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9.如果ab=0，那么一定有 ()
A.a=b=0
B.a=0
C.b=0
D.a,b至少有一个为0
【变式1·数形结合思想】[2026马鞍山期末]如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是 ()
A.ab＞0
B.a+b0
D.(b-1)(a-1)＞0
【变式2·分类讨论思想】已知|m|=6，|n|=4，且mn
A.a=b=0
B.a=0
C.b=0
D.a,b至少有一个为0
【变式1·数形结合思想】[2026马鞍山期末]如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是 ()
A.ab＞0
B.a+b0
D.(b-1)(a-1)＞0
【变式2·分类讨论思想】已知|m|=6，|n|=4，且mn
答案
D
【变式1·数形结合思想】C
【变式2·分类讨论思想】-24
【变式1·数形结合思想】C
【变式2·分类讨论思想】-24
解析
【分析】
第9题：解题围绕有理数乘法中积为0的判定规则展开。回忆有理数乘法法则：任何数与0相乘都得0，因此若两个数乘积为0，只要两个因数中至少有1个为0即可，无需两个都为0。逐一排除选项：A要求两个都为0，过于绝对；B、C仅提及单个因数为0，遗漏另一个为0的情况，均排除；D符合性质。
变式1：结合数轴判断数的范围，再用有理数乘法符号法则判断式子正负。由数轴可得-1＜a＜0，b＞1，先判断每个因式的正负，再根据“同号相乘得正，异号相乘得负”逐一验证选项即可。
变式2：用分类讨论思想解题，先根据绝对值的性质求出m、n的所有可能取值，再结合mn异号的条件确定符号组合，最后代入计算乘积即可。
【解析】
第9题：
解：根据有理数乘法法则：0乘任何数都得0。
若ab=0，存在三种情况：①a=0，b≠0；②b=0，a≠0；③a=0且b=0，综上a、b至少有一个为0，故选D。
变式1：
解：由数轴可知-1＜a＜0，b＞1。
A选项：a为负，b为正，异号相乘得负，ab＜0，错误；
B选项：b的绝对值大于a的绝对值，正负相加取绝对值大的符号，a+b＞0，错误；
C选项：a＞-1可得a+1＞0，b＞1可得b+1＞0，同号相乘得正，式子结果大于0，正确；
D选项：b＞1可得b-1＞0，a＜0可得a-1＜0，异号相乘得负，式子结果小于0，错误。故选C。
变式2：
解：
∵|m|=6，
∴m=6或m=-6；
∵|n|=4，
∴n=4或n=-4；
由题意得mn异号，分两种情况：
①m=6时，n=-4，mn=6×(-4)=-24；
②m=-6时，n=4，mn=(-6)×4=-24；
综上，mn=-24。
【答案】
D；【变式1】C；【变式2】-24
【知识点】
有理数乘法法则；绝对值的性质；数轴的应用
【点评】
这组题目围绕有理数乘法核心考点设置，分别考查了乘积为0的判定、结合数轴判断乘法符号、分类讨论计算含绝对值的乘法运算，既落实了基础法则的应用，也渗透了数形结合、分类讨论的常用数学思想。
【难度系数】
0.8
第9题：解题围绕有理数乘法中积为0的判定规则展开。回忆有理数乘法法则：任何数与0相乘都得0，因此若两个数乘积为0，只要两个因数中至少有1个为0即可，无需两个都为0。逐一排除选项：A要求两个都为0，过于绝对；B、C仅提及单个因数为0，遗漏另一个为0的情况，均排除；D符合性质。
变式1：结合数轴判断数的范围，再用有理数乘法符号法则判断式子正负。由数轴可得-1＜a＜0，b＞1，先判断每个因式的正负，再根据“同号相乘得正，异号相乘得负”逐一验证选项即可。
变式2：用分类讨论思想解题，先根据绝对值的性质求出m、n的所有可能取值，再结合mn异号的条件确定符号组合，最后代入计算乘积即可。
【解析】
第9题：
解：根据有理数乘法法则：0乘任何数都得0。
若ab=0，存在三种情况：①a=0，b≠0；②b=0，a≠0；③a=0且b=0，综上a、b至少有一个为0，故选D。
变式1：
解：由数轴可知-1＜a＜0，b＞1。
A选项：a为负，b为正，异号相乘得负，ab＜0，错误；
B选项：b的绝对值大于a的绝对值，正负相加取绝对值大的符号，a+b＞0，错误；
C选项：a＞-1可得a+1＞0，b＞1可得b+1＞0，同号相乘得正，式子结果大于0，正确；
D选项：b＞1可得b-1＞0，a＜0可得a-1＜0，异号相乘得负，式子结果小于0，错误。故选C。
变式2：
解：
∵|m|=6，
∴m=6或m=-6；
∵|n|=4，
∴n=4或n=-4；
由题意得mn异号，分两种情况：
①m=6时，n=-4，mn=6×(-4)=-24；
②m=-6时，n=4，mn=(-6)×4=-24；
综上，mn=-24。
【答案】
D；【变式1】C；【变式2】-24
【知识点】
有理数乘法法则；绝对值的性质；数轴的应用
【点评】
这组题目围绕有理数乘法核心考点设置，分别考查了乘积为0的判定、结合数轴判断乘法符号、分类讨论计算含绝对值的乘法运算，既落实了基础法则的应用，也渗透了数形结合、分类讨论的常用数学思想。
【难度系数】
0.8
10. 新题型 已知有理数$a≠1$，我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的差倒数，如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=-1$，-1的差倒数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$。如果$a_1=-2$，$a_2$是$a_1$的差倒数，$a_3$是$a_2$的差倒数，$a_4$是$a_3$的差倒数……以此类推，$a_{2028}$的值是
$\frac{3}{2}$
。答案
$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题是新定义类的规律探究题，解题思路如下：首先准确理解“差倒数”的定义，即有理数a（a≠1）的差倒数为$\frac{1}{1-a}$；其次根据定义依次计算前几项的数值，观察发现数值会周期性重复，找到循环周期；最后用所求项的项数除以周期，根据余数判断该项对应周期内的第几个数值，即可得到结果。
【解析】
已知$a_1=-2$，根据差倒数的定义依次计算：
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{3}{2}}=-2$
观察可得，数列以$-2,\frac{1}{3},\frac{3}{2}$三个数为一个周期循环出现，周期为3。
计算$2028÷3=676$，没有余数，说明$a_{2028}$对应一个周期的最后一个数，即$a_{2028}=a_3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数除法
【点评】
本题结合新定义考查规律探究能力，解题的核心是先通过计算前几项找到循环周期，再利用周期规律求解，计算过程需要注意符号和分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类的规律探究题，解题思路如下：首先准确理解“差倒数”的定义，即有理数a（a≠1）的差倒数为$\frac{1}{1-a}$；其次根据定义依次计算前几项的数值，观察发现数值会周期性重复，找到循环周期；最后用所求项的项数除以周期，根据余数判断该项对应周期内的第几个数值，即可得到结果。
【解析】
已知$a_1=-2$，根据差倒数的定义依次计算：
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{3}{2}}=-2$
观察可得，数列以$-2,\frac{1}{3},\frac{3}{2}$三个数为一个周期循环出现，周期为3。
计算$2028÷3=676$，没有余数，说明$a_{2028}$对应一个周期的最后一个数，即$a_{2028}=a_3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数除法
【点评】
本题结合新定义考查规律探究能力，解题的核心是先通过计算前几项找到循环周期，再利用周期规律求解，计算过程需要注意符号和分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
11.如图,每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌,请任选其中两块木牌上的数做乘法,结果记作P.
(1)要使P的值最大,应选择的两个数为
(2)计算P的最大值;
(3)计算P的最大值比P的最小值大多少.
(1)要使P的值最大,应选择的两个数为
-4
,-6
;(2)计算P的最大值;
(3)计算P的最大值比P的最小值大多少.
答案
解：(1)$-4$；$-6$
(2)$(-4)×(-6)=24$,所以P的最大值为24.
(3)由题意易知,P的最小值为$5×(-6)=-30,24-(-30)=54$,所以P的最大值比P的最小值大54.
(2)$(-4)×(-6)=24$,所以P的最大值为24.
(3)由题意易知,P的最小值为$5×(-6)=-30,24-(-30)=54$,所以P的最大值比P的最小值大54.
解析
【分析】
(1)要使两个数的乘积P最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，正数大于所有负数，因此乘积最大一定是同号两数相乘的结果，只需比较所有同号两数的乘积大小，就能找到对应的两个数。
(2)找到乘积最大的两个数后，直接按照有理数乘法法则计算即可得到P的最大值。
(3)要找P的最小值，根据乘法规则，负数小于正数，因此最小乘积是异号两数相乘得到的负数，且两个数的绝对值越大，乘积的绝对值越大，对应的负数越小，找到最小乘积后，用最大值减去最小值就能得到差值。
【解析】
(1)木牌上的数为-6、-4、5，同号两数的组合仅为-4和-6，计算得乘积为$(-4)×(-6)=24$，是所有组合里最大的正乘积，因此要使P最大，选择的两个数为-4和-6。
(2)计算所选两数的乘积：$(-4)×(-6)=24$，因此P的最大值为24。
(3)先计算所有异号两数的乘积：$5×(-4)=-20$，$5×(-6)=-30$，比较得P的最小值为-30。则最大值比最小值大：$24 - (-30) = 24 + 30 = 54$。
【答案】
(1)$-4$；$-6$
(2)24
(3)54
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较；有理数减法运算
【点评】
本题核心是利用有理数乘法的符号规律判断乘积最大、最小组合，解题时要先确定符合要求的数的符号特征，再代入计算即可，是对有理数基础运算的巩固练习。
【难度系数】
0.8
(1)要使两个数的乘积P最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，正数大于所有负数，因此乘积最大一定是同号两数相乘的结果，只需比较所有同号两数的乘积大小，就能找到对应的两个数。
(2)找到乘积最大的两个数后，直接按照有理数乘法法则计算即可得到P的最大值。
(3)要找P的最小值，根据乘法规则，负数小于正数，因此最小乘积是异号两数相乘得到的负数，且两个数的绝对值越大，乘积的绝对值越大，对应的负数越小，找到最小乘积后，用最大值减去最小值就能得到差值。
【解析】
(1)木牌上的数为-6、-4、5，同号两数的组合仅为-4和-6，计算得乘积为$(-4)×(-6)=24$，是所有组合里最大的正乘积，因此要使P最大，选择的两个数为-4和-6。
(2)计算所选两数的乘积：$(-4)×(-6)=24$，因此P的最大值为24。
(3)先计算所有异号两数的乘积：$5×(-4)=-20$，$5×(-6)=-30$，比较得P的最小值为-30。则最大值比最小值大：$24 - (-30) = 24 + 30 = 54$。
【答案】
(1)$-4$；$-6$
(2)24
(3)54
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较；有理数减法运算
【点评】
本题核心是利用有理数乘法的符号规律判断乘积最大、最小组合，解题时要先确定符合要求的数的符号特征，再代入计算即可，是对有理数基础运算的巩固练习。
【难度系数】
0.8
12.运算能力【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习该内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考。
【探索】
(1)若ab=6，则a+b的值为①正数，②负数，③0，你认为结果可能是
(2)若a+b=-5，且a,b为整数，则ab的最大值为
【拓展】
(3)数轴上A,B两点分别对应有理数a,b，若ab
【探索】
(1)若ab=6，则a+b的值为①正数，②负数，③0，你认为结果可能是
①②
；(填序号)(2)若a+b=-5，且a,b为整数，则ab的最大值为
6
；【拓展】
(3)数轴上A,B两点分别对应有理数a,b，若ab
答案
解：(1)①②
(2)6
(3)因为$ab＜0$,所以a,b异号.
当$a＞0,b＜0$时,若$|a|＞|b|$,则$a+b＞0$;
若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＜0$.
当$a＜0,b＞0$时,若$|a|＞|b|$,则$a+b＜0$;
若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＞0$.
(2)6
(3)因为$ab＜0$,所以a,b异号.
当$a＞0,b＜0$时,若$|a|＞|b|$,则$a+b＞0$;
若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＜0$.
当$a＜0,b＞0$时,若$|a|＞|b|$,则$a+b＜0$;
若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＞0$.
解析
【分析】
（1）先根据ab=6判断a、b的符号关系：有理数乘法中同号得正，因此a、b同为正数或同为负数。若a、b均为正，两正数相加和为正；若a、b均为负，两负数相加和为负；同号两数相加和不可能为0，据此判断结果。
（2）要使ab最大，先判断乘积的符号：两个数的和为-5，若a、b一正一负则乘积为负，若a、b同为负数则乘积为正，因此需取同为负的整数对；两个数和固定时，两数越接近乘积越大，找到最接近的两个负整数计算乘积即可。
（3）先由ab＜0得a、b异号，分a＞0、b＜0和a＜0、b＞0两种情况，再结合绝对值的大小关系，根据有理数加法法则判断a+b的符号即可。
【解析】
解：(1)
∵ab=6＞0，
∴a、b同号。
当a、b都为正数时，a+b＞0，为正数；当a、b都为负数时，a+b＜0，为负数；同号两数相加和不可能为0，因此结果可能是①②。
(2)
∵a+b=-5，要使ab最大，则ab应为正数，即a、b同为负整数。
和为-5的负整数对有：(-1,-4)，乘积为(-1)×(-4)=4；(-2,-3)，乘积为(-2)×(-3)=6，因此ab的最大值为6。
(3)
∵ab＜0，
∴a,b异号。
当a＞0,b＜0时，若|a|＞|b|，则a+b＞0；若|a|=|b|，则a+b=0；若|a|＜|b|，则a+b＜0。
当a＜0,b＞0时，若|a|＞|b|，则a+b＜0；若|a|=|b|，则a+b=0；若|a|＜|b|，则a+b＞0。
【答案】
(1)①②
(2)6
(3)因为$ab＜0$,所以a,b异号.
当$a＞0,b＜0$时,若$|a|＞|b|$,则$a+b＞0$;
若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＜0$.
当$a＜0,b＞0$时,若$|a|＞|b|$,则$a+b＜0$;
若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＞0$.
【知识点】
有理数乘法法则，有理数加法法则，分类讨论思想
【点评】
本题围绕有理数的运算法则展开，既考查了对运算中符号判断规则的掌握，也要求能灵活运用分类讨论思想分析不同取值下的结果，对运算能力和逻辑思维能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
（1）先根据ab=6判断a、b的符号关系：有理数乘法中同号得正，因此a、b同为正数或同为负数。若a、b均为正，两正数相加和为正；若a、b均为负，两负数相加和为负；同号两数相加和不可能为0，据此判断结果。
（2）要使ab最大，先判断乘积的符号：两个数的和为-5，若a、b一正一负则乘积为负，若a、b同为负数则乘积为正，因此需取同为负的整数对；两个数和固定时，两数越接近乘积越大，找到最接近的两个负整数计算乘积即可。
（3）先由ab＜0得a、b异号，分a＞0、b＜0和a＜0、b＞0两种情况，再结合绝对值的大小关系，根据有理数加法法则判断a+b的符号即可。
【解析】
解：(1)
∵ab=6＞0，
∴a、b同号。
当a、b都为正数时，a+b＞0，为正数；当a、b都为负数时，a+b＜0，为负数；同号两数相加和不可能为0，因此结果可能是①②。
(2)
∵a+b=-5，要使ab最大，则ab应为正数，即a、b同为负整数。
和为-5的负整数对有：(-1,-4)，乘积为(-1)×(-4)=4；(-2,-3)，乘积为(-2)×(-3)=6，因此ab的最大值为6。
(3)
∵ab＜0，
∴a,b异号。
当a＞0,b＜0时，若|a|＞|b|，则a+b＞0；若|a|=|b|，则a+b=0；若|a|＜|b|，则a+b＜0。
当a＜0,b＞0时，若|a|＞|b|，则a+b＜0；若|a|=|b|，则a+b=0；若|a|＜|b|，则a+b＞0。
【答案】
(1)①②
(2)6
(3)因为$ab＜0$,所以a,b异号.
当$a＞0,b＜0$时,若$|a|＞|b|$,则$a+b＞0$;
若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＜0$.
当$a＜0,b＞0$时,若$|a|＞|b|$,则$a+b＜0$;
若$|a|=|b|$,则$a+b=0$;若$|a|＜|b|$,则$a+b＞0$.
【知识点】
有理数乘法法则，有理数加法法则，分类讨论思想
【点评】
本题围绕有理数的运算法则展开，既考查了对运算中符号判断规则的掌握，也要求能灵活运用分类讨论思想分析不同取值下的结果，对运算能力和逻辑思维能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
