登录
13. (★★★)某数学小组在研究式子$M^2 - N^2$时,发现当M,N是具有某种关联关系的两位数时,具有一定的运算规律:
$11^2 - 11^2 = 0$, ①
$21^2 - 12^2 = 1×3×99$, ②
$32^2 - 23^2 = 1×5×99$, ③
$42^2 - 24^2 = 2×6×99$, ④
……
根据上述规律,解决下列问题:
(1)填空:$52^2 - 25^2 =$ $×7×99$;
(2)若两位数M,十位上的数字为a,个位上的数字为b,写出你发现的规律,并加以证明.
$11^2 - 11^2 = 0$, ①
$21^2 - 12^2 = 1×3×99$, ②
$32^2 - 23^2 = 1×5×99$, ③
$42^2 - 24^2 = 2×6×99$, ④
……
根据上述规律,解决下列问题:
(1)填空:$52^2 - 25^2 =$ $×7×99$;
(2)若两位数M,十位上的数字为a,个位上的数字为b,写出你发现的规律,并加以证明.
答案
解：
(1)
$\because 52^2 - 25^2=(52+25)(52-25)=77×27=7×11×3×9=3×7×99$
$\therefore$ 填空处为$\boldsymbol{3}$
(2) 规律：若两位数$M$的十位数字为$a$，个位数字为$b$，即$M=10a+b$，将$M$的十位数字与个位数字交换得到两位数$N=10b+a$，则
$(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = 99(a-b)(a+b)$
证明：
由平方差公式分解因式可得
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(10a+b)^2 - (10b+a)^2\\&=[(10a+b)+(10b+a)][(10a+b)-(10b+a)]\\&=(11a+11b)(9a-9b)\\&=11(a+b)·9(a-b)\\&=99(a-b)(a+b)\\&=\mathrm{右边}\end{aligned}$
$\therefore$ 等式成立。
(1)
$\because 52^2 - 25^2=(52+25)(52-25)=77×27=7×11×3×9=3×7×99$
$\therefore$ 填空处为$\boldsymbol{3}$
(2) 规律：若两位数$M$的十位数字为$a$，个位数字为$b$，即$M=10a+b$，将$M$的十位数字与个位数字交换得到两位数$N=10b+a$，则
$(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = 99(a-b)(a+b)$
证明：
由平方差公式分解因式可得
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(10a+b)^2 - (10b+a)^2\\&=[(10a+b)+(10b+a)][(10a+b)-(10b+a)]\\&=(11a+11b)(9a-9b)\\&=11(a+b)·9(a-b)\\&=99(a-b)(a+b)\\&=\mathrm{右边}\end{aligned}$
$\therefore$ 等式成立。
解析
【分析】
（1）计算两个两位数的平方差，首先想到运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解因式，先求出两个数的和与差，再将乘积整理为题目要求的“__×7×99”的形式，即可求出空缺的数值。
（2）首先用代数式表示两位数字：十位为a、个位为b的两位数$M=10a+b$，交换数位后的两位数$N=10b+a$，再对$M^2-N^2$套用平方差公式因式分解、化简，就能得到通用规律，最后通过代数运算验证等式左右两边相等即可完成证明。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$52^2 - 25^2=(52+25)(52-25)=77×27$
拆分因数整理：$77=7×11$，$27=3×9$，因此$77×27=3×7×(9×11)=3×7×99$，空缺处填3。
(2) 规律：若十位数字为a、个位数字为b的两位数$M=10a+b$，交换M的十位和个位数字得到$N=10b+a$，则$(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = 99(a+b)(a-b)$。
证明：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(10a+b)^2 - (10b+a)^2\\&=[(10a+b)+(10b+a)][(10a+b)-(10b+a)]\\&=(11a+11b)(9a-9b)\\&=11(a+b)·9(a-b)\\&=99(a+b)(a-b)\\&=\mathrm{右边}\end{aligned}$
因此等式成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) 规律为$\boldsymbol{(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = 99(a+b)(a-b)}$，证明如上。
【知识点】
平方差公式分解因式；数字规律探究；代数式表示数
【点评】
本题结合数字规律考查平方差公式的应用，需要先从已知示例中总结式子的共同特征，再通过代数推导验证规律，既考察因式分解的运算能力，也锻炼归纳推理的思维能力。
【难度系数】
0.7
（1）计算两个两位数的平方差，首先想到运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解因式，先求出两个数的和与差，再将乘积整理为题目要求的“__×7×99”的形式，即可求出空缺的数值。
（2）首先用代数式表示两位数字：十位为a、个位为b的两位数$M=10a+b$，交换数位后的两位数$N=10b+a$，再对$M^2-N^2$套用平方差公式因式分解、化简，就能得到通用规律，最后通过代数运算验证等式左右两边相等即可完成证明。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$52^2 - 25^2=(52+25)(52-25)=77×27$
拆分因数整理：$77=7×11$，$27=3×9$，因此$77×27=3×7×(9×11)=3×7×99$，空缺处填3。
(2) 规律：若十位数字为a、个位数字为b的两位数$M=10a+b$，交换M的十位和个位数字得到$N=10b+a$，则$(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = 99(a+b)(a-b)$。
证明：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(10a+b)^2 - (10b+a)^2\\&=[(10a+b)+(10b+a)][(10a+b)-(10b+a)]\\&=(11a+11b)(9a-9b)\\&=11(a+b)·9(a-b)\\&=99(a+b)(a-b)\\&=\mathrm{右边}\end{aligned}$
因此等式成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) 规律为$\boldsymbol{(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = 99(a+b)(a-b)}$，证明如上。
【知识点】
平方差公式分解因式；数字规律探究；代数式表示数
【点评】
本题结合数字规律考查平方差公式的应用，需要先从已知示例中总结式子的共同特征，再通过代数推导验证规律，既考察因式分解的运算能力，也锻炼归纳推理的思维能力。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)阅读:用“十字相乘法”分解因式$2x^2 - x - 3$的方法.
(Ⅰ)二次项系数$2=1×2$.
(Ⅱ)常数项$-3=(-1)×3=1×(-3)$.
验算:“交叉相乘之和”.
如图①,$1×3 + 2×(-1)=1$;
如图②,$1×(-1)+2×3=5$;
如图③,$1×(-3)+2×1=-1$;
如图④,$1×1+2×(-3)=-5$.
(Ⅲ)发现图③“交叉相乘之和”的结果$1×(-3)+2×1=-1$,等于一次项系数,即$(x+1)(2x-3)=2x^2 -3x +2x -3=2x^2 -x -3$,则$2x^2 -x -3=(x+1)(2x-3)$.
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法.
仿照以上方法分解因式:
(1)$x^2 +8x +15$;
(2)$3x^2 -5x -12$.
(Ⅰ)二次项系数$2=1×2$.
(Ⅱ)常数项$-3=(-1)×3=1×(-3)$.
验算:“交叉相乘之和”.
如图①,$1×3 + 2×(-1)=1$;
如图②,$1×(-1)+2×3=5$;
如图③,$1×(-3)+2×1=-1$;
如图④,$1×1+2×(-3)=-5$.
(Ⅲ)发现图③“交叉相乘之和”的结果$1×(-3)+2×1=-1$,等于一次项系数,即$(x+1)(2x-3)=2x^2 -3x +2x -3=2x^2 -x -3$,则$2x^2 -x -3=(x+1)(2x-3)$.
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法.
仿照以上方法分解因式:
(1)$x^2 +8x +15$;
(2)$3x^2 -5x -12$.
答案
解：
(1) 二次项系数$1=1×1$，
常数项$15=3×5$，
验算“交叉相乘之和”：$1×5 + 1×3 = 8$，结果等于一次项系数，
则$x^2 +8x +15=(x+3)(x+5)$。
(2) 二次项系数$3=1×3$，
常数项$-12=(-3)×4$，
验算“交叉相乘之和”：$1×4 + 3×(-3) = -5$，结果等于一次项系数，
则$3x^2 -5x -12=(x-3)(3x+4)$。
(1) 二次项系数$1=1×1$，
常数项$15=3×5$，
验算“交叉相乘之和”：$1×5 + 1×3 = 8$，结果等于一次项系数，
则$x^2 +8x +15=(x+3)(x+5)$。
(2) 二次项系数$3=1×3$，
常数项$-12=(-3)×4$，
验算“交叉相乘之和”：$1×4 + 3×(-3) = -5$，结果等于一次项系数，
则$3x^2 -5x -12=(x-3)(3x+4)$。
解析
【分析】
本题考查用十字相乘法分解二次三项式，解题思路可分为三步：第一步拆分二次项系数为两个整数的乘积，写在十字线左侧；第二步拆分常数项为两个整数的乘积，写在十字线右侧；第三步计算交叉相乘的和，若结果刚好等于一次项系数，即可按“左侧数乘x加右侧数”的形式写出两个一次因式的乘积。
第(1)问二次项系数为1，拆分常数项15时只需找两个正整数，满足和为8即可；第(2)问二次项系数为3，拆分常数项-12时需多次尝试不同符号的组合，直到交叉相乘的和等于一次项系数-5即可。
【解析】
(1) 二次项系数$1=1×1$，
常数项$15=3×5$，
验算“交叉相乘之和”：$1×5 + 1×3 = 8$，结果等于一次项系数，
则$x^2 +8x +15=(x+3)(x+5)$。
(2) 二次项系数$3=1×3$，
常数项$-12=(-3)×4$，
验算“交叉相乘之和”：$1×4 + 3×(-3) = -5$，结果等于一次项系数，
则$3x^2 -5x -12=(x-3)(3x+4)$。
【答案】
(1)$(x+3)(x+5)$；(2)$(x-3)(3x+4)$
【知识点】
1.十字相乘法分解因式 2.二次三项式因式分解
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，核心是掌握“拆二次项系数、拆常数项、验算交叉乘积和”的三步解题法，解题时要注意常数项的正负符号，多尝试不同拆分组合即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题考查用十字相乘法分解二次三项式，解题思路可分为三步：第一步拆分二次项系数为两个整数的乘积，写在十字线左侧；第二步拆分常数项为两个整数的乘积，写在十字线右侧；第三步计算交叉相乘的和，若结果刚好等于一次项系数，即可按“左侧数乘x加右侧数”的形式写出两个一次因式的乘积。
第(1)问二次项系数为1，拆分常数项15时只需找两个正整数，满足和为8即可；第(2)问二次项系数为3，拆分常数项-12时需多次尝试不同符号的组合，直到交叉相乘的和等于一次项系数-5即可。
【解析】
(1) 二次项系数$1=1×1$，
常数项$15=3×5$，
验算“交叉相乘之和”：$1×5 + 1×3 = 8$，结果等于一次项系数，
则$x^2 +8x +15=(x+3)(x+5)$。
(2) 二次项系数$3=1×3$，
常数项$-12=(-3)×4$，
验算“交叉相乘之和”：$1×4 + 3×(-3) = -5$，结果等于一次项系数，
则$3x^2 -5x -12=(x-3)(3x+4)$。
【答案】
(1)$(x+3)(x+5)$；(2)$(x-3)(3x+4)$
【知识点】
1.十字相乘法分解因式 2.二次三项式因式分解
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，核心是掌握“拆二次项系数、拆常数项、验算交叉乘积和”的三步解题法，解题时要注意常数项的正负符号，多尝试不同拆分组合即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
