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1.下列各式中,是方程的有 (
①$x=0$;②$3x - 5 = 2x + 1$;③$2x + 6$;④$x - y = 0$;⑤$\frac{y}{2}=5y + 3$;⑥$a^2 + a - 6 = 0$.
A.2个
B.3个
C.5个
D.4个
C
)①$x=0$;②$3x - 5 = 2x + 1$;③$2x + 6$;④$x - y = 0$;⑤$\frac{y}{2}=5y + 3$;⑥$a^2 + a - 6 = 0$.
A.2个
B.3个
C.5个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
判断式子是否为方程需同时满足两个核心条件：一是式子为等式（含有等号），二是式子中含有未知数。我们只需逐个验证给出的6个式子是否同时满足这两个条件，统计符合要求的式子数量即可得到答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个分析如下：
①$x=0$：是等式且含未知数x，是方程；
②$3x - 5 = 2x + 1$：是等式且含未知数x，是方程；
③$2x + 6$：没有等号，不属于等式，不是方程；
④$x - y = 0$：是等式且含未知数x、y，是方程；
⑤$\frac{y}{2}=5y + 3$：是等式且含未知数y，是方程；
⑥$a^2 + a - 6 = 0$：是等式且含未知数a，是方程。
综上，共有5个式子是方程，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义、等式的识别
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是牢记方程的两个判定条件，注意只要同时满足含未知数、是等式的式子就是方程，和未知数的个数、次数无关。
【难度系数】
0.85
判断式子是否为方程需同时满足两个核心条件：一是式子为等式（含有等号），二是式子中含有未知数。我们只需逐个验证给出的6个式子是否同时满足这两个条件，统计符合要求的式子数量即可得到答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个分析如下：
①$x=0$：是等式且含未知数x，是方程；
②$3x - 5 = 2x + 1$：是等式且含未知数x，是方程；
③$2x + 6$：没有等号，不属于等式，不是方程；
④$x - y = 0$：是等式且含未知数x、y，是方程；
⑤$\frac{y}{2}=5y + 3$：是等式且含未知数y，是方程；
⑥$a^2 + a - 6 = 0$：是等式且含未知数a，是方程。
综上，共有5个式子是方程，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义、等式的识别
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是牢记方程的两个判定条件，注意只要同时满足含未知数、是等式的式子就是方程，和未知数的个数、次数无关。
【难度系数】
0.85
2.若关于$x$的方程$(3 - m)x^{2|m| -5} +7=2$是一元一次方程，则$m=$
-3
。答案
2.-3
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③未知数的系数不为0，且是整式方程。结合题目给出的方程，我们需要先根据“未知数次数为1”列方程求出m的可能值，再根据“系数不为0”排除不符合要求的m值，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(3 - m)x^{2|m| -5} +7=2$是一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的次数为1，即：
$2|m| - 5 = 1$
移项得：$2|m| = 6$
化简得：$|m| = 3$
解得：$m = 3$或$m = -3$
2. 一次项系数不为0，即：
$3 - m ≠ 0$
解得：$m ≠ 3$
综上，排除$m=3$，可得$m = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误将m=3也作为正确结果，解题时需逐一验证定义中的所有要求，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③未知数的系数不为0，且是整式方程。结合题目给出的方程，我们需要先根据“未知数次数为1”列方程求出m的可能值，再根据“系数不为0”排除不符合要求的m值，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(3 - m)x^{2|m| -5} +7=2$是一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的次数为1，即：
$2|m| - 5 = 1$
移项得：$2|m| = 6$
化简得：$|m| = 3$
解得：$m = 3$或$m = -3$
2. 一次项系数不为0，即：
$3 - m ≠ 0$
解得：$m ≠ 3$
综上，排除$m=3$，可得$m = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误将m=3也作为正确结果，解题时需逐一验证定义中的所有要求，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
3.已知$x=3$是一元一次方程$2x - a = 1$的解，则$a=$
5
。答案
3.5
4. [2026 淮北期末] 下列变形不一定正确的是(
A.若$x=y$，则$x - 5 = y - 5$
B.若$-3x = -3y$，则$x = y$
C.若$\frac{x}{2} = \frac{y}{2}$，则$x = y$
D.若$x = y$，则$\frac{x}{m} = \frac{y}{m}$
D
)A.若$x=y$，则$x - 5 = y - 5$
B.若$-3x = -3y$，则$x = y$
C.若$\frac{x}{2} = \frac{y}{2}$，则$x = y$
D.若$x = y$，则$\frac{x}{m} = \frac{y}{m}$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路是先回忆等式的两条基本性质，再逐一对照每个选项的变形是否符合性质要求，重点注意等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0，否则运算无意义，据此判断哪个变形不一定成立。
【解析】
根据等式的基本性质逐个分析选项：
A. 依据等式性质1：等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立。若$x=y$，两边同时减去5，可得$x-5=y-5$，变形一定正确；
B. 依据等式性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。若$-3x=-3y$，两边同时除以不为0的$-3$，可得$x=y$，变形一定正确；
C. 依据等式性质2，若$\frac{x}{2}=\frac{y}{2}$，两边同时乘不为0的2，可得$x=y$，变形一定正确；
D. 若$x=y$，要得到$\frac{x}{m}=\frac{y}{m}$，需要两边同时除以$m$，当$m=0$时，分母为0，分式无意义，因此只有$m≠0$时变形才成立，该变形不一定正确。
综上，符合题意的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、除数不为0
【点评】
本题是等式性质的基础考察题，易错点是容易忽略等式两边作除法运算时，除数不能为0的限制条件，遇到含字母的除法变形时，要优先考虑除数是否可能为0。
【难度系数】
0.7
本题考查等式基本性质的应用，解题思路是先回忆等式的两条基本性质，再逐一对照每个选项的变形是否符合性质要求，重点注意等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0，否则运算无意义，据此判断哪个变形不一定成立。
【解析】
根据等式的基本性质逐个分析选项：
A. 依据等式性质1：等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立。若$x=y$，两边同时减去5，可得$x-5=y-5$，变形一定正确；
B. 依据等式性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。若$-3x=-3y$，两边同时除以不为0的$-3$，可得$x=y$，变形一定正确；
C. 依据等式性质2，若$\frac{x}{2}=\frac{y}{2}$，两边同时乘不为0的2，可得$x=y$，变形一定正确；
D. 若$x=y$，要得到$\frac{x}{m}=\frac{y}{m}$，需要两边同时除以$m$，当$m=0$时，分母为0，分式无意义，因此只有$m≠0$时变形才成立，该变形不一定正确。
综上，符合题意的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、除数不为0
【点评】
本题是等式性质的基础考察题，易错点是容易忽略等式两边作除法运算时，除数不能为0的限制条件，遇到含字母的除法变形时，要优先考虑除数是否可能为0。
【难度系数】
0.7
5.如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是(
A.若$a=2b$，则$a+c=2b+c$
B.若$a=2b$，则$a-c=2b-c$
C.若$a=2b$，则$ac=2bc$
D.若$a+c=2b+c$，则$a=2b$
A
)A.若$a=2b$，则$a+c=2b+c$
B.若$a=2b$，则$a-c=2b-c$
C.若$a=2b$，则$ac=2bc$
D.若$a+c=2b+c$，则$a=2b$
答案
5.A
解析
【分析】
解题第一步先读懂天平的变化意义：初始天平左右平衡，代表左右盘物体质量相等，即$a=2b$；第二步观察天平的操作：左右两个盘子都同时放上了质量为$c$的砝码，天平仍然保持平衡，这对应等式的基本性质1：等式两边同时加上同一个数（或整式），等式仍然成立。第三步逐一匹配选项，找出符合“由$a=2b$，两边同时加$c$得到$a+c=2b+c$”的选项即可。
【解析】
初始状态天平平衡，说明左盘质量=右盘质量，即$\boldsymbol{a=2b}$；
随后天平左右两盘各加入1个质量为$c$的砝码，天平仍然平衡，说明此时左盘总质量=右盘总质量，即$\boldsymbol{a+c=2b+c}$。
逐一分析选项：
A选项：若$a=2b$，则$a+c=2b+c$，是等式两边同时加$c$，与天平变形意义完全一致，符合要求；
B选项：是等式两边同时减$c$，对应天平两边同时拿掉$c$的操作，与题意不符，排除；
C选项：是等式两边同时乘$c$，对应天平两边质量同时变为原来的$c$倍的操作，与题意不符，排除；
D选项：是等式两边同时减$c$得到$a=2b$，对应从两边都有$c$的平衡天平拿掉$c$得到初始天平的过程，是题目天平变化的逆过程，与题意不符，排除。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题结合天平的平衡原理考查等式的性质，解题的关键是明确天平变化对应的等式变形操作，同时要注意区分等式变形的方向和运算类型。
【难度系数】
0.8
解题第一步先读懂天平的变化意义：初始天平左右平衡，代表左右盘物体质量相等，即$a=2b$；第二步观察天平的操作：左右两个盘子都同时放上了质量为$c$的砝码，天平仍然保持平衡，这对应等式的基本性质1：等式两边同时加上同一个数（或整式），等式仍然成立。第三步逐一匹配选项，找出符合“由$a=2b$，两边同时加$c$得到$a+c=2b+c$”的选项即可。
【解析】
初始状态天平平衡，说明左盘质量=右盘质量，即$\boldsymbol{a=2b}$；
随后天平左右两盘各加入1个质量为$c$的砝码，天平仍然平衡，说明此时左盘总质量=右盘总质量，即$\boldsymbol{a+c=2b+c}$。
逐一分析选项：
A选项：若$a=2b$，则$a+c=2b+c$，是等式两边同时加$c$，与天平变形意义完全一致，符合要求；
B选项：是等式两边同时减$c$，对应天平两边同时拿掉$c$的操作，与题意不符，排除；
C选项：是等式两边同时乘$c$，对应天平两边质量同时变为原来的$c$倍的操作，与题意不符，排除；
D选项：是等式两边同时减$c$得到$a=2b$，对应从两边都有$c$的平衡天平拿掉$c$得到初始天平的过程，是题目天平变化的逆过程，与题意不符，排除。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题结合天平的平衡原理考查等式的性质，解题的关键是明确天平变化对应的等式变形操作，同时要注意区分等式变形的方向和运算类型。
【难度系数】
0.8
6.解方程：
(1)$9 - 3y = 5y + 5$；
(2)$3(x - 1) = -2(1 + x)$；
(3)$\dfrac{2x - 1}{2} - 1 = \dfrac{5x - 7}{3}$。
(1)$9 - 3y = 5y + 5$；
(2)$3(x - 1) = -2(1 + x)$；
(3)$\dfrac{2x - 1}{2} - 1 = \dfrac{5x - 7}{3}$。
答案
6.解：(1)移项,得$9-5=5y+3y$,合并同类项,得$4=8y$,系数化为1,得$y=\frac{1}{2}$.
(2)去括号,得$3x-3=-2-2x$,移项、合并同类项,得$5x=1$,系数化为1,得$x=\frac{1}{5}$.
(3)去分母,得$3(2x-1)-6=2(5x-7)$,去括号,得$6x-3-6=10x-14$,移项、合并同类项,得$-4x=-5$,系数化为1,得$x=\frac{5}{4}$.
(2)去括号,得$3x-3=-2-2x$,移项、合并同类项,得$5x=1$,系数化为1,得$x=\frac{1}{5}$.
(3)去分母,得$3(2x-1)-6=2(5x-7)$,去括号,得$6x-3-6=10x-14$,移项、合并同类项,得$-4x=-5$,系数化为1,得$x=\frac{5}{4}$.
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程求解，解题时可根据方程的结构选择对应步骤，解一元一次方程的通用逻辑为：先观察方程是否有分母，有分母先去分母；再观察是否有括号，有括号先去括号；之后进行移项（移项要变号）、合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。(1)无分母和括号，直接移项合并求解；(2)带有括号，先去括号再按后续步骤求解；(3)带有分母，先去分母再依次完成后续步骤，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【解析】
(1)移项，得$9-5=5y+3y$，合并同类项，得$4=8y$，系数化为1，得$y=\frac{1}{2}$。
(2)去括号，得$3x-3=-2-2x$，移项、合并同类项，得$5x=1$，系数化为1，得$x=\frac{1}{5}$。
(3)去分母，得$3(2x-1)-6=2(5x-7)$，去括号，得$6x-3-6=10x-14$，移项、合并同类项，得$-4x=-5$，系数化为1，得$x=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1)$y=\frac{1}{2}$；(2)$x=\frac{1}{5}$；(3)$x=\frac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的基本性质、去括号去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，覆盖了不同复杂度的一元一次方程形式，能有效帮助学生熟练掌握解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意规避移项变号错误、去分母漏乘常数项、去括号符号错误等常见失分点。
【难度系数】
0.8
这三道题均为一元一次方程求解，解题时可根据方程的结构选择对应步骤，解一元一次方程的通用逻辑为：先观察方程是否有分母，有分母先去分母；再观察是否有括号，有括号先去括号；之后进行移项（移项要变号）、合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。(1)无分母和括号，直接移项合并求解；(2)带有括号，先去括号再按后续步骤求解；(3)带有分母，先去分母再依次完成后续步骤，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【解析】
(1)移项，得$9-5=5y+3y$，合并同类项，得$4=8y$，系数化为1，得$y=\frac{1}{2}$。
(2)去括号，得$3x-3=-2-2x$，移项、合并同类项，得$5x=1$，系数化为1，得$x=\frac{1}{5}$。
(3)去分母，得$3(2x-1)-6=2(5x-7)$，去括号，得$6x-3-6=10x-14$，移项、合并同类项，得$-4x=-5$，系数化为1，得$x=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1)$y=\frac{1}{2}$；(2)$x=\frac{1}{5}$；(3)$x=\frac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的基本性质、去括号去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，覆盖了不同复杂度的一元一次方程形式，能有效帮助学生熟练掌握解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意规避移项变号错误、去分母漏乘常数项、去括号符号错误等常见失分点。
【难度系数】
0.8
7. [2025河北中考]甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为$a$，$b$. 如图，将甲纸条的$\frac{1}{3}$与乙纸条的$\frac{2}{5}$叠合在一起，形成长为81的纸条，则$a+b=$
99
.答案
7.99
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心等量关系：①重叠部分的长度是固定值，既等于甲纸条长度的$\frac{1}{3}$，也等于乙纸条长度的$\frac{2}{5}$，据此可建立a、b和重叠长度的关系；②叠合后总长度=甲纸条长度+乙纸条长度-重叠部分长度（重叠部分被重复计算1次，需减去）。我们可以先设重叠长度为未知数，用未知数表示a和b，再代入总长度的等式求解，最后计算a+b的值。
【解析】
设两张纸条的重叠部分长度为$x$。
根据题意：
重叠部分是甲纸条的$\frac{1}{3}$，即$x=\frac{1}{3}a$，可得$a=3x$；
重叠部分是乙纸条的$\frac{2}{5}$，即$x=\frac{2}{5}b$，可得$b=\frac{5}{2}x$。
已知叠合后纸条长为81，根据总长度的计算规则：
$a + b - x = 81$
将$a=3x$、$b=\frac{5}{2}x$代入上式：
$3x + \frac{5}{2}x - x = 81$
合并同类项得：$\frac{9}{2}x = 81$
解得：$x=18$
则$a=3×18=54$，$b=\frac{5}{2}×18=45$
所以$a+b=54+45=99$
【答案】
99
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 重叠问题的数量关系
【点评】
本题是典型的重叠类应用题型，解题的核心是找准两个等量关系：重叠部分和两张纸条长度的对应关系，以及叠合后总长度的计算公式，熟练掌握这类题型的逻辑就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两个核心等量关系：①重叠部分的长度是固定值，既等于甲纸条长度的$\frac{1}{3}$，也等于乙纸条长度的$\frac{2}{5}$，据此可建立a、b和重叠长度的关系；②叠合后总长度=甲纸条长度+乙纸条长度-重叠部分长度（重叠部分被重复计算1次，需减去）。我们可以先设重叠长度为未知数，用未知数表示a和b，再代入总长度的等式求解，最后计算a+b的值。
【解析】
设两张纸条的重叠部分长度为$x$。
根据题意：
重叠部分是甲纸条的$\frac{1}{3}$，即$x=\frac{1}{3}a$，可得$a=3x$；
重叠部分是乙纸条的$\frac{2}{5}$，即$x=\frac{2}{5}b$，可得$b=\frac{5}{2}x$。
已知叠合后纸条长为81，根据总长度的计算规则：
$a + b - x = 81$
将$a=3x$、$b=\frac{5}{2}x$代入上式：
$3x + \frac{5}{2}x - x = 81$
合并同类项得：$\frac{9}{2}x = 81$
解得：$x=18$
则$a=3×18=54$，$b=\frac{5}{2}×18=45$
所以$a+b=54+45=99$
【答案】
99
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 重叠问题的数量关系
【点评】
本题是典型的重叠类应用题型，解题的核心是找准两个等量关系：重叠部分和两张纸条长度的对应关系，以及叠合后总长度的计算公式，熟练掌握这类题型的逻辑就能快速解题。
【难度系数】
0.7
8. [2025北京中考]北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝,小明准备了五根直竹条(如图①):一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图②),其头部高、胸腹高与尾部高的比是$1:1:2$.已知单根膀条长是胸腹高的5倍,门条比单根膀条短10 cm,图①中BC的长是门条长的$\frac{5}{9}$,AB,CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
答案
8.解: 设胸腹高为$x$ cm,则单根膀条长为$5x$ cm,门条$AD$的长为$(5x-10)$ cm,$BC=\frac{5}{9}(5x-10)$ cm,$AB=CD=x$ cm,头部高为$x$ cm,尾部高为$2x$ cm,这只风筝的骨架的总高为$4x$ cm.
由$AD=AB+BC+CD$,可得$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$,解得$x=20$,则$4x=80$.
答: 这只风筝的骨架的总高为80 cm.
由$AD=AB+BC+CD$,可得$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$,解得$x=20$,则$4x=80$.
答: 这只风筝的骨架的总高为80 cm.
解析
【分析】
首先梳理题干中的数量关系，发现多个未知量都和胸腹高相关，因此优先设胸腹高为未知数x，将单根膀条长度、门条长度、BC长度、AB和CD长度都用含x的代数式表示。再根据门条AD由AB、BC、CD三段拼接组成，得到等量关系：$AD=AB+BC+CD$，据此列一元一次方程求解x的值。最后根据头部高、胸腹高、尾部高的比为$1:1:2$，可知总高为$4x$，代入x的数值即可得到骨架总高。
【解析】
设胸腹高为$x$ cm，
根据题意可得：单根膀条长为$5x$ cm，门条$AD$的长为$(5x-10)$ cm，$BC=\frac{5}{9}(5x-10)$ cm，$AB=CD=x$ cm，
风筝骨架总高为头部高+胸腹高+尾部高 = $x+x+2x=4x$ cm。
由线段和差关系$AD=AB+BC+CD$，列方程：
$5x-10 = x + \frac{5}{9}(5x-10) + x$
两边同乘9消去分母得：
$9(5x-10) = 9x +5(5x-10) +9x$
展开整理得：
$45x -90 = 43x -50$
移项合并同类项得：
$2x=40$
解得$x=20$，则总高$4x=4×20=80$ cm。
【答案】
80 cm
【知识点】
一元一次方程应用，比例的应用，线段和差计算
【点评】
本题以国家级非物质文化遗产北京风筝制作为背景，贴近生活实际，主要考查学生提取题干数量关系、建立方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准门条各分段与总长度的等量关系，合理设未知数简化计算。
【难度系数】
0.7
首先梳理题干中的数量关系，发现多个未知量都和胸腹高相关，因此优先设胸腹高为未知数x，将单根膀条长度、门条长度、BC长度、AB和CD长度都用含x的代数式表示。再根据门条AD由AB、BC、CD三段拼接组成，得到等量关系：$AD=AB+BC+CD$，据此列一元一次方程求解x的值。最后根据头部高、胸腹高、尾部高的比为$1:1:2$，可知总高为$4x$，代入x的数值即可得到骨架总高。
【解析】
设胸腹高为$x$ cm，
根据题意可得：单根膀条长为$5x$ cm，门条$AD$的长为$(5x-10)$ cm，$BC=\frac{5}{9}(5x-10)$ cm，$AB=CD=x$ cm，
风筝骨架总高为头部高+胸腹高+尾部高 = $x+x+2x=4x$ cm。
由线段和差关系$AD=AB+BC+CD$，列方程：
$5x-10 = x + \frac{5}{9}(5x-10) + x$
两边同乘9消去分母得：
$9(5x-10) = 9x +5(5x-10) +9x$
展开整理得：
$45x -90 = 43x -50$
移项合并同类项得：
$2x=40$
解得$x=20$，则总高$4x=4×20=80$ cm。
【答案】
80 cm
【知识点】
一元一次方程应用，比例的应用，线段和差计算
【点评】
本题以国家级非物质文化遗产北京风筝制作为背景，贴近生活实际，主要考查学生提取题干数量关系、建立方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准门条各分段与总长度的等量关系，合理设未知数简化计算。
【难度系数】
0.7
