概念建构

有理数的乘法法则
两数相乘
两数相乘，同号得，异号得，且积的绝对值等于乘数的的积
任何数与0相乘，都得
倒数
乘积是的两个数互为倒数

正;负;绝对值;0;1

【分析】
这道题是对有理数乘法法则及倒数定义的基础识记类考查，解题时只需回忆课本中对应的基础概念，逐空对应填写即可。首先回忆有理数乘法法则关于符号、绝对值的规定，再回忆0参与乘法运算的结果，最后回忆倒数的定义就能完成填空。
【解析】
我们逐个分析每个空：
1. 两数相乘时，同号（均为正或均为负）的两个数相乘结果符号为正，例如$2×3=6$、$(-2)×(-3)=6$，因此同号得正；
2. 异号（一正一负）的两个数相乘结果符号为负，例如$2×(-3)=-6$，因此异号得负；
3. 积的绝对值等于两个乘数绝对值的乘积，例如$|2×(-3)|=6=|2|×|-3|$，因此此处填绝对值；
4. 任何数和0相乘结果都是0，例如$5×0=0$、$(-4)×0=0$，因此此处填0；
5. 根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数，例如$3×\frac{1}{3}=1$，3和$\frac{1}{3}$互为倒数，因此此处填1。
【答案】
正;负;绝对值;0;1
【知识点】
有理数乘法法则；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对有理数乘法相关基础概念的记忆与掌握，是学习有理数乘法运算的基础，需要熟练识记。
【难度系数】
0.9

1.（新知回顾）填表：

－;20;－20;－;20;－20;＋;20;20;＋;20;20

【分析】
解题时先回忆有理数乘法法则：两数相乘，首先判断两个乘数是同号还是异号，按照“同号得正，异号得负”确定积的符号，再把两个数的绝对值相乘得到积的绝对值，最后组合符号和绝对值得到最终的积，按顺序填写每一格即可。
【解析】
我们按照有理数乘法法则逐组计算填空：
1. 第一组（异号两数相乘：负×正）：积的符号为负，绝对值相乘得$4×5=20$，最终积为$-20$，依次填：－、20、－20；
2. 第二组（异号两数相乘：正×负）：积的符号为负，绝对值相乘得$4×5=20$，最终积为$-20$，依次填：－、20、－20；
3. 第三组（同号两数相乘：负×负）：积的符号为正，绝对值相乘得$4×5=20$，最终积为$20$，依次填：＋、20、20；
4. 第四组（同号两数相乘：正×正）：积的符号为正，绝对值相乘得$4×5=20$，最终积为$20$，依次填：＋、20、20。
【答案】
－;20;－20;－;20;－20;＋;20;20;＋;20;20
【知识点】
有理数的乘法法则
【点评】
本题是有理数乘法的基础题型，核心要掌握“先定符号，再算绝对值”的运算顺序，熟练区分同号、异号乘法的符号规则，是后续复杂有理数运算的重要基础。
【难度系数】
0.8

2.若$(-\dfrac{1}{2})× □$的运算结果为正整数，则“”内的数可以是()

A.$-3$
B.$0$
C.$-4$
D.$2$

C

【分析】
解题时可分两步思考：首先明确题目要求乘积为正整数，包含两个核心条件：①乘积是正数；②乘积是整数。第一步根据有理数乘法的符号规律：两数相乘，同号得正、异号得负，已知其中一个因数$-\frac{1}{2}$是负数，因此方框内的数必须也是负数，可先排除非负的选项；第二步结合乘积是整数的要求，因数$-\frac{1}{2}$的分母为2，因此方框内的负数必须是2的倍数，才能约分后得到整数，再验证剩余选项即可。
【解析】
根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0。
已知乘积为正整数，因此乘积大于0，且是整数：
1. 确定符号：因数$-\frac{1}{2}＜0$，因此方框内的数必须小于0，排除B（0，乘积为0不符合要求）、D（2＞0，乘积为负数不符合要求）；
2. 验证整数要求：
代入A选项$-3$：$(-\frac{1}{2})×(-3)=\frac{3}{2}$，不是整数，不符合要求；
代入C选项$-4$：$(-\frac{1}{2})×(-4)=2$，2是正整数，符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法法则；正整数的定义
【点评】
本题属于基础类题目，重点考察有理数乘法规则的应用，解题时先通过符号判定缩小可选范围，再验证整数要求，能简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8

3. [2026 合肥期末]下列计算正确的是 ()

A.$(-7)×2=14$
B.$(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})=3$
C.$16×(-\frac{1}{8})=-2$
D.$(-4)×0=-4$

C

【分析】
本题考查有理数乘法法则的应用，解题思路为：先回忆有理数乘法的计算规则，再逐一计算每个选项的结果，将计算结果和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。计算时要注意先判断积的符号，再计算绝对值的乘积，不要遗漏符号判断步骤。
【解析】
根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。我们逐一计算各选项：
A选项：$(-7)×2$是异号两数相乘，积为负，绝对值乘积为$7×2=14$，所以结果为$-14$，A选项错误；
B选项：$(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})$是同号两数相乘，积为正，绝对值乘积为$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，所以结果为$\frac{1}{3}$，B选项错误；
C选项：$16×(-\frac{1}{8})$是异号两数相乘，积为负，绝对值乘积为$16×\frac{1}{8}=2$，所以结果为$-2$，C选项正确；
D选项：根据法则，任何数乘0都得0，所以$(-4)×0=0$，D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘法法则
【点评】
本题属于基础题型，重点考察有理数乘法运算中符号判断和绝对值计算的能力，做题时容易出现只计算绝对值乘积、忽略符号判断的错误，熟记乘法法则即可正确作答。
【难度系数】
0.8

4.计算:
(1)$3.7× 3$;
(2)$(+3.4)× 0$;
(3)$\frac{2}{3}× (-\frac{9}{4})$;
(4)$(+5.6)× (-1.2)$.

(1)原式=11.1.
(2)原式=0.
(3)原式=$-\frac{3}{2}$.
(4)原式=$-6.72$.

【分析】
计算有理数乘法时，首先牢记有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数与0相乘都得0。解题步骤为：第一步先判断两个乘数的符号，确定乘积的符号；第二步计算两个乘数绝对值的乘积；第三步结合符号写出最终结果。具体到每道小题：
(1)两个乘数都是正数，同号得正，直接计算绝对值的乘积即可；
(2)其中一个乘数是0，直接根据法则得结果为0；
(3)两个乘数一正一负，异号得负，再计算分数绝对值的乘积，最后加上负号；
(4)两个乘数一正一负，异号得负，再计算小数绝对值的乘积，最后加上负号。
【解析】
(1) 两个因数同号，乘积为正，计算绝对值的乘积：
原式=3.7×3=11.1
(2) 任何数与0相乘都得0：
原式=0
(3) 两个因数异号，乘积为负，先算绝对值的乘积：
$\frac{2}{3}×\frac{9}{4}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$，加上负号得原式=$-\frac{3}{2}$
(4) 两个因数异号，乘积为负，先算绝对值的乘积：
5.6×1.2=6.72，加上负号得原式=-6.72
【答案】
(1)11.1；(2)0；(3)$-\frac{3}{2}$；(4)$-6.72$
【知识点】
有理数乘法法则；分数乘法运算；小数乘法运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础练习题，核心考查对有理数乘法法则的应用，解题时要注意先定符号再算绝对值的乘积，避免因忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.85

5.(新知回顾)(1)因为$5×\_\_\_\_\_\_=1$，所以5的倒数是；因为$-\dfrac{1}{10}×\_\_\_\_\_\_=1$，所以$-\dfrac{1}{10}$的倒数是.
(2)$-205$的倒数是.

(1)$\frac{1}{5}$;$\frac{1}{5}$;$(-10)$;$-10$ (2)$-\frac{1}{205}$

【分析】
解题核心依据是倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。求解时，已知一个数求它的倒数，直接用1除以这个数即可；同时要注意符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，避免符号出错。
【解析】
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，计算如下：
(1) 第一个空：$1÷5=\frac{1}{5}$，因此$5×\frac{1}{5}=1$，5的倒数是$\frac{1}{5}$；
第二个空：$1÷(-\frac{1}{10})=-10$，因此$-\frac{1}{10}×(-10)=1$，$-\frac{1}{10}$的倒数是$-10$。
(2) 求$-205$的倒数：$1÷(-205)=-\frac{1}{205}$，因此$-205$的倒数是$-\frac{1}{205}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$;$\frac{1}{5}$;$(-10)$;$-10$ (2)$-\frac{1}{205}$
【知识点】
倒数的定义，有理数除法，符号法则
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对倒数定义的掌握，解题时牢记互为倒数的两数乘积为1，注意负数的倒数符号不变即可顺利求解，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.9

6.下列各组数中互为倒数的是 ()

A.+3和－3
B.$-3\frac{1}{2}$和$\frac{2}{7}$
C.0.25和－4
D.$-5$和$-\frac{1}{5}$

D

【分析】
解题首先要明确倒数的核心定义：乘积为1的两个数互为倒数。我们可以先利用有理数乘法的符号规律缩小排查范围：因为1是正数，只有同号两个数相乘才得正，所以互为倒数的两个数符号一定相同，可先排除符号不同的选项，再计算剩余选项中两个数的乘积，乘积等于1的即为正确答案。
【解析】
根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），逐一分析选项：
A选项：$(+3)×(-3)=-9≠1$，两数互为相反数，不互为倒数，不符合题意；
B选项：先将$-3\frac{1}{2}$化为假分数得$-\frac{7}{2}$，计算乘积：$-\frac{7}{2}×\frac{2}{7}=-1≠1$，不互为倒数，不符合题意；
C选项：0.25化成分数为$\frac{1}{4}$，计算乘积：$\frac{1}{4}×(-4)=-1≠1$，不互为倒数，不符合题意；
D选项：计算乘积：$(-5)×(-\frac{1}{5})=1$，符合倒数定义，互为倒数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义；有理数乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记倒数的定义，先通过符号判断排除错误选项，再验证乘积，可提高解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8

元认知·总结
一个数和它的倒数相等，则这个数是.

1或－1

【分析】
首先回忆倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，且0没有倒数。我们可以设这个数为x，根据“一个数和它的倒数相等”的条件列出等量关系，再结合有理数乘法的运算规则找出符合条件的数，最后验证结果是否符合倒数的要求即可。
【解析】
设这个数为$ x $，根据倒数的定义，$ x $的倒数为$ \frac{1}{x} $，其中$ x ≠ 0 $（0没有倒数，不符合题意）。
由题意可得：$ x = \frac{1}{x} $
等式两边同时乘$ x $（$ x ≠ 0 $，等式成立），得：$ x^2 = 1 $
结合有理数乘法“同号得正”的法则：
当$ x=1 $时，$ 1 × 1 = 1 $，1的倒数是1，符合要求；
当$ x=-1 $时，$ (-1) × (-1) = 1 $，-1的倒数是-1，符合要求。
因此这个数是1或-1。
【答案】
1或－1
【知识点】
倒数的概念；有理数的乘法运算
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是熟练掌握倒数的定义，易错点是容易忽略负数情况漏写-1，或是错误将0纳入考虑范围，解题后可通过代入验证的方式检查结果是否正确。
【难度系数】
0.8

7.商店降价销售某种商品，每件降价5元，售出60件后，与原价销售同样数量的商品相比，销售额的变化情况表示为 ()

A.$(-5)×60$
B.$5×60$
C.$5×(-60)$
D.$(-5)×(-60)$

A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确正负数在本题中的实际含义，我们可以将销售额比原价多记为正，比原价少记为负。先确定售出1件商品时销售额的变化量，再乘以销售的总件数，就能得到总的销售额变化情况。
【解析】
首先规定正负意义：设销售额增加为正，减少为负。已知每件商品降价5元，说明售出1件商品时，相比原价销售，销售额减少5元，即每件的销售额变化量为-5元。
再计算总变化量：一共售出60件，总销售额的变化量=每件的销售额变化量×销售数量，列式为$(-5)× 60$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正负数的意义；有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合生活中的降价销售场景考查有理数相关知识，解题的核心是准确理解“降价”对应的正负含义，再根据乘法的意义列式，只要理清数量关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

8. 新情境 杜师傅攀登一座山峰，他每登高1 km，气温的变化量为－6 ℃，当杜师傅攀登6 km后，气温将会()

A.下降36 ℃
B.上升36 ℃
C.下降6 ℃
D.上升6 ℃

A

【分析】首先要明确正负数在本题中的实际意义：气温变化量为负表示气温下降。要求攀登6km后的气温变化，只需要用每登高1km的气温变化量乘以登高的总路程，得到总变化量后，根据结果的正负判断是上升还是下降，绝对值就是变化的温度值。
【解析】已知每登高1km气温变化量为-6℃，表示每登高1km气温下降6℃。
攀登6km后的总气温变化量为：$ 6 × (-6) = -36 \, (℃) $
结果为负，说明气温下降，下降的度数为36℃。
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】有理数的乘法；正负数的实际应用
【点评】本题结合登山气温变化的生活情境，重点考查对正负数实际意义的理解和有理数乘法法则的基本运用，解题的关键是明确负号代表气温下降的含义，正确进行乘法运算。
【难度系数】0.9