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6. (★)若把$x^2+mx+16$分解因式的结果为$(x-4)^2$，则$m$的值为【 】
A.4
B.-8
C.$\pm8$
D.8
A.4
B.-8
C.$\pm8$
D.8
答案
B
解析
利用完全平方公式将因式分解的结果展开：$(x-4)^2=x^2-8x+16$，由题意可知$x^2+mx+16=x^2-8x+16$，对比等式两边的一次项系数，可得$m=-8$。
7. (★)多项式$m^2 -4$与$m^2 -4m +4$有相同的因式是 【 】
A.$m+2$
B.$m-2$
C.$m+4$
D.$m-4$
A.$m+2$
B.$m-2$
C.$m+4$
D.$m-4$
答案
B
解析
对两个多项式分别因式分解：
1. 由平方差公式得：$m^2-4=(m+2)(m-2)$
2. 由完全平方公式得：$m^2-4m+4=(m-2)^2$
对比两个多项式的所有因式，可得它们相同的因式是$m-2$。
1. 由平方差公式得：$m^2-4=(m+2)(m-2)$
2. 由完全平方公式得：$m^2-4m+4=(m-2)^2$
对比两个多项式的所有因式，可得它们相同的因式是$m-2$。
8.(★★)分解因式：$a^2 -5(2a -5)=$
答案
$\boldsymbol{(a-5)^2}$
解析
解：
$\begin{aligned}a^2 - 5(2a - 5)&=a^2 - 10a + 25\\&=(a - 5)^2\end{aligned}$
最终
$\begin{aligned}a^2 - 5(2a - 5)&=a^2 - 10a + 25\\&=(a - 5)^2\end{aligned}$
最终
9. (★★)把$a^2b - 2ab^2 + b^3$分解因式正确的是 【 】
A.$b(a^2 - 2ab + b^2)$
B.$a^2b - b^2$
C.$b(a - b)^2$
D.$(a + b)^2$
A.$b(a^2 - 2ab + b^2)$
B.$a^2b - b^2$
C.$b(a - b)^2$
D.$(a + b)^2$
答案
C
解析
先对多项式提取公因式b，可得$a^2b - 2ab^2 + b^3 = b(a^2 - 2ab + b^2)$，再利用完全平方公式对括号内的式子因式分解，得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此原式分解因式的结果为$b(a-b)^2$。
10. (★ ★) 分解因式: $1-(a+b)^2 =$ .
答案
$\boldsymbol{(1+a+b)(1-a-b)}$
解析
解：
$1-(a+b)^2$
$=1^2-(a+b)^2$
$=(1+a+b)(1-a-b)$
最终
$1-(a+b)^2$
$=1^2-(a+b)^2$
$=(1+a+b)(1-a-b)$
最终
11. (★★)分解因式:$4a^2 -16=$.
答案
$\boldsymbol{4(a+2)(a-2)}$
解析
解：
$4a^2 - 16$
$=4(a^2 - 4)$
$=4(a+2)(a-2)$
最终
$4a^2 - 16$
$=4(a^2 - 4)$
$=4(a+2)(a-2)$
最终
12. (★★)分解因式:
(1)$x^2 -25$;
(2)$a^2 -6ab +9b^2$;
(3)$a^2b -16b$;
(4)$9a^2(x-y)+4b^2(y-x)$.
(1)$x^2 -25$;
(2)$a^2 -6ab +9b^2$;
(3)$a^2b -16b$;
(4)$9a^2(x-y)+4b^2(y-x)$.
答案
解：
(1) 原式$=x^2 - 5^2$
$=(x+5)(x-5)$
(2) 原式$=a^2 - 2· a· 3b + (3b)^2$
$=(a-3b)^2$
(3) 原式$=b(a^2 - 16)$
$=b(a^2 - 4^2)$
$=b(a+4)(a-4)$
(4) 原式$=9a^2(x-y) - 4b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x-y)[(3a)^2 - (2b)^2]$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
(1) 原式$=x^2 - 5^2$
$=(x+5)(x-5)$
(2) 原式$=a^2 - 2· a· 3b + (3b)^2$
$=(a-3b)^2$
(3) 原式$=b(a^2 - 16)$
$=b(a^2 - 4^2)$
$=b(a+4)(a-4)$
(4) 原式$=9a^2(x-y) - 4b^2(x-y)$
$=(x-y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x-y)[(3a)^2 - (2b)^2]$
$=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)$
13. (★★)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
解：$△ ABC$是等边三角形，理由如下：
将已知等式$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$两边同时乘2，得
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$
分组配方可得：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$
∵ 任意实数的平方都为非负数，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$
∴ 要使三个非负数的和为0，只能同时满足：
$a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$
即$a=b$，$b=c$，$a=c$，也就是$a=b=c$
又∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边长
∴$△ ABC$是等边三角形。
将已知等式$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$两边同时乘2，得
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$
分组配方可得：
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$
∵ 任意实数的平方都为非负数，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$
∴ 要使三个非负数的和为0，只能同时满足：
$a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$
即$a=b$，$b=c$，$a=c$，也就是$a=b=c$
又∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边长
∴$△ ABC$是等边三角形。
14. (★★)观察下列式子分解因式的做法:
①$x^2 -1=(x+1)(x-1)$；
②$x^3 -1=(x-1)(x^2 +x +1)$；
③$x^4 -1=(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)$。
(1)模仿以上做法,尝试对$x^5 -1$分解因式:$x^5 -1=\underline{\hspace{10cm}}$。
(2)观察以上结果,猜想:$x^n -1=\underline{\hspace{8cm}}$（n为正整数,直接写出结果）。
(3)试求$2^6 +2^5 +2^4 +2^3 +2^2 +2 +1$的值。
①$x^2 -1=(x+1)(x-1)$；
②$x^3 -1=(x-1)(x^2 +x +1)$；
③$x^4 -1=(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)$。
(1)模仿以上做法,尝试对$x^5 -1$分解因式:$x^5 -1=\underline{\hspace{10cm}}$。
(2)观察以上结果,猜想:$x^n -1=\underline{\hspace{8cm}}$（n为正整数,直接写出结果）。
(3)试求$2^6 +2^5 +2^4 +2^3 +2^2 +2 +1$的值。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}$
(2) $\boldsymbol{(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)}$
(3) 由(2)的结论可得：
$(x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^7 - 1$
将$x=2$代入上式：
$(2-1)×(2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1) = 2^7 - 1$
计算得：
$2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 128 - 1 = 127$
答：$2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1$的值为127。
(1) $\boldsymbol{(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}$
(2) $\boldsymbol{(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)}$
(3) 由(2)的结论可得：
$(x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^7 - 1$
将$x=2$代入上式：
$(2-1)×(2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1) = 2^7 - 1$
计算得：
$2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 128 - 1 = 127$
答：$2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1$的值为127。
