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5. (★★)若$x,y$是等腰三角形的两条边的长,且满足$4x^2 +10y^2 -12xy -4y +4=0$,求$△ ABC$的周长.
答案
解：
对已知等式变形配方：
$\begin{aligned}4x^2 + 10y^2 - 12xy - 4y + 4 &= 0 \\(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (y^2 - 4y + 4) &= 0 \\(2x - 3y)^2 + (y - 2)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方非负，即$(2x-3y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
∴ 两个非负项的和为0，仅当两项同时为0，即：
$\begin{cases}2x - 3y = 0 \\y - 2 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
分两种情况讨论等腰三角形的周长：
1. 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3，满足三角形三边关系$2+2＞3$，此时周长为$2+2+3=7$；
2. 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2，满足三角形三边关系$3+2＞3$，此时周长为$3+3+2=8$。
综上，$△ ABC$的周长为7或8。
对已知等式变形配方：
$\begin{aligned}4x^2 + 10y^2 - 12xy - 4y + 4 &= 0 \\(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (y^2 - 4y + 4) &= 0 \\(2x - 3y)^2 + (y - 2)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方非负，即$(2x-3y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
∴ 两个非负项的和为0，仅当两项同时为0，即：
$\begin{cases}2x - 3y = 0 \\y - 2 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
分两种情况讨论等腰三角形的周长：
1. 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3，满足三角形三边关系$2+2＞3$，此时周长为$2+2+3=7$；
2. 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2，满足三角形三边关系$3+2＞3$，此时周长为$3+3+2=8$。
综上，$△ ABC$的周长为7或8。
解析
【分析】
首先观察已知的二元二次方程，这类方程求未知数的值通常采用配方法，将等式左边拆分成多个完全平方式的和，再利用偶次方的非负性（平方数≥0），多个非负数的和为0时每个非负数都为0，列方程组求出x、y的值。再结合等腰三角形边长的特点，分腰长为x、腰长为y两种情况讨论，最后一定要验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），舍去不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
对已知等式变形、配方：
$\begin{aligned}4x^2 + 10y^2 - 12xy - 4y + 4 &= 0 \\(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (y^2 - 4y + 4) &= 0 \\(2x - 3y)^2 + (y - 2)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(2x-3y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
∴ 两个非负项的和为0，仅当两项同时为0，可得方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = 0 \\y - 2 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
接下来分两种情况讨论等腰三角形的周长：
1. 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3，满足三角形三边关系$2+2＞3$，此时周长为$2+2+3=7$；
2. 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2，满足三角形三边关系$3+2＞3$，此时周长为$3+3+2=8$。
【答案】
7或8
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；等腰三角形的性质
【点评】
本题是因式分解应用的典型题型，综合了代数运算和几何图形性质，解题时要注意两点：一是熟练掌握配方法拆分多项式构造完全平方式，二是等腰三角形边长不确定时要分类讨论，并且最终必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
首先观察已知的二元二次方程，这类方程求未知数的值通常采用配方法，将等式左边拆分成多个完全平方式的和，再利用偶次方的非负性（平方数≥0），多个非负数的和为0时每个非负数都为0，列方程组求出x、y的值。再结合等腰三角形边长的特点，分腰长为x、腰长为y两种情况讨论，最后一定要验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），舍去不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
对已知等式变形、配方：
$\begin{aligned}4x^2 + 10y^2 - 12xy - 4y + 4 &= 0 \\(4x^2 - 12xy + 9y^2) + (y^2 - 4y + 4) &= 0 \\(2x - 3y)^2 + (y - 2)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(2x-3y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
∴ 两个非负项的和为0，仅当两项同时为0，可得方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = 0 \\y - 2 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
接下来分两种情况讨论等腰三角形的周长：
1. 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3，满足三角形三边关系$2+2＞3$，此时周长为$2+2+3=7$；
2. 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2，满足三角形三边关系$3+2＞3$，此时周长为$3+3+2=8$。
【答案】
7或8
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；等腰三角形的性质
【点评】
本题是因式分解应用的典型题型，综合了代数运算和几何图形性质，解题时要注意两点：一是熟练掌握配方法拆分多项式构造完全平方式，二是等腰三角形边长不确定时要分类讨论，并且最终必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
6. (★★)阅读材料:若$m^2 - 2mn + 2n^2 -8n +16=0$,求$m,n$的值.
解:∵ $m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
∴ $(m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$,
即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$.
∴ $(m-n)^2=0,(n-4)^2=0$.
∴ $m-n=0,n-4=0$.
∴ $m=4,n=4$.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知$P=2x^2 +4y +13,Q=x^2 -y^2 +6x -1$,比较$P,Q$的大小;
(2)若$M=2(3x^2 +3x +1),N=4x^2 +2x -3$,试说明$M-N$为正数.
解:∵ $m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
∴ $(m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$,
即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$.
∴ $(m-n)^2=0,(n-4)^2=0$.
∴ $m-n=0,n-4=0$.
∴ $m=4,n=4$.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知$P=2x^2 +4y +13,Q=x^2 -y^2 +6x -1$,比较$P,Q$的大小;
(2)若$M=2(3x^2 +3x +1),N=4x^2 +2x -3$,试说明$M-N$为正数.
答案
解：
(1) 计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=(2x^2 +4y +13)-(x^2 -y^2 +6x -1)\\&=2x^2 +4y +13 -x^2 +y^2 -6x +1\\&=x^2 -6x +y^2 +4y +14\end{aligned}$
配方得：
$\begin{aligned}P-Q&=(x^2 -6x +9)+(y^2 +4y +4)+1\\&=(x-3)^2 + (y+2)^2 +1\end{aligned}$
$\because (x-3)^2≥0$，$(y+2)^2≥0$
$\therefore (x-3)^2 + (y+2)^2 +1≥1＞0$，即$P-Q＞0$
$\therefore P＞Q$
(2) 计算$M-N$：
$\because M=2(3x^2 +3x +1)=6x^2 +6x +2$
$\begin{aligned}\therefore M-N&=(6x^2 +6x +2)-(4x^2 +2x -3)\\&=6x^2 +6x +2 -4x^2 -2x +3\\&=2x^2 +4x +5\end{aligned}$
配方得：
$\begin{aligned}M-N&=2(x^2 +2x +1)+3\\&=2(x+1)^2 +3\end{aligned}$
$\because (x+1)^2≥0$
$\therefore 2(x+1)^2≥0$
$\therefore 2(x+1)^2 +3≥3＞0$
即$M-N$为正数。
(1) 计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=(2x^2 +4y +13)-(x^2 -y^2 +6x -1)\\&=2x^2 +4y +13 -x^2 +y^2 -6x +1\\&=x^2 -6x +y^2 +4y +14\end{aligned}$
配方得：
$\begin{aligned}P-Q&=(x^2 -6x +9)+(y^2 +4y +4)+1\\&=(x-3)^2 + (y+2)^2 +1\end{aligned}$
$\because (x-3)^2≥0$，$(y+2)^2≥0$
$\therefore (x-3)^2 + (y+2)^2 +1≥1＞0$，即$P-Q＞0$
$\therefore P＞Q$
(2) 计算$M-N$：
$\because M=2(3x^2 +3x +1)=6x^2 +6x +2$
$\begin{aligned}\therefore M-N&=(6x^2 +6x +2)-(4x^2 +2x -3)\\&=6x^2 +6x +2 -4x^2 -2x +3\\&=2x^2 +4x +5\end{aligned}$
配方得：
$\begin{aligned}M-N&=2(x^2 +2x +1)+3\\&=2(x+1)^2 +3\end{aligned}$
$\because (x+1)^2≥0$
$\therefore 2(x+1)^2≥0$
$\therefore 2(x+1)^2 +3≥3＞0$
即$M-N$为正数。
解析
【分析】
比较两个代数式的大小或判断代数式的正负性，常用作差法：通过计算两个代数式的差，将差利用配方法转化为若干个平方项与常数的和，再结合平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0）判断差的符号，进而得到结论。
(1)比较P、Q的大小，先计算P-Q，去括号合并同类项后，对含x、y的项分别配方，根据平方非负性判断P-Q的符号，即可得到P、Q的大小关系；
(2)要说明M-N为正数，先展开M的表达式，再计算M-N，合并同类项后配方，根据平方非负性判断M-N恒大于0即可得证。
【解析】
(1) 计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=(2x^2 +4y +13)-(x^2 -y^2 +6x -1)\\&=2x^2 +4y +13 -x^2 +y^2 -6x +1\\&=x^2 -6x +y^2 +4y +14\end{aligned}$
配方得：
$\begin{aligned}P-Q&=(x^2 -6x +9)+(y^2 +4y +4)+1\\&=(x-3)^2 + (y+2)^2 +1\end{aligned}$
$\because (x-3)^2≥0$，$(y+2)^2≥0$
$\therefore (x-3)^2 + (y+2)^2 +1≥1＞0$，即$P-Q＞0$
$\therefore P＞Q$
(2) 计算$M-N$：
先展开$M$的表达式：$M=2(3x^2 +3x +1)=6x^2 +6x +2$
$\begin{aligned}\therefore M-N&=(6x^2 +6x +2)-(4x^2 +2x -3)\\&=6x^2 +6x +2 -4x^2 -2x +3\\&=2x^2 +4x +5\end{aligned}$
配方得：
$\begin{aligned}M-N&=2(x^2 +2x +1)+3\\&=2(x+1)^2 +3\end{aligned}$
$\because (x+1)^2≥0$
$\therefore 2(x+1)^2≥0$
$\therefore 2(x+1)^2 +3≥3＞0$
即$M-N$为正数。
【答案】
(1) $P＞Q$；
(2) $M-N$为正数。
【知识点】
作差法比较大小；配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题是配方法与非负性结合的典型应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，准确对代数式进行配方，通过非负性判断代数式的符号，属于因式分解应用的基础题型，掌握配方技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小或判断代数式的正负性，常用作差法：通过计算两个代数式的差，将差利用配方法转化为若干个平方项与常数的和，再结合平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0）判断差的符号，进而得到结论。
(1)比较P、Q的大小，先计算P-Q，去括号合并同类项后，对含x、y的项分别配方，根据平方非负性判断P-Q的符号，即可得到P、Q的大小关系；
(2)要说明M-N为正数，先展开M的表达式，再计算M-N，合并同类项后配方，根据平方非负性判断M-N恒大于0即可得证。
【解析】
(1) 计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P-Q&=(2x^2 +4y +13)-(x^2 -y^2 +6x -1)\\&=2x^2 +4y +13 -x^2 +y^2 -6x +1\\&=x^2 -6x +y^2 +4y +14\end{aligned}$
配方得：
$\begin{aligned}P-Q&=(x^2 -6x +9)+(y^2 +4y +4)+1\\&=(x-3)^2 + (y+2)^2 +1\end{aligned}$
$\because (x-3)^2≥0$，$(y+2)^2≥0$
$\therefore (x-3)^2 + (y+2)^2 +1≥1＞0$，即$P-Q＞0$
$\therefore P＞Q$
(2) 计算$M-N$：
先展开$M$的表达式：$M=2(3x^2 +3x +1)=6x^2 +6x +2$
$\begin{aligned}\therefore M-N&=(6x^2 +6x +2)-(4x^2 +2x -3)\\&=6x^2 +6x +2 -4x^2 -2x +3\\&=2x^2 +4x +5\end{aligned}$
配方得：
$\begin{aligned}M-N&=2(x^2 +2x +1)+3\\&=2(x+1)^2 +3\end{aligned}$
$\because (x+1)^2≥0$
$\therefore 2(x+1)^2≥0$
$\therefore 2(x+1)^2 +3≥3＞0$
即$M-N$为正数。
【答案】
(1) $P＞Q$；
(2) $M-N$为正数。
【知识点】
作差法比较大小；配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题是配方法与非负性结合的典型应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，准确对代数式进行配方，通过非负性判断代数式的符号，属于因式分解应用的基础题型，掌握配方技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7. (★★)已知$a,b,c$为$△ ABC$的三条边的长.
(1)判断$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$的正负；
(2)判断$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$的正负.
(1)判断$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$的正负；
(2)判断$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$的正负.
答案
解：
(1) 对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab + b^2 - c^2&=(a-b)^2 - c^2\\&=(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
∵a,b,c为△ABC的三边长，
∴$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a-b+c＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
∴$(a-b+c)(a-b-c)＜0$，
即$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$的值为负。
(2) 对原式因式分解：
$\begin{aligned}(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2&=(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)\\&=[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2]\\&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
∵a,b,c为△ABC的三边长，
∴$a+b+c＞0$，$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a+b-c＞0$，$a-b+c＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
∴四个因式的乘积为负，
即$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$的值为负。
(1) 对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab + b^2 - c^2&=(a-b)^2 - c^2\\&=(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
∵a,b,c为△ABC的三边长，
∴$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a-b+c＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
∴$(a-b+c)(a-b-c)＜0$，
即$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$的值为负。
(2) 对原式因式分解：
$\begin{aligned}(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2&=(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)\\&=[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2]\\&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
∵a,b,c为△ABC的三边长，
∴$a+b+c＞0$，$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a+b-c＞0$，$a-b+c＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
∴四个因式的乘积为负，
即$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$的值为负。
解析
【分析】
本题考查因式分解与三角形三边关系的综合应用，解题思路如下：
(1) 观察式子$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$，前三项符合完全平方公式结构，先分组用完全平方公式分解，再整体用平方差公式因式分解为两个一次因式的乘积；再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断两个因式的正负，最终确定原式的符号。
(2) 观察式子$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$，整体符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，先用平方差公式因式分解，再对分解后的两个式子分别整理，用完全平方公式变形后再次用平方差公式分解，得到四个一次因式的乘积；再结合三角形三边关系判断每个因式的正负，最终确定原式的符号。
【解析】
(1) 对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab + b^2 - c^2&=(a-b)^2 - c^2\\&=(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
∵$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，
∴根据三角形三边关系可得：$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a-b+c=(a+c)-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
∴两个因式乘积为负，即$a^2 - 2ab + b^2 - c^2＜0$。
(2) 对原式因式分解：
$\begin{aligned}(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2&=(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)\\&=[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2]\\&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
∵$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，
∴$a+b+c＞0$，$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a+b-c＞0$，$a-b+c=(a+c)-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
∴四个因式的乘积为负，即$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2＜0$。
【答案】
(1) 负；(2) 负
【知识点】
因式分解的应用；三角形三边关系；乘法公式的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，要求熟练掌握完全平方公式、平方差公式的变形特点，灵活对多项式进行因式分解，同时能准确运用三角形三边关系判断因式的符号，能较好地锻炼学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查因式分解与三角形三边关系的综合应用，解题思路如下：
(1) 观察式子$a^2 - 2ab + b^2 - c^2$，前三项符合完全平方公式结构，先分组用完全平方公式分解，再整体用平方差公式因式分解为两个一次因式的乘积；再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断两个因式的正负，最终确定原式的符号。
(2) 观察式子$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$，整体符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，先用平方差公式因式分解，再对分解后的两个式子分别整理，用完全平方公式变形后再次用平方差公式分解，得到四个一次因式的乘积；再结合三角形三边关系判断每个因式的正负，最终确定原式的符号。
【解析】
(1) 对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab + b^2 - c^2&=(a-b)^2 - c^2\\&=(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
∵$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，
∴根据三角形三边关系可得：$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a-b+c=(a+c)-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
∴两个因式乘积为负，即$a^2 - 2ab + b^2 - c^2＜0$。
(2) 对原式因式分解：
$\begin{aligned}(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2&=(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)\\&=[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2]\\&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)\end{aligned}$
∵$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，
∴$a+b+c＞0$，$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$，
∴$a+b-c＞0$，$a-b+c=(a+c)-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
∴四个因式的乘积为负，即$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2＜0$。
【答案】
(1) 负；(2) 负
【知识点】
因式分解的应用；三角形三边关系；乘法公式的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，要求熟练掌握完全平方公式、平方差公式的变形特点，灵活对多项式进行因式分解，同时能准确运用三角形三边关系判断因式的符号，能较好地锻炼学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8. (★★)观察下列各式：
$1^2 + (1×2)^2 + 2^2 = 9 = 3^2$；
$2^2 + (2×3)^2 + 3^2 = 49 = 7^2$；
$3^2 + (3×4)^2 + 4^2 = 169 = 13^2$；
……
你发现了什么规律？请直接用含有$n$($n$为正整数)的等式表示出来。
$1^2 + (1×2)^2 + 2^2 = 9 = 3^2$；
$2^2 + (2×3)^2 + 3^2 = 49 = 7^2$；
$3^2 + (3×4)^2 + 4^2 = 169 = 13^2$；
……
你发现了什么规律？请直接用含有$n$($n$为正整数)的等式表示出来。
答案
解：
规律为：$\boldsymbol{n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = (n^2 + n + 1)^2}$（$n$为正整数）
验证如下：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=n^2 + n^2(n+1)^2 + (n+1)^2\\&=[n(n+1)]^2 + n^2 + n^2 + 2n + 1\\&=[n(n+1)]^2 + 2· n(n+1) + 1\\&=[n(n+1) + 1]^2\\&=(n^2 + n + 1)^2 = \mathrm{右边}\end{aligned}$
该等式成立。
规律为：$\boldsymbol{n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = (n^2 + n + 1)^2}$（$n$为正整数）
验证如下：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=n^2 + n^2(n+1)^2 + (n+1)^2\\&=[n(n+1)]^2 + n^2 + n^2 + 2n + 1\\&=[n(n+1)]^2 + 2· n(n+1) + 1\\&=[n(n+1) + 1]^2\\&=(n^2 + n + 1)^2 = \mathrm{右边}\end{aligned}$
该等式成立。
解析
【分析】
首先观察给出的3个等式的结构特征，先确定等式左右两边各部分与式子序号n的对应关系：①左边：第1个底数等于n，第2个底数是相邻正整数n和n+1的乘积，第3个底数等于n+1，三部分均为平方后相加；②右边：观察结果的底数，第1个式子底数3=1×2+1，第2个式子底数7=2×3+1，第3个式子底数13=3×4+1，可推得第n个式子右边的底数为n(n+1)+1，即n²+n+1，整体为完全平方形式。最后可通过整式运算、因式分解对猜想的规律进行验证，确认等式成立。
【解析】
先根据观察猜想规律，再验证规律的正确性：
猜想规律为：$n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = (n^2 + n + 1)^2$（$n$为正整数）
验证如下：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=n^2 + n^2(n+1)^2 + (n+1)^2\\&=[n(n+1)]^2 + n^2 + (n^2 + 2n + 1)\\&=[n(n+1)]^2 + 2·n(n+1) + 1\end{aligned}$
将$n(n+1)$看作整体，上式符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=[n(n+1)+1]^2\\&=(n^2 + n + 1)^2 = \mathrm{右边}\end{aligned}$
故猜想的规律成立。
【答案】
$\boldsymbol{n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = (n^2 + n + 1)^2}$（$n$为正整数）
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，因式分解应用
【点评】
本题属于规律探究类典型题型，既考察学生的观察归纳能力，要求从多个已知等式中提炼共性得到通用规律，也考察学生对整式运算、因式分解方法的掌握程度，需要通过严谨的代数变形验证规律的正确性，兼顾了探究能力和运算能力的考察。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的3个等式的结构特征，先确定等式左右两边各部分与式子序号n的对应关系：①左边：第1个底数等于n，第2个底数是相邻正整数n和n+1的乘积，第3个底数等于n+1，三部分均为平方后相加；②右边：观察结果的底数，第1个式子底数3=1×2+1，第2个式子底数7=2×3+1，第3个式子底数13=3×4+1，可推得第n个式子右边的底数为n(n+1)+1，即n²+n+1，整体为完全平方形式。最后可通过整式运算、因式分解对猜想的规律进行验证，确认等式成立。
【解析】
先根据观察猜想规律，再验证规律的正确性：
猜想规律为：$n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = (n^2 + n + 1)^2$（$n$为正整数）
验证如下：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=n^2 + n^2(n+1)^2 + (n+1)^2\\&=[n(n+1)]^2 + n^2 + (n^2 + 2n + 1)\\&=[n(n+1)]^2 + 2·n(n+1) + 1\end{aligned}$
将$n(n+1)$看作整体，上式符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=[n(n+1)+1]^2\\&=(n^2 + n + 1)^2 = \mathrm{右边}\end{aligned}$
故猜想的规律成立。
【答案】
$\boldsymbol{n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = (n^2 + n + 1)^2}$（$n$为正整数）
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，因式分解应用
【点评】
本题属于规律探究类典型题型，既考察学生的观察归纳能力，要求从多个已知等式中提炼共性得到通用规律，也考察学生对整式运算、因式分解方法的掌握程度，需要通过严谨的代数变形验证规律的正确性，兼顾了探究能力和运算能力的考察。
【难度系数】
0.7
