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9. 整体思想 解方程：$3(2x - 3) + \frac{1}{3}(2x - 3) = -5(2x - 3) + \frac{1}{2}(2x - 3)$
答案
9.解: 移项、合并同类项,得$\frac{47}{6}(2x-3)=0$,
则$2x-3=0$,解得$x=\frac{3}{2}$.
则$2x-3=0$,解得$x=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】观察方程可发现每一项都含有因式$(2x-3)$，因此可以将$(2x-3)$看作一个整体，无需先去括号，先通过移项、合并同类项简化方程后再求解，能避免展开括号带来的繁琐计算。具体思考步骤：第一步把所有含$(2x-3)$的项移到方程左边，移项后右边常数项为0；第二步合并同类项，计算$(2x-3)$的总系数；第三步根据“若两个非零数的乘积为0，则其中一个因数必为0”得到$2x-3=0$，再求解x即可。
【解析】
解：将$(2x-3)$看作整体，移项得：
$3(2x - 3) + \frac{1}{3}(2x - 3) + 5(2x - 3) - \frac{1}{2}(2x - 3) = 0$
合并同类项，计算$(2x-3)$的系数：
$3+\frac{1}{3}+5-\frac{1}{2}=8+\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=\frac{47}{6}$
即$\frac{47}{6}(2x-3)=0$
∵$\frac{47}{6}≠0$
∴$2x-3=0$
移项得$2x=3$
系数化为1得$x=\frac{3}{2}$
【答案】$x=\frac{3}{2}$
【知识点】整体思想解方程；解一元一次方程；合并同类项
【点评】本题侧重考查整体思想在解方程中的应用，解题时优先观察方程的结构特征，选择合适的简便方法，可大幅减少计算量，提升解题准确率和效率。
【难度系数】0.8
【解析】
解：将$(2x-3)$看作整体，移项得：
$3(2x - 3) + \frac{1}{3}(2x - 3) + 5(2x - 3) - \frac{1}{2}(2x - 3) = 0$
合并同类项，计算$(2x-3)$的系数：
$3+\frac{1}{3}+5-\frac{1}{2}=8+\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=\frac{47}{6}$
即$\frac{47}{6}(2x-3)=0$
∵$\frac{47}{6}≠0$
∴$2x-3=0$
移项得$2x=3$
系数化为1得$x=\frac{3}{2}$
【答案】$x=\frac{3}{2}$
【知识点】整体思想解方程；解一元一次方程；合并同类项
【点评】本题侧重考查整体思想在解方程中的应用，解题时优先观察方程的结构特征，选择合适的简便方法，可大幅减少计算量，提升解题准确率和效率。
【难度系数】0.8
10. 分类讨论思想 如图,这是两张不同类型火车(“D×××次”表示动车,“G×××次”表示高铁)的车票的部分信息.
(1)根据车票中的信息填空:该列动车和高铁是
(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h,300 km/h,两列火车的长度不计,高铁比动车早到1 h,求A,B两地之间的距离;
(3)在(2)的条件下,若高铁到达B地后停止运动,求高铁出发多少小时后两车相距150 km.
(1)根据车票中的信息填空:该列动车和高铁是
同
(填“相”或“同”)向而行,并且动车比高铁发车早
(填“早”或“晚”);(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h,300 km/h,两列火车的长度不计,高铁比动车早到1 h,求A,B两地之间的距离;
(3)在(2)的条件下,若高铁到达B地后停止运动,求高铁出发多少小时后两车相距150 km.
答案
10.解: (1)同;早
(2)设$A,B$两地之间的距离为$x$ km.
根据题意得$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=1+1$,解得$x=1\ 200$.
答: $A,B$两地之间的距离为1 200 km.
(3)设高铁出发$y$ h后两车相距150 km,
①当高铁还未追上动车时,$200(y+1)-300y=150$,解得$y=\frac{1}{2}$;②当高铁追上动车后,$300y-200(y+1)=150$,解得$y=\frac{7}{2}$;③当高铁到达$B$地,动车还未到达时,$200(y+1)=1\ 200-150$,解得$y=\frac{17}{4}$.
答: 高铁出发$\frac{1}{2}$ h或$\frac{7}{2}$ h或$\frac{17}{4}$ h后两车相距150 km.
(2)设$A,B$两地之间的距离为$x$ km.
根据题意得$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=1+1$,解得$x=1\ 200$.
答: $A,B$两地之间的距离为1 200 km.
(3)设高铁出发$y$ h后两车相距150 km,
①当高铁还未追上动车时,$200(y+1)-300y=150$,解得$y=\frac{1}{2}$;②当高铁追上动车后,$300y-200(y+1)=150$,解得$y=\frac{7}{2}$;③当高铁到达$B$地,动车还未到达时,$200(y+1)=1\ 200-150$,解得$y=\frac{17}{4}$.
答: 高铁出发$\frac{1}{2}$ h或$\frac{7}{2}$ h或$\frac{17}{4}$ h后两车相距150 km.
解析
【分析】
(1) 观察车票信息可知两车出发地和目的地均相同，因此为同向行驶；对比发车时间可直接判断动车发车更早。
(2) 求两地距离可设路程为未知数，分别表示出两车走完全程的时间，结合“动车早发车1小时、高铁早到1小时”可得动车总耗时比高铁多2小时，据此列一元一次方程求解即可。
(3) 设高铁出发y小时后两车相距150km，需分三类情况讨论：①高铁未追上动车时，动车行驶路程比高铁多150km；②高铁追上动车后，高铁行驶路程比动车多150km；③高铁到达B地停止后，动车距离B地还有150km，分别列方程求解，同时验证解是否符合对应场景的时间范围。
【解析】
(1) 两车均从A地开往B地，因此是同向而行；动车发车时间早于高铁，所以动车比高铁发车早。
(2) 设$A,B$两地之间的距离为$x$ km。
动车走完全程需$\frac{x}{200}$h，高铁走完全程需$\frac{x}{300}$h，由题意可知动车总耗时比高铁多$1+1=2$h，列方程：
$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=2$
通分计算得$\frac{3x-2x}{600}=2$，解得$x=1200$。
(3) 设高铁出发$y$ h后两车相距150 km，此时动车已出发$(y+1)$h：
① 高铁未追上动车时：
$200(y+1)-300y=150$
解得$y=\frac{1}{2}$，符合高铁未到达B地的条件，成立。
② 高铁追上动车后超出150km时：
$300y-200(y+1)=150$
解得$y=\frac{7}{2}$，符合高铁未到达B地的条件，成立。
③ 高铁到达B地停止后（高铁走完全程需$\frac{1200}{300}=4$h），动车距离B地150km：
$200(y+1)=1200-150$
解得$y=\frac{17}{4}$，符合高铁已到站的条件，成立。
【答案】
(1) 同；早
(2) $A,B$两地之间的距离为1 200 km
(3) 高铁出发$\frac{1}{2}$ h或$\frac{7}{2}$ h或$\frac{17}{4}$ h后两车相距150 km
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中的车票场景考查行程问题，解题核心是理清两车的时间差和路程的数量关系，第三问需要根据两车的行驶状态分类讨论，避免遗漏高铁到站后静止的情况，有助于培养严谨的逻辑思维。
【难度系数】
0.5
(1) 观察车票信息可知两车出发地和目的地均相同，因此为同向行驶；对比发车时间可直接判断动车发车更早。
(2) 求两地距离可设路程为未知数，分别表示出两车走完全程的时间，结合“动车早发车1小时、高铁早到1小时”可得动车总耗时比高铁多2小时，据此列一元一次方程求解即可。
(3) 设高铁出发y小时后两车相距150km，需分三类情况讨论：①高铁未追上动车时，动车行驶路程比高铁多150km；②高铁追上动车后，高铁行驶路程比动车多150km；③高铁到达B地停止后，动车距离B地还有150km，分别列方程求解，同时验证解是否符合对应场景的时间范围。
【解析】
(1) 两车均从A地开往B地，因此是同向而行；动车发车时间早于高铁，所以动车比高铁发车早。
(2) 设$A,B$两地之间的距离为$x$ km。
动车走完全程需$\frac{x}{200}$h，高铁走完全程需$\frac{x}{300}$h，由题意可知动车总耗时比高铁多$1+1=2$h，列方程：
$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=2$
通分计算得$\frac{3x-2x}{600}=2$，解得$x=1200$。
(3) 设高铁出发$y$ h后两车相距150 km，此时动车已出发$(y+1)$h：
① 高铁未追上动车时：
$200(y+1)-300y=150$
解得$y=\frac{1}{2}$，符合高铁未到达B地的条件，成立。
② 高铁追上动车后超出150km时：
$300y-200(y+1)=150$
解得$y=\frac{7}{2}$，符合高铁未到达B地的条件，成立。
③ 高铁到达B地停止后（高铁走完全程需$\frac{1200}{300}=4$h），动车距离B地150km：
$200(y+1)=1200-150$
解得$y=\frac{17}{4}$，符合高铁已到站的条件，成立。
【答案】
(1) 同；早
(2) $A,B$两地之间的距离为1 200 km
(3) 高铁出发$\frac{1}{2}$ h或$\frac{7}{2}$ h或$\frac{17}{4}$ h后两车相距150 km
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中的车票场景考查行程问题，解题核心是理清两车的时间差和路程的数量关系，第三问需要根据两车的行驶状态分类讨论，避免遗漏高铁到站后静止的情况，有助于培养严谨的逻辑思维。
【难度系数】
0.5
11.新题型 [2026淮南期末]定义:如果两个一元一次方程的解之和为4,我们就称这两个方程互为“友谊方程”.例如方程$3x-1=2$和方程$2x-5=1$互为“友谊方程”.
(1)请判断方程$4x-(x+5)=1$与$-2y-y=3$
(2)若关于$x$的方程$3x+\frac{k}{2}=8$与方程$x-5=5x+3$互为“友谊方程”,则$k$的值为
(1)请判断方程$4x-(x+5)=1$与$-2y-y=3$
不是
互为“友谊方程”;(填“是”或“不是”)(2)若关于$x$的方程$3x+\frac{k}{2}=8$与方程$x-5=5x+3$互为“友谊方程”,则$k$的值为
-20
.答案
11.(1)不是 (2)$-20$
解析
【分析】
本题是新定义类题目，核心是理解“友谊方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为4。解题思路为：
(1) 分别求解两个一元一次方程，计算两个解的和，判断是否等于4即可；
(2) 先求解不含参数的方程，得到它的解，再根据“解之和为4”算出含参数方程的解，将解代入含参数方程即可求出k的值。
【解析】
(1) 先解方程$4x-(x+5)=1$：
去括号得：$4x - x - 5 = 1$
合并同类项得：$3x = 6$
系数化为1得：$x=2$
再解方程$-2y - y = 3$：
合并同类项得：$-3y = 3$
系数化为1得：$y=-1$
两个解的和为$2 + (-1) = 1 ≠ 4$，因此两个方程不是互为“友谊方程”。
(2) 先解方程$x - 5 = 5x + 3$：
移项得：$x - 5x = 3 + 5$
合并同类项得：$-4x = 8$
系数化为1得：$x=-2$
因为两个方程互为“友谊方程”，所以方程$3x+\frac{k}{2}=8$的解为$4 - (-2) = 6$
将$x=6$代入$3x+\frac{k}{2}=8$得：
$3× 6 + \frac{k}{2} = 8$
计算得：$18 + \frac{k}{2} = 8$
移项得：$\frac{k}{2} = 8 - 18 = -10$
系数化为1得：$k = -20$
【答案】
(1) 不是；(2) $-20$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 新定义问题理解
【点评】
本题围绕新定义“友谊方程”展开，重点考查一元一次方程的求解能力，只要准确理解新定义的规则，按照解一元一次方程的步骤认真计算，即可顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
本题是新定义类题目，核心是理解“友谊方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为4。解题思路为：
(1) 分别求解两个一元一次方程，计算两个解的和，判断是否等于4即可；
(2) 先求解不含参数的方程，得到它的解，再根据“解之和为4”算出含参数方程的解，将解代入含参数方程即可求出k的值。
【解析】
(1) 先解方程$4x-(x+5)=1$：
去括号得：$4x - x - 5 = 1$
合并同类项得：$3x = 6$
系数化为1得：$x=2$
再解方程$-2y - y = 3$：
合并同类项得：$-3y = 3$
系数化为1得：$y=-1$
两个解的和为$2 + (-1) = 1 ≠ 4$，因此两个方程不是互为“友谊方程”。
(2) 先解方程$x - 5 = 5x + 3$：
移项得：$x - 5x = 3 + 5$
合并同类项得：$-4x = 8$
系数化为1得：$x=-2$
因为两个方程互为“友谊方程”，所以方程$3x+\frac{k}{2}=8$的解为$4 - (-2) = 6$
将$x=6$代入$3x+\frac{k}{2}=8$得：
$3× 6 + \frac{k}{2} = 8$
计算得：$18 + \frac{k}{2} = 8$
移项得：$\frac{k}{2} = 8 - 18 = -10$
系数化为1得：$k = -20$
【答案】
(1) 不是；(2) $-20$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 新定义问题理解
【点评】
本题围绕新定义“友谊方程”展开，重点考查一元一次方程的求解能力，只要准确理解新定义的规则，按照解一元一次方程的步骤认真计算，即可顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
12. 立德树人·安徽特色 [2026 芜湖期末] 芜湖铁画是国家级非物质文化遗产，以铁为墨，以锤为笔，技艺精湛.某铁画工作室接到一批订单，需要制作两种规格的铁画摆件:A款小摆件和B款大摆件.已知制作1件A款小摆件需要消耗铁材0.5 kg，制作1件B款大摆件需要消耗铁材1.5 kg.该工作室购进了60 kg铁材，计划恰好全部用完来制作两种摆件共60件.请问:需要制作A款小摆件和B款大摆件各多少件?
答案
12.解: 设需要制作 A 款小摆件$x$ 件,则需要制作 B 款大摆件$(60-x)$件,
由题意得$0.5x+1.5(60-x)=60$,解得$x=30$,
所以$60-x=30$.
答: 需要制作 A 款小摆件 30 件,B 款大摆件 30 件.
由题意得$0.5x+1.5(60-x)=60$,解得$x=30$,
所以$60-x=30$.
答: 需要制作 A 款小摆件 30 件,B 款大摆件 30 件.
解析
【分析】
拿到这道题首先审题提取关键信息：制作1件A款耗材0.5kg，1件B款耗材1.5kg，两种摆件总数量为60件，总耗材恰好为60kg。本题可通过一元一次方程求解，解题思路为：先设A款摆件的数量为未知数，利用“总件数60件”的关系表示出B款摆件的数量，再根据“两种摆件总耗材为60kg”的等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设需要制作A款小摆件$x$件，则B款大摆件的数量为$(60-x)$件。
根据总耗材的等量关系列方程：
$0.5x+1.5(60-x)=60$
展开括号得：$0.5x + 90 -1.5x = 60$
合并同类项得：$-x + 90 = 60$
移项、系数化为1得：$x=30$
则B款大摆件数量为：$60-x=60-30=30$（件）
答：需要制作A款小摆件30件，B款大摆件30件。
【答案】
需要制作A款小摆件30件，B款大摆件30件。
【知识点】
一元一次方程应用、实际问题建模、等量关系建立
【点评】
本题以国家级非物质文化遗产芜湖铁画为命题背景，既渗透了传统文化教育，又考查了用方程解决实际问题的能力，解题核心是准确提取题干中的等量关系，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先审题提取关键信息：制作1件A款耗材0.5kg，1件B款耗材1.5kg，两种摆件总数量为60件，总耗材恰好为60kg。本题可通过一元一次方程求解，解题思路为：先设A款摆件的数量为未知数，利用“总件数60件”的关系表示出B款摆件的数量，再根据“两种摆件总耗材为60kg”的等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设需要制作A款小摆件$x$件，则B款大摆件的数量为$(60-x)$件。
根据总耗材的等量关系列方程：
$0.5x+1.5(60-x)=60$
展开括号得：$0.5x + 90 -1.5x = 60$
合并同类项得：$-x + 90 = 60$
移项、系数化为1得：$x=30$
则B款大摆件数量为：$60-x=60-30=30$（件）
答：需要制作A款小摆件30件，B款大摆件30件。
【答案】
需要制作A款小摆件30件，B款大摆件30件。
【知识点】
一元一次方程应用、实际问题建模、等量关系建立
【点评】
本题以国家级非物质文化遗产芜湖铁画为命题背景，既渗透了传统文化教育，又考查了用方程解决实际问题的能力，解题核心是准确提取题干中的等量关系，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.8
