9. (★)如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE//BC.若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是 【 】

A.24°
B.59°
C.60°
D.69°
（第9题）

B

【分析】
要求∠D的度数，首先观察已知条件DE//BC，可联想到平行线的性质，能得到∠D与∠CBD相等，因此只需先求出∠CBD的度数即可；而∠CBD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，已知∠A和∠C的度数，可直接计算出∠CBD的度数，进而得到∠D的数值。
【解析】
解：
∵∠CBD是△ABC的外角
∴∠CBD = ∠A + ∠C = 35° + 24° = 59°
又
∵DE//BC
∴∠D = ∠CBD = 59°（两直线平行，同位角相等）
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，考查两个基础定理的综合应用，解题核心是找到待求角和已知角之间的转换关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

10. (★★)如图，∠A,∠1,∠2的大小关系是
【 】

A.$∠ A＞∠1＞∠2$
B.$∠2＞∠1＞∠ A$
C.$∠ A＞∠2＞∠1$
D.$∠2＞∠ A＞∠1$

B

【分析】
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。第一步先找∠1所属的外角对应的三角形，判断∠1和∠A的大小关系；第二步再找∠2所属的外角对应的三角形，判断∠2和∠1的大小关系，最后整合两个结论就能得到三个角的大小排序。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. ∠1是△AEC的外角，∠A是△AEC中与∠1不相邻的内角，因此∠1 ＞ ∠A；
2. ∠2是△CDE的外角，∠1是△CDE中与∠2不相邻的内角，因此∠2 ＞ ∠1；
综上可得∠2＞∠1＞∠A，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 角的大小比较
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查三角形外角性质的应用，解题的关键是准确识别外角对应的三角形及其不相邻的内角，熟练掌握性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

11. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=50°$,点D,E分别在AC,AB上,则$∠1+∠2$的度数为
【 】

A.$130°$
B.$230°$
C.$180°$
D.$310°$

B

【分析】
解题时先从已知条件∠A=50°出发，利用三角形内角和定理先求出△ABC中∠B与∠C的度数和；再观察∠1、∠2和∠B、∠C共同构成四边形BCDE的四个内角，结合四边形内角和为360°，即可推导计算出∠1+∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=50°$，因此$∠ B + ∠ C = 180° - 50° = 130°$
又因为四边形EBCD的内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ B + ∠ C = 360°$
将$∠ B+∠ C=130°$代入上式得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 130° = 230°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.四边形内角和
【点评】
本题是内角和公式的基础应用类题目，解题的核心是找准所求角所在的多边形，利用内角和公式建立已知角和未知角的等量关系，难度不大，是三角形相关知识点的常见考查题型。
【难度系数】
0.7

12. (★★)如图,已知∠A=60°,∠B=30°,∠C=20°,则∠BDC的度数为.

$\boldsymbol{110°}$

【分析】
要求∠BDC的度数，已知的∠A、∠B、∠C均不在和∠BDC直接相关的三角形中，因此需要作辅助线建立角度关联。我们可以连接AD并延长，利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），将∠BDC拆分为两个三角形外角的和，进而转化为已知三个角的和来计算。
【解析】
解：连接AD并延长至点E。
∵ ∠BDE是△ABD的外角，根据三角形外角的性质可得：$∠ BDE = ∠ B + ∠ BAD$，
同理，∠CDE是△ACD的外角，可得：$∠ CDE = ∠ C + ∠ CAD$，
又
∵ $∠ BDC = ∠ BDE + ∠ CDE$，
∴ $∠ BDC = ∠ B + ∠ BAD + ∠ C + ∠ CAD = ∠ B + ∠ C + (∠ BAD + ∠ CAD) = ∠ A + ∠ B + ∠ C$，
将$∠ A=60°$，$∠ B=30°$，$∠ C=20°$代入得：
$∠ BDC = 60° + 30° + 20° = 110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
三角形外角的性质，角的和差计算，辅助线构造
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是通过合理构造辅助线，利用外角性质实现未知角与已知角的转化，解题方法多样，也可通过延长BD交AC于一点利用外角性质求解，熟练掌握三角形外角性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

13. (★★)如图,在$△ ABC$中,$D,E$分别在$BC,AB$的延长线上,若$∠ EBD=107°,∠ CAD=26°,∠ D=39°$,求$∠ BAC$的度数.

解：
∵ ∠EBD是△ABD的外角，
∴ ∠EBD = ∠BAD + ∠D，
∴ ∠BAD = ∠EBD - ∠D = 107° - 39° = 68°，
又∵ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，
∴ ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 68° - 26° = 42°。
答：∠BAC的度数为42°。

【分析】
解题时首先观察角的位置关系：∠EBD是△ABD的外角，根据三角形外角的性质可先求出∠BAD的度数；再结合∠BAD由∠BAC和∠CAD组成，已知∠CAD的度数，利用角的和差关系即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵ ∠EBD是△ABD的外角，
∴ ∠EBD = ∠BAD + ∠D，
∴ ∠BAD = ∠EBD - ∠D = 107° - 39° = 68°，
又
∵ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，
∴ ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 68° - 26° = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题侧重考查三角形外角性质的基础应用，解题关键是准确识别外角对应的三角形及不相邻的两个内角，结合角的和差运算即可快速得到结果，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7

14. (★★★)在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$∠ B=30°$，点D在边AB上，连接CD，若$△ ACD$为直角三角形，则$∠ BCD$的度数为 【 】

A.$60°$
B.$10°$
C.$45°$
D.$10°$或$60°$

D

【分析】
本题未明确△ACD中直角的位置，需分类讨论求解。首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再分别讨论直角为∠ADC和∠ACD的两种情况，对应计算∠BCD的度数即可。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 30° = 100°$
分两种情况讨论：
1. 当$∠ ADC=90°$时：
在Rt△ACD中，直角三角形两锐角互余，$∠ ACD = 90° - ∠ A = 90° - 50° = 40°$
∴ $∠ BCD = ∠ ACB - ∠ ACD = 100° - 40° = 60°$
2. 当$∠ ACD=90°$时：
$∠ BCD = ∠ ACB - ∠ ACD = 100° - 90° = 10°$
综上，$∠ BCD$的度数为$10°$或$60°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，分类讨论，直角三角形性质
【点评】
本题的易错点是忽略直角三角形的直角位置不唯一，易漏解。解题时遇到未明确直角位置的直角三角形问题，要先梳理所有可能的直角情况，再结合角度计算规则求解即可。
【难度系数】
0.6

15. (★★★)(1)【初步认识】如图①,在$△ ABC$中,$BP$平分$∠ ABC$,$CP$平分$∠ ACB$.若$∠ A=100°$,则$∠ P$的度数为;如图②,$BM$平分$∠ ABC$,$CM$平分外角$∠ ACD$,则$∠ A$与$∠ M$的数量关系是.
(2)【继续探索】如图③,$BN$平分外角$∠ EBC$,$CN$平分外角$∠ FCB$.请探索$∠ A$与$∠ N$之间的数量关系.
(3)【拓展应用】如图④,$P$是$△ ABC$两内角平分线的交点,$N$是$△ ABC$两外角平分线的交点,请判断$∠ P$和$∠ N$的数量关系,并说明理由.

(1) $\boldsymbol{140°}$；$\boldsymbol{∠A=2∠M}$

【分析】
本题围绕三角形角平分线与角度关系展开，解题思路如下：
(1) 图①先利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再结合角平分线性质得到∠PBC+∠PCB的度数，最后再次用内角和求∠P；图②利用三角形外角的性质，将∠ACD、∠MCD分别用对应内角表示，结合角平分线性质化简即可得到∠A与∠M的关系。
(2) 图③先根据邻补角的性质表示出两个外角和与∠A的关系，再结合角平分线性质、三角形内角和推导∠N和∠A的关系。
(3) 结合(1)(2)中∠P、∠N分别与∠A的数量关系，代入化简即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 图①求解：
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-100°=80°$
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×80°=40°$
在△PBC中，$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-40°=140°$
图②关系推导：
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$
∵CM平分∠ACD，
∴$∠ MCD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$
∵BM平分∠ABC，
∴$∠ MBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
∵∠MCD是△MBC的外角，
∴$∠ MCD=∠ M+∠ MBC$
代入得：$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ M+\frac{1}{2}∠ ABC$，化简得$∠ A=2∠ M$
(2) 探索∠A与∠N的关系：
∵∠EBC、∠FCB是△ABC的外角，
∴$∠ EBC=180°-∠ ABC$，$∠ FCB=180°-∠ ACB$
∴$∠ EBC+∠ FCB=360°-(∠ ABC+∠ ACB)$
在△ABC中$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入得：
$∠ EBC+∠ FCB=360°-(180°-∠ A)=180°+∠ A$
∵BN平分∠EBC，CN平分∠FCB
∴$∠ NBC=\frac{1}{2}∠ EBC$，$∠ NCB=\frac{1}{2}∠ FCB$
∴$∠ NBC+∠ NCB=\frac{1}{2}(∠ EBC+∠ FCB)=\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
在△NBC中，$∠ N=180°-(∠ NBC+∠ NCB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$
(3) 判断∠P和∠N的数量关系：$\boldsymbol{∠P+∠N=180°}$，理由如下：
由(1)中图①的推导可推广得：P为两内角平分线交点时，$∠ P=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
由(2)得$∠ N=90°-\frac{1}{2}∠ A$
∴$∠ P+∠ N=(90°+\frac{1}{2}∠ A)+(90°-\frac{1}{2}∠ A)=180°$，即∠P与∠N互补。
【答案】
(1) $\boldsymbol{140°}$；$\boldsymbol{∠A=2∠M}$
(2) $\boldsymbol{∠N=90°-\dfrac{1}{2}∠A}$（或$\boldsymbol{2∠N+∠A=180°}$）
(3) $\boldsymbol{∠P+∠N=180°}$（或∠P与∠N互补）
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，由浅入深考查三角形内外角、角平分线的综合应用，解题的关键是熟练掌握角度相关的基本性质，通过等量代换推导未知角的关系。
【难度系数】
0.6