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知识建构
因式分解
定义：把一个$\underline{\quad①\quad}$化成几个$\underline{\quad②\quad}$的乘积的形式叫作这个多项式的因式分解，也叫作这个多项式分解因式
公因式：$\underline{\quad③\quad}$
提公因式法：$\underline{\quad④\quad}$
平方差公式因式分解：
$a^2 - b^2 = \underline{\quad⑤\quad}$
完全平方公式因式分解：
$a^2 + 2ab + b^2 = \underline{\quad⑥\quad}$
$a^2 - 2ab + b^2 = \underline{\quad⑦\quad}$
填空：
①______ ②______ ③______ ④______ ⑤______ ⑥______ ⑦______
因式分解
定义：把一个$\underline{\quad①\quad}$化成几个$\underline{\quad②\quad}$的乘积的形式叫作这个多项式的因式分解，也叫作这个多项式分解因式
公因式：$\underline{\quad③\quad}$
提公因式法：$\underline{\quad④\quad}$
平方差公式因式分解：
$a^2 - b^2 = \underline{\quad⑤\quad}$
完全平方公式因式分解：
$a^2 + 2ab + b^2 = \underline{\quad⑥\quad}$
$a^2 - 2ab + b^2 = \underline{\quad⑦\quad}$
填空：
①______ ②______ ③______ ④______ ⑤______ ⑥______ ⑦______
答案
解：
① 多项式
② 整式
③ 多项式各项都含有的相同因式
④ 当多项式的各项有公因式时，将这个公因式提取出来，把多项式写成公因式与剩余因式的乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法
⑤ $(a+b)(a-b)$
⑥ $(a+b)^2$
⑦ $(a-b)^2$
① 多项式
② 整式
③ 多项式各项都含有的相同因式
④ 当多项式的各项有公因式时，将这个公因式提取出来，把多项式写成公因式与剩余因式的乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法
⑤ $(a+b)(a-b)$
⑥ $(a+b)^2$
⑦ $(a-b)^2$
解析
【分析】
本题考查因式分解的相关基础概念与公式，解题时只需回忆对应知识点逐个填空即可：首先回忆因式分解的定义明确①②的内容，再回忆公因式、提公因式法的定义填写③④，最后逆用乘法公式写出因式分解的结果填写⑤⑥⑦即可，所有内容均为基础识记类知识点，牢记概念就能正确作答。
【解析】
① 根据因式分解的定义，因式分解的对象是多项式，因此①填多项式；
② 因式分解的结果要求是几个整式的乘积形式，因此②填整式；
③ 公因式的定义为多项式各项都含有的相同因式，因此③对应填写该定义内容；
④ 提公因式法的定义为：当多项式的各项有公因式时，将这个公因式提取出来，把多项式写成公因式与剩余因式的乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法，因此④对应填写该定义内容；
⑤ 逆用平方差乘法公式，可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此⑤填$(a+b)(a-b)$；
⑥ 逆用完全平方和公式，可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，因此⑥填$(a+b)^2$；
⑦ 逆用完全平方差公式，可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此⑦填$(a-b)^2$。
【答案】
① 多项式；② 整式；③ 多项式各项都含有的相同因式；④ 当多项式的各项有公因式时，将这个公因式提取出来，把多项式写成公因式与剩余因式的乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法；⑤ $(a+b)(a-b)$；⑥ $(a+b)^2$；⑦ $(a-b)^2$
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，内容均为因式分解模块的入门基础知识，是后续进行复杂因式分解运算及相关代数化简的基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解的相关基础概念与公式，解题时只需回忆对应知识点逐个填空即可：首先回忆因式分解的定义明确①②的内容，再回忆公因式、提公因式法的定义填写③④，最后逆用乘法公式写出因式分解的结果填写⑤⑥⑦即可，所有内容均为基础识记类知识点，牢记概念就能正确作答。
【解析】
① 根据因式分解的定义，因式分解的对象是多项式，因此①填多项式；
② 因式分解的结果要求是几个整式的乘积形式，因此②填整式；
③ 公因式的定义为多项式各项都含有的相同因式，因此③对应填写该定义内容；
④ 提公因式法的定义为：当多项式的各项有公因式时，将这个公因式提取出来，把多项式写成公因式与剩余因式的乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法，因此④对应填写该定义内容；
⑤ 逆用平方差乘法公式，可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此⑤填$(a+b)(a-b)$；
⑥ 逆用完全平方和公式，可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，因此⑥填$(a+b)^2$；
⑦ 逆用完全平方差公式，可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此⑦填$(a-b)^2$。
【答案】
① 多项式；② 整式；③ 多项式各项都含有的相同因式；④ 当多项式的各项有公因式时，将这个公因式提取出来，把多项式写成公因式与剩余因式的乘积的形式，这种分解因式的方法就是提公因式法；⑤ $(a+b)(a-b)$；⑥ $(a+b)^2$；⑦ $(a-b)^2$
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，内容均为因式分解模块的入门基础知识，是后续进行复杂因式分解运算及相关代数化简的基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
1. (★)下列等式从左到右的变形是因式分解的是 【 】
A.$6a^2b^2 = 3ab · 2ab$
B.$\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ay = \frac{1}{2}a(1 - y)$
C.$2x^2 + 8x - 1 = 2x(x + 4) - 1$
D.$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$
A.$6a^2b^2 = 3ab · 2ab$
B.$\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ay = \frac{1}{2}a(1 - y)$
C.$2x^2 + 8x - 1 = 2x(x + 4) - 1$
D.$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$
答案
B
解析
【分析】
要判断等式从左到右的变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，判断时需同时满足三个要求：1. 等式左边必须是多项式；2. 等式右边必须是几个整式的乘积形式，不能有加减项作为整体；3. 左右两边恒等。接下来对照这三个要求逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：等式左边的$6a^2b^2$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，故A错误；
选项B：等式左边$\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ay$是多项式，右边$\frac{1}{2}a(1 - y)$是两个整式$\frac{1}{2}a$和$(1-y)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故B正确；
选项C：等式右边$2x(x + 4) - 1$是“乘积减1”的形式，整体不是几个整式的积，不符合要求，故C错误；
选项D：等式左边是两个整式的乘积，右边是多项式，该变形是整式的乘法运算，属于因式分解的逆过程，不是因式分解，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解定义的两个核心特征：左为多项式、右为整式乘积，同时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要判断等式从左到右的变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，判断时需同时满足三个要求：1. 等式左边必须是多项式；2. 等式右边必须是几个整式的乘积形式，不能有加减项作为整体；3. 左右两边恒等。接下来对照这三个要求逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：等式左边的$6a^2b^2$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，故A错误；
选项B：等式左边$\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ay$是多项式，右边$\frac{1}{2}a(1 - y)$是两个整式$\frac{1}{2}a$和$(1-y)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故B正确；
选项C：等式右边$2x(x + 4) - 1$是“乘积减1”的形式，整体不是几个整式的积，不符合要求，故C错误；
选项D：等式左边是两个整式的乘积，右边是多项式，该变形是整式的乘法运算，属于因式分解的逆过程，不是因式分解，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解定义的两个核心特征：左为多项式、右为整式乘积，同时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. (★)根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:.
答案
解：左侧四个图形的面积和为：
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
右侧拼成的大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
由拼图前后总面积相等可得：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
右侧拼成的大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
由拼图前后总面积相等可得：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
解析
【分析】
解决这类借助几何拼图的因式分解问题，核心依据是拼图前后图形的总面积不变。解题思路分三步：第一步分别计算左侧每一个小图形的面积，相加得到多项式形式的总面积；第二步观察右侧拼接完成的大长方形，确定它的长和宽，用长乘宽得到乘积形式的面积表达式；第三步根据前后面积相等建立等式，即可得到对应的因式分解式子。
【解析】
首先计算左侧四个图形的总面积：
边长为$x$的正方形面积为$x^2$，长为$x$、宽为2的长方形面积为$2x$，长为4、宽为$x$的长方形面积为$4x$，长为4、宽为2的长方形面积为$2×4=8$，因此总面积为：
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
再计算右侧拼接后大长方形的面积：
大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，因此面积为$(x+2)(x+4)$。
根据拼图前后总面积相等，可得：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
【答案】
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
【知识点】
因式分解的几何意义；整式乘法；面积恒等
【点评】
本题通过几何拼图直观体现了因式分解与整式乘法的互逆关系，解题的关键是抓住拼接前后总面积不变的特点，属于基础题型，能帮助学生更具象地理解因式分解的内涵。
【难度系数】
0.85
解决这类借助几何拼图的因式分解问题，核心依据是拼图前后图形的总面积不变。解题思路分三步：第一步分别计算左侧每一个小图形的面积，相加得到多项式形式的总面积；第二步观察右侧拼接完成的大长方形，确定它的长和宽，用长乘宽得到乘积形式的面积表达式；第三步根据前后面积相等建立等式，即可得到对应的因式分解式子。
【解析】
首先计算左侧四个图形的总面积：
边长为$x$的正方形面积为$x^2$，长为$x$、宽为2的长方形面积为$2x$，长为4、宽为$x$的长方形面积为$4x$，长为4、宽为2的长方形面积为$2×4=8$，因此总面积为：
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
再计算右侧拼接后大长方形的面积：
大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，因此面积为$(x+2)(x+4)$。
根据拼图前后总面积相等，可得：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
【答案】
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
【知识点】
因式分解的几何意义；整式乘法；面积恒等
【点评】
本题通过几何拼图直观体现了因式分解与整式乘法的互逆关系，解题的关键是抓住拼接前后总面积不变的特点，属于基础题型，能帮助学生更具象地理解因式分解的内涵。
【难度系数】
0.85
3. (★)在多项式$8a^3b^2 - 4a^3bc$中，各项的公因式是 【 】
A.$a^3b$
B.$4a^3b$
C.$4a^3$
D.$-a^3$
A.$a^3b$
B.$4a^3b$
C.$4a^3$
D.$-a^3$
答案
B
解析
【分析】
要确定多项式各项的公因式，可按固定步骤思考：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找出两项都包含的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后把这三部分组合就是公因式。我们按照这个思路对题目中的多项式逐项分析，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：确定公因式分三步操作：
1. 求系数的最大公约数：两项系数分别为8和-4，它们绝对值的最大公约数是4；
2. 找公共字母：两项都含有的字母是a、b，c仅在第二项出现，不属于公共字母；
3. 取相同字母的最低次幂：a在两项中的次数都是3，最低次为3；b在第一项中次数为2，第二项中次数为1，最低次为1。
将三部分组合可得公因式为$4a^3b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题是公因式相关的基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的原则就能快速解题，是学习因式分解的必备基础。
【难度系数】
0.9
要确定多项式各项的公因式，可按固定步骤思考：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找出两项都包含的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后把这三部分组合就是公因式。我们按照这个思路对题目中的多项式逐项分析，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：确定公因式分三步操作：
1. 求系数的最大公约数：两项系数分别为8和-4，它们绝对值的最大公约数是4；
2. 找公共字母：两项都含有的字母是a、b，c仅在第二项出现，不属于公共字母；
3. 取相同字母的最低次幂：a在两项中的次数都是3，最低次为3；b在第一项中次数为2，第二项中次数为1，最低次为1。
将三部分组合可得公因式为$4a^3b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题是公因式相关的基础题型，核心考查公因式的确定规则，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的原则就能快速解题，是学习因式分解的必备基础。
【难度系数】
0.9
4. (★)把$-9x^3 +6x^2 -3x$分解因式时，提出公因式后，另一个因式是
【 】
A.$3x^2 -2x$
B.$3x^2 -2x -1$
C.$-9x^2 +6x$
D.$3x^2 -2x +1$
【 】
A.$3x^2 -2x$
B.$3x^2 -2x -1$
C.$-9x^2 +6x$
D.$3x^2 -2x +1$
答案
D
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先要确定多项式各项的公因式，公因式的确定方法是：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，若首项系数为负，通常将负号一起纳入公因式；再用多项式的每一项分别除以公因式，所得的商相加就是提取公因式后剩下的另一个因式，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：确定公因式
多项式$-9x^3 +6x^2 -3x$中，各项系数的最大公约数是3，各项均含有字母$x$，且$x$的最低次数为1，又因为首项系数为负，因此公因式为$-3x$。
第二步：提取公因式计算另一个因式
将多项式每一项除以公因式$-3x$：
$-9x^3÷(-3x)=3x^2$，
$6x^2÷(-3x)=-2x$，
$-3x÷(-3x)=1$，
因此提取公因式后可得：$-9x^3 +6x^2 -3x=-3x(3x^2-2x+1)$，所以另一个因式为$3x^2-2x+1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确找到公因式，提取公因式时需要注意每一项的符号变化，同时不要漏写常数项，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先要确定多项式各项的公因式，公因式的确定方法是：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，若首项系数为负，通常将负号一起纳入公因式；再用多项式的每一项分别除以公因式，所得的商相加就是提取公因式后剩下的另一个因式，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：确定公因式
多项式$-9x^3 +6x^2 -3x$中，各项系数的最大公约数是3，各项均含有字母$x$，且$x$的最低次数为1，又因为首项系数为负，因此公因式为$-3x$。
第二步：提取公因式计算另一个因式
将多项式每一项除以公因式$-3x$：
$-9x^3÷(-3x)=3x^2$，
$6x^2÷(-3x)=-2x$，
$-3x÷(-3x)=1$，
因此提取公因式后可得：$-9x^3 +6x^2 -3x=-3x(3x^2-2x+1)$，所以另一个因式为$3x^2-2x+1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确找到公因式，提取公因式时需要注意每一项的符号变化，同时不要漏写常数项，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
5. (★)若多项式$x^2 - m$可以在有理数范围内用平方差公式分解因式，则$m$的值可以为
【】
A.6
B.-6
C.9
D.-9
【】
A.6
B.-6
C.9
D.-9
答案
C
解析
【分析】
首先回忆平方差公式分解因式的结构特征：能用平方差公式分解的多项式必须是两个数的平方相减的形式，即形如$a^2 - b^2$，且当分解范围为有理数时，$a$、$b$都需要是有理数。本题给出的多项式是$x^2 - m$，其中$x^2$已经是平方项，因此需要满足两个条件：①$m$为正数（保证是两个平方项作差，而非作和）；②$m$是某个有理数的平方。接下来结合选项逐一判断即可。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，要求多项式为两个平方项的差，且在有理数范围内分解时，两项开平方后均为有理数。
对各选项逐一分析：
选项A：$m=6$，6不是有理数的平方，$x^2 - 6$无法在有理数范围内用平方差分解，排除；
选项B：$m=-6$，此时多项式为$x^2 - (-6) = x^2 + 6$，是两个平方项的和，不符合平方差的结构，排除；
选项C：$m=9$，$9=3^2$，是有理数的平方，此时$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$，符合要求；
选项D：$m=-9$，此时多项式为$x^2 - (-9) = x^2 + 9$，是两个平方项的和，不符合平方差的结构，排除。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 有理数的概念
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的适用条件，解题关键是准确把握平方差公式“两个平方项作差”的结构特征，同时注意题目限定的分解范围，属于基础题型，熟练掌握公式结构即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先回忆平方差公式分解因式的结构特征：能用平方差公式分解的多项式必须是两个数的平方相减的形式，即形如$a^2 - b^2$，且当分解范围为有理数时，$a$、$b$都需要是有理数。本题给出的多项式是$x^2 - m$，其中$x^2$已经是平方项，因此需要满足两个条件：①$m$为正数（保证是两个平方项作差，而非作和）；②$m$是某个有理数的平方。接下来结合选项逐一判断即可。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，要求多项式为两个平方项的差，且在有理数范围内分解时，两项开平方后均为有理数。
对各选项逐一分析：
选项A：$m=6$，6不是有理数的平方，$x^2 - 6$无法在有理数范围内用平方差分解，排除；
选项B：$m=-6$，此时多项式为$x^2 - (-6) = x^2 + 6$，是两个平方项的和，不符合平方差的结构，排除；
选项C：$m=9$，$9=3^2$，是有理数的平方，此时$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$，符合要求；
选项D：$m=-9$，此时多项式为$x^2 - (-9) = x^2 + 9$，是两个平方项的和，不符合平方差的结构，排除。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 有理数的概念
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的适用条件，解题关键是准确把握平方差公式“两个平方项作差”的结构特征，同时注意题目限定的分解范围，属于基础题型，熟练掌握公式结构即可快速作答。
【难度系数】
0.9
