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7. (★)如图,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACF=70°,且AB=CE,图中与AC长度相等的线段是 【 】
A.BC
B.EF
C.CF
D.AF
A.BC
B.EF
C.CF
D.AF
答案
C
解析
【分析】
要找出与AC长度相等的线段，可通过证明三角形全等得到对应边相等。首先结合点B、C、E共线的条件，利用平角定义和三角形内角和定理，推导得到∠BAC=∠ECF；再结合已知的∠B=∠E、AB=CE，可通过ASA判定△ABC和△CEF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结果。
【解析】
∵ 点B，C，E在同一条直线上
∴ $∠ ACB + ∠ ACF + ∠ FCE = 180°$
在△ABC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ B + ∠ BAC + ∠ ACB = 180°$
又
∵ $∠ B = ∠ ACF = 70°$
∴ $∠ BAC = ∠ FCE$
在△ABC和△CEF中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ E（已知）\\AB = CE（已知）\\∠ BAC = ∠ ECF（已证）\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ CEF$（ASA）
∴ $AC = CF$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，解题的关键是利用角度和的关系推导出相等的对应角，进而证明三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要找出与AC长度相等的线段，可通过证明三角形全等得到对应边相等。首先结合点B、C、E共线的条件，利用平角定义和三角形内角和定理，推导得到∠BAC=∠ECF；再结合已知的∠B=∠E、AB=CE，可通过ASA判定△ABC和△CEF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结果。
【解析】
∵ 点B，C，E在同一条直线上
∴ $∠ ACB + ∠ ACF + ∠ FCE = 180°$
在△ABC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ B + ∠ BAC + ∠ ACB = 180°$
又
∵ $∠ B = ∠ ACF = 70°$
∴ $∠ BAC = ∠ FCE$
在△ABC和△CEF中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ E（已知）\\AB = CE（已知）\\∠ BAC = ∠ ECF（已证）\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ CEF$（ASA）
∴ $AC = CF$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，解题的关键是利用角度和的关系推导出相等的对应角，进而证明三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
8. (★)如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，O是跷跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的长度为50 cm，若小明到水平线CD的距离AM为40 cm，则小颖到地面的距离为。
答案
解：
∵ O是跷跷板AB的中点，
∴ AO = BO。
由题意可知：AM⊥CD，BN⊥CD，
∴ ∠AMO = ∠BNO = 90°。
在△AOM和△BON中，
$\{\begin{array}{l}∠AMO = ∠BNO \\∠AOM = ∠BON \\AO = BO\end{array} $
∴ △AOM ≌ △BON（AAS）。
∴ BN = AM = 40 cm。
∵ OE⊥地面，CD//地面，
∴ 平行线CD与地面之间的距离等于OE = 50 cm。
∴ 小颖到地面的距离为 $BN + 50\ \mathrm{cm} = 40\ \mathrm{cm} + 50\ \mathrm{cm} = 90\ \mathrm{cm}$。
答：90 cm。
∵ O是跷跷板AB的中点，
∴ AO = BO。
由题意可知：AM⊥CD，BN⊥CD，
∴ ∠AMO = ∠BNO = 90°。
在△AOM和△BON中，
$\{\begin{array}{l}∠AMO = ∠BNO \\∠AOM = ∠BON \\AO = BO\end{array} $
∴ △AOM ≌ △BON（AAS）。
∴ BN = AM = 40 cm。
∵ OE⊥地面，CD//地面，
∴ 平行线CD与地面之间的距离等于OE = 50 cm。
∴ 小颖到地面的距离为 $BN + 50\ \mathrm{cm} = 40\ \mathrm{cm} + 50\ \mathrm{cm} = 90\ \mathrm{cm}$。
答：90 cm。
解析
【分析】
要求小颖到地面的距离，观察图形可知该距离等于小颖到水平线CD的距离BN加上CD到地面的距离。首先根据O是AB中点可得AO=BO，结合AM、BN均垂直CD，可推出△AOM和△BON存在两组角相等、一组对边相等，可通过AAS证明两三角形全等，得到BN=AM，再结合平行线CD与地面的距离等于OE的长度，将两段距离相加即可得到结果。
【解析】
∵ O是跷跷板AB的中点，
∴ AO = BO。
由题意可知：AM⊥CD，BN⊥CD，
∴ ∠AMO = ∠BNO = 90°。
在△AOM和△BON中，
$\{\begin{array}{l}∠AMO = ∠BNO \\∠AOM = ∠BON \\AO = BO\end{array} $
∴ △AOM ≌ △BON（AAS）。
∴ BN = AM = 40 cm。
∵ OE⊥地面，CD//地面，
∴ 平行线CD与地面之间的距离等于OE的长度，即50 cm。
∴ 小颖到地面的距离为 $BN + 50\ \mathrm{cm} = 40\ \mathrm{cm} + 50\ \mathrm{cm} = 90\ \mathrm{cm}$。
【答案】
90 cm
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；平行线间的距离
【点评】
本题结合生活中的跷跷板场景考查几何知识的应用，解题的关键是准确找到全等三角形，理清各段距离之间的数量关系，能很好地锻炼将实际问题转化为几何模型求解的能力。
【难度系数】
0.8
要求小颖到地面的距离，观察图形可知该距离等于小颖到水平线CD的距离BN加上CD到地面的距离。首先根据O是AB中点可得AO=BO，结合AM、BN均垂直CD，可推出△AOM和△BON存在两组角相等、一组对边相等，可通过AAS证明两三角形全等，得到BN=AM，再结合平行线CD与地面的距离等于OE的长度，将两段距离相加即可得到结果。
【解析】
∵ O是跷跷板AB的中点，
∴ AO = BO。
由题意可知：AM⊥CD，BN⊥CD，
∴ ∠AMO = ∠BNO = 90°。
在△AOM和△BON中，
$\{\begin{array}{l}∠AMO = ∠BNO \\∠AOM = ∠BON \\AO = BO\end{array} $
∴ △AOM ≌ △BON（AAS）。
∴ BN = AM = 40 cm。
∵ OE⊥地面，CD//地面，
∴ 平行线CD与地面之间的距离等于OE的长度，即50 cm。
∴ 小颖到地面的距离为 $BN + 50\ \mathrm{cm} = 40\ \mathrm{cm} + 50\ \mathrm{cm} = 90\ \mathrm{cm}$。
【答案】
90 cm
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；平行线间的距离
【点评】
本题结合生活中的跷跷板场景考查几何知识的应用，解题的关键是准确找到全等三角形，理清各段距离之间的数量关系，能很好地锻炼将实际问题转化为几何模型求解的能力。
【难度系数】
0.8
9. (★★)如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,AB//DE.求证:BE=CF.
答案
证明：
∵ AB//DE，
∴ ∠B = ∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠D \\AB = DE \\∠B = ∠DEF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。
∴ BC = EF。
∴ BC - EC = EF - EC，
即 BE = CF。
∵ AB//DE，
∴ ∠B = ∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠D \\AB = DE \\∠B = ∠DEF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。
∴ BC = EF。
∴ BC - EC = EF - EC，
即 BE = CF。
解析
【分析】
要证明BE=CF，首先观察线段位置：点B、E、C、F共线，可得BE=BC-EC，CF=EF-EC，因此只需证明BC=EF即可。BC和EF分别是△ABC和△DEF的边，因此问题转化为证明△ABC≌△DEF。已知AB//DE，根据平行线的性质可得同位角∠B=∠DEF，再结合题目给出的∠A=∠D、AB=DE的条件，满足ASA全等判定的要求，证明三角形全等后可得对应边BC=EF，最后两边同时减去公共线段EC即可推导出BE=CF。
【解析】
证明：
∵ AB//DE，
∴ ∠B = ∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠D \\AB = DE \\∠B = ∠DEF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。
∴ BC = EF。
∴ BC - EC = EF - EC，
即 BE = CF。
【答案】
证明：
∵ AB//DE，
∴ ∠B = ∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠D \\AB = DE \\∠B = ∠DEF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。
∴ BC = EF。
∴ BC - EC = EF - EC，
即 BE = CF。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是将待证线段相等的问题转化为三角形全等的证明，解题时要善于挖掘平行线隐含的等角条件，结合已知选择合适的全等判定定理，再通过等式的性质完成推导，是巩固全等三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
要证明BE=CF，首先观察线段位置：点B、E、C、F共线，可得BE=BC-EC，CF=EF-EC，因此只需证明BC=EF即可。BC和EF分别是△ABC和△DEF的边，因此问题转化为证明△ABC≌△DEF。已知AB//DE，根据平行线的性质可得同位角∠B=∠DEF，再结合题目给出的∠A=∠D、AB=DE的条件，满足ASA全等判定的要求，证明三角形全等后可得对应边BC=EF，最后两边同时减去公共线段EC即可推导出BE=CF。
【解析】
证明：
∵ AB//DE，
∴ ∠B = ∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠D \\AB = DE \\∠B = ∠DEF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。
∴ BC = EF。
∴ BC - EC = EF - EC，
即 BE = CF。
【答案】
证明：
∵ AB//DE，
∴ ∠B = ∠DEF。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠D \\AB = DE \\∠B = ∠DEF\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。
∴ BC = EF。
∴ BC - EC = EF - EC，
即 BE = CF。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是将待证线段相等的问题转化为三角形全等的证明，解题时要善于挖掘平行线隐含的等角条件，结合已知选择合适的全等判定定理，再通过等式的性质完成推导，是巩固全等三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
10. (★)如图,在$△ ACD$中,$∠ CAD=90°$,$AC=5$,$AD=12$,$AB// CD$,$E$是边$CD$上一点,$BE$交$AD$于点$F$,若$AB=DE$,则图中阴影部分的面积为 【 】
A.30
B.40
C.45
D.60
A.30
B.40
C.45
D.60
答案
A
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知AB平行于CD，可推出内错角相等，结合AB=DE和对顶角相等的条件，可证明△ABF和△DEF全等，两个三角形面积相等，因此阴影部分的面积可转化为直角△ACD的面积，直接计算直角三角形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠BAD=∠D，∠ABF=∠DEF
在△ABF和△DEF中
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠D \\AB=DE \\∠ABF=∠DEF\end{array} $
∴△ABF≌△DEF（ASA）
∴$S_{△ ABF}=S_{△ DEF}$
∴阴影部分面积=$S_{四边形ACEF}+S_{△ ABF}=S_{四边形ACEF}+S_{△ DEF}=S_{△ ACD}$
∵∠CAD=90°，AC=5，AD=12
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×AC×AD=\frac{1}{2}×5×12=30$
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现不规则图形面积向规则图形面积的转化，熟练掌握全等三角形的判定方法和转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，已知AB平行于CD，可推出内错角相等，结合AB=DE和对顶角相等的条件，可证明△ABF和△DEF全等，两个三角形面积相等，因此阴影部分的面积可转化为直角△ACD的面积，直接计算直角三角形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠BAD=∠D，∠ABF=∠DEF
在△ABF和△DEF中
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠D \\AB=DE \\∠ABF=∠DEF\end{array} $
∴△ABF≌△DEF（ASA）
∴$S_{△ ABF}=S_{△ DEF}$
∴阴影部分面积=$S_{四边形ACEF}+S_{△ ABF}=S_{四边形ACEF}+S_{△ DEF}=S_{△ ACD}$
∵∠CAD=90°，AC=5，AD=12
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×AC×AD=\frac{1}{2}×5×12=30$
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现不规则图形面积向规则图形面积的转化，熟练掌握全等三角形的判定方法和转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. (★★)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(3,0),B(0,-1),点C在第四象限,且AB=BC,∠ABC=90°,则点C的坐标是 【 】
A.(-4,1)
B.(1,-4)
C.(-1,4)
D.(4,-1)
(第11题) (第12题)
A.(-4,1)
B.(1,-4)
C.(-1,4)
D.(4,-1)
(第11题) (第12题)
答案
B
解析
【分析】
要求点C的坐标，可通过构造全等三角形转化线段长度求解。首先过点C作CE垂直y轴于点E，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合已知的直角和AB=BC的条件，证明△AOB和△BEC全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，结合A、B的坐标计算出点C的横纵坐标。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ y$轴于点E，则$∠ CEB=∠ BOA=90°$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABO+∠ CBE=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ OAB+∠ ABO=90°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ CBE$。
在$△ AOB$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ BOA=∠ CEB \\∠ OAB=∠ EBC \\AB=BC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BEC\ (\mathrm{AAS})$
$\therefore CE=OB$，$BE=OA$。
已知$A(3,0)$，$B(0,-1)$，
$\therefore OA=3$，$OB=1$，
$\therefore CE=1$，$BE=3$。
$\because$点C在第四象限，
$\therefore$点C的横坐标为$1$，纵坐标为$-1-3=-4$，即$C(1,-4)$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系点的坐标，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是坐标系中几何计算的典型题型，构造垂直辅助线证明三角形全等是解题的突破口，通过全等将已知线段长度转化为求点坐标所需的线段长度，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.6
要求点C的坐标，可通过构造全等三角形转化线段长度求解。首先过点C作CE垂直y轴于点E，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合已知的直角和AB=BC的条件，证明△AOB和△BEC全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，结合A、B的坐标计算出点C的横纵坐标。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ y$轴于点E，则$∠ CEB=∠ BOA=90°$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABO+∠ CBE=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ OAB+∠ ABO=90°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ CBE$。
在$△ AOB$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ BOA=∠ CEB \\∠ OAB=∠ EBC \\AB=BC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BEC\ (\mathrm{AAS})$
$\therefore CE=OB$，$BE=OA$。
已知$A(3,0)$，$B(0,-1)$，
$\therefore OA=3$，$OB=1$，
$\therefore CE=1$，$BE=3$。
$\because$点C在第四象限，
$\therefore$点C的横坐标为$1$，纵坐标为$-1-3=-4$，即$C(1,-4)$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系点的坐标，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是坐标系中几何计算的典型题型，构造垂直辅助线证明三角形全等是解题的突破口，通过全等将已知线段长度转化为求点坐标所需的线段长度，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.6
12. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB＞BC$,点$D$在边$BC$上,$CD=2BD$,点$E$,$F$在线段$AD$上,$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$,若$△ ABC$的面积为18,则$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和是 【 】
A.6
B.8
C.9
D.12
A.6
B.8
C.9
D.12
答案
A
解析
【分析】
解题首先从已知的角相等条件入手，利用三角形外角的性质推导相等的内角，结合AB=AC的条件证明△ABE和△CAF全等，将△ACF的面积等量替换为△ABE的面积，此时所求的两个三角形面积和就转化为△ABD的面积；再根据CD=2BD得到BD与BC的长度比例，利用同高三角形面积比等于底边长的比，即可计算出△ABD的面积，得到最终结果。
【解析】
1. 推导相等内角：
根据三角形外角性质，$∠ 2 = ∠ ABE + ∠ BAE$，又已知$∠ 2 = ∠ BAC$，且$∠ BAC = ∠ BAE + ∠ CAF$，因此：
$∠ ABE + ∠ BAE = ∠ BAE + ∠ CAF$，化简得$∠ ABE = ∠ CAF$。
同理可得$∠ BAE = ∠ ACF$。
2. 证明三角形全等：
在$△ ABE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ ABE = ∠ CAF \\AB = AC \\∠ BAE = ∠ ACF\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CAF \ (\mathrm{ASA})$，因此$S_{△ ACF}=S_{△ ABE}$。
3. 转化面积和：
$S_{△ ACF} + S_{△ BDE} = S_{△ ABE} + S_{△ BDE} = S_{△ ABD}$。
4. 计算$△ ABD$的面积：
已知$CD=2BD$，即$BD=\frac{1}{3}BC$，$△ ABD$和$△ ABC$同高，面积比等于底的比：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3} × 18=6$。
【答案】
A
【知识点】
三角形全等的判定，三角形外角性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是通过全等三角形完成面积的等量代换，将分散的未知面积整合为可直接计算的三角形面积，解题关键是准确找出全等三角形，结合面积比例关系求解。
【难度系数】
0.65
解题首先从已知的角相等条件入手，利用三角形外角的性质推导相等的内角，结合AB=AC的条件证明△ABE和△CAF全等，将△ACF的面积等量替换为△ABE的面积，此时所求的两个三角形面积和就转化为△ABD的面积；再根据CD=2BD得到BD与BC的长度比例，利用同高三角形面积比等于底边长的比，即可计算出△ABD的面积，得到最终结果。
【解析】
1. 推导相等内角：
根据三角形外角性质，$∠ 2 = ∠ ABE + ∠ BAE$，又已知$∠ 2 = ∠ BAC$，且$∠ BAC = ∠ BAE + ∠ CAF$，因此：
$∠ ABE + ∠ BAE = ∠ BAE + ∠ CAF$，化简得$∠ ABE = ∠ CAF$。
同理可得$∠ BAE = ∠ ACF$。
2. 证明三角形全等：
在$△ ABE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ ABE = ∠ CAF \\AB = AC \\∠ BAE = ∠ ACF\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CAF \ (\mathrm{ASA})$，因此$S_{△ ACF}=S_{△ ABE}$。
3. 转化面积和：
$S_{△ ACF} + S_{△ BDE} = S_{△ ABE} + S_{△ BDE} = S_{△ ABD}$。
4. 计算$△ ABD$的面积：
已知$CD=2BD$，即$BD=\frac{1}{3}BC$，$△ ABD$和$△ ABC$同高，面积比等于底的比：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3} × 18=6$。
【答案】
A
【知识点】
三角形全等的判定，三角形外角性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是通过全等三角形完成面积的等量代换，将分散的未知面积整合为可直接计算的三角形面积，解题关键是准确找出全等三角形，结合面积比例关系求解。
【难度系数】
0.65
