接对应填空即可。
（2）根据材料总结的规律：如果多项式能被$(x+a)$整除，那么当$x=-a$时，该多项式的值为0。先求出$x+2=0$时的x值，再代入多项式$x^2+mx-14$令其等于0，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 已知$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$，因此$(x^2+5x+6)÷(x+2)=x+3$，说明$x^2+5x+6$能被$x+2$整除，所以$x+2$是$x^2+5x+6$的一个因式；令$x+2=0$，解得$x=-2$，此时$x^2+5x+6=0$。
(2) 因为多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除，根据材料规律可得：当$x+2=0$即$x=-2$时，$x^2+mx-14=0$。
将$x=-2$代入多项式得：
$(-2)^2 + m×(-2) -14 = 0$
计算得$4 -2m -14 =0$
整理得$-2m = 10$
解得$m=-5$。
【答案】
(1) $x+2$；$x+2$；$-2$
(2) $m=-5$
【知识点】
因式的定义；多项式整除性质；代数式求值
【点评】
本题是材料阅读类基础题，重点考查类比迁移能力，需要先从给定材料中提炼出多项式整除、因式、多项式零点三者的对应关系，再运用规律解决拓展问题，掌握规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7

4. (★★)已知$a,b,c$为$△ ABC$的三条边的长.
(1)若$b^2 - c^2 + 2a(b - c)=0$,试判断$△ ABC$的形状;
(2)若$a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a + c)=0$,试判断$△ ABC$的形状.

解：
(1) 对已知等式左边因式分解：
$\begin{aligned}b^2 - c^2 + 2a(b - c)&=0\\(b+c)(b-c) + 2a(b-c)&=0\\(b-c)(b+c+2a)&=0\end{aligned}$
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，所以$a＞0,b＞0,c＞0$，可得$b+c+2a＞0$。
因此$b-c=0$，即$b=c$。
所以$△ ABC$是等腰三角形。
(2) 对已知等式分组变形，构造完全平方：
$\begin{aligned}a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a + c)&=0\\a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2&=0\\(a - b)^2 + (b - c)^2&=0\end{aligned}$
由平方的非负性可知：$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数的和为0，则两数均为0。
因此$a-b=0$，$b-c=0$，即$a=b$，$b=c$，可得$a=b=c$。
所以$△ ABC$是等边三角形。

【分析】
判断三角形形状的核心是推导三边a,b,c的等量关系，本题可通过代数变形化简给定的等式得到三边关系：
（1）观察第一问的等式左边，$b^2 - c^2$可利用平方差公式分解为$(b+c)(b-c)$，剩余项也含有因式$(b-c)$，因此可提取公因式将左边分解为两个因式的乘积。结合三角形三边长均为正数的性质，可判断其中恒正的因式，进而得到剩余因式为0，推导边的关系。
（2）观察第二问的等式左边，含有$a^2、b^2、c^2$和交叉项$-2ab、-2bc$，符合完全平方公式的结构特征，因此将$2b^2$拆分为两个$b^2$，分别和剩余项分组配成完全平方，再利用平方的非负性，得到各完全平方均为0，进而推导三边的等量关系。
【解析】
(1) 对已知等式左边因式分解：
$\begin{aligned}b^2 - c^2 + 2a(b - c)&=0\\(b+c)(b-c) + 2a(b-c)&=0\\(b-c)(b+c+2a)&=0\end{aligned}$
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，所以$a＞0,b＞0,c＞0$，可得$b+c+2a＞0$。
因此$b-c=0$，即$b=c$。
所以$△ ABC$是等腰三角形。
(2) 对已知等式分组变形，构造完全平方：
$\begin{aligned}a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a + c)&=0\\a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2&=0\\(a - b)^2 + (b - c)^2&=0\end{aligned}$
由平方的非负性可知：$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数的和为0，则两个非负数均为0。
因此$a-b=0$，$b-c=0$，即$a=b$，$b=c$，可得$a=b=c$。
所以$△ ABC$是等边三角形。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) $△ ABC$是等边三角形。
【知识点】
因式分解；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是因式分解应用的典型题型，通过对代数式进行因式分解、配方变形，结合三角形边长的取值特征和非负数的性质推导三边的等量关系，能够有效考查代数变形能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7