学习任务一 余角和补角的概念
1.余角:如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角.
2.补角:如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.

1.90°(直角)
2.180°(平角)

【分析】
本题是余角、补角概念的识记类基础题，解题时只需回忆教材中对应定义即可作答。首先回忆余角的定义明确两个互余角的和的数值，再回忆补角的定义明确两个互补角的和的数值，依次填入对应横线即可。
【解析】
1. 依据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互为余角，因此第一个空填90°(直角)。
2. 依据补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就称这两个角互为补角，因此第二个空填180°(平角)。
【答案】
1.90°(直角)
2.180°(平角)
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定义的记忆考察，只要熟练掌握课本相关概念就能快速做对。
【难度系数】
0.9

学习任务二 余角和补角的性质
1.余角的性质:同角(等角)的余角.
2.补角的性质:同角(等角)的补角.

1.相等
2.相等

【分析】
本题考查余角和补角的基本性质，解题思路如下：1. 先回忆余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。推导同角的余角关系：同一个角的余角都等于90°减去这个角，因此大小相等；再推导等角的余角关系：两个相等的角的余角，分别等于90°减去这两个相等的角，结果也相等，因此等角的余角相等。2. 再回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，参照余角性质的推导逻辑，可得出同角（等角）的补角也相等。
【解析】
1. 余角性质推导：
设∠A的两个余角分别为∠1和∠2，根据余角定义可得：∠A+∠1=90°，∠A+∠2=90°，因此∠1=90°-∠A，∠2=90°-∠A，所以∠1=∠2，即同角的余角相等；
若∠A=∠B，∠A的余角为∠1=90°-∠A，∠B的余角为∠2=90°-∠B，因为∠A=∠B，所以∠1=∠2，即等角的余角相等。
因此同角（等角）的余角相等。
2. 补角性质推导：
设∠A的两个补角分别为∠3和∠4，根据补角定义可得：∠A+∠3=180°，∠A+∠4=180°，因此∠3=180°-∠A，∠4=180°-∠A，所以∠3=∠4，即同角的补角相等；
若∠A=∠B，∠A的补角为∠3=180°-∠A，∠B的补角为∠4=180°-∠B，因为∠A=∠B，所以∠3=∠4，即等角的补角相等。
因此同角（等角）的补角相等。
【答案】
1.相等
2.相等
【知识点】
余角的性质；补角的性质
【点评】
本题是对余角、补角核心性质的直接考查，属于基础概念类题目，只要准确识记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

【例1】一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的补角和这个角的余角的度数.
解:
【规律方法】
余角、补角的相关计算往往利用方程思想，即设一个角的度数为$a°$，则它的余角和补角的度数分别为$90° - a°$，$180° - a°$，再根据题目所给的条件列方程求解.

解:设这个角的度数为$x°$,则其补角为$(180-x)°$,余角为$(90-x)°$.根据题意,得$180-x=4(90-x)$,解得$x=60$,
所以这个角的补角的度数为$180°-60°=120°$,这个角的余角的度数为$90°-60°=30°$.

【分析】
要解决这道题，首先要明确余角和补角的定义：两个角的和为90°则这两个角互余，两个角的和为180°则这两个角互补。本题给出了同一个角的补角和余角的倍数关系，我们可以用方程思想求解：第一步设这个角的度数为未知数，第二步根据余角、补角的定义分别用含未知数的式子表示出它的余角和补角，第三步根据“补角是余角的4倍”的等量关系列方程，第四步解方程求出这个角的度数，最后再分别计算它的补角和余角的度数即可。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，根据余角和补角的定义，其补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$180-x=4(90-x)$
展开右侧得：$180-x=360-4x$
移项得：$4x-x=360-180$
合并同类项得：$3x=180$
系数化为1得：$x=60$
因此这个角的补角度数为$180°-60°=120°$，余角度数为$90°-60°=30°$。
【答案】
这个角的补角为$120°$，余角为$30°$
【知识点】
1. 余角的定义
2. 补角的定义
3. 方程思想解角度问题
【点评】
本题是余角、补角相关的基础计算题，解题核心是准确掌握余角和补角的概念，能够根据题干给出的等量关系建立方程求解，熟练掌握方程思想在几何计算中的应用可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

变式训练
1.如果$∠α$的补角是$∠α$的余角的3倍，求$∠α$的度数。

解:$∠α=45°$.

【分析】
解题时首先回忆余角和补角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角；如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角。据此可以分别表示出∠α的余角和补角，再根据题目给出的“补角是余角的3倍”这一等量关系，列出一元一次方程，求解即可得到∠α的度数。
【解析】
解：根据余角和补角的定义可知：
∠α的余角为$90° - ∠α$，
∠α的补角为$180° - ∠α$。
根据题意列方程得：
$180° - ∠α = 3(90° - ∠α)$
去括号得：$180° - ∠α = 270° - 3∠α$
移项、合并同类项得：$2∠α = 90°$
系数化为1得：$∠α = 45°$
【答案】
$∠α=45°$
【知识点】
余角和补角的概念；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础角度计算类题目，核心是通过余角、补角的定义找到角度间的等量关系，结合方程思想求解，熟练掌握基础概念是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.85

【例2】如图，A，O，B三点在一条直线上，$∠ AOC = ∠ DOE = 90°$.
(1)图中互余的角有哪些？
(2)相等的角有哪些(小于$90°$的角)？
解：
【规律方法】
正确理解互余、互补
(1)共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位置无关，单独的一个角既不能说互余也不能说互补.
(2)不同点：互余的两角之和等于$90°$，其中任何一角都小于$90°$；互补的两角之和等于$180°$，这两个角不可能都小于$90°$.

解:(1)因为$∠AOC=∠DOE=90°$,所以$∠1+∠2=90°$,$∠3+∠2=90°$,$∠1+∠4=180°-∠DOE=90°$.
又因为$∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°$,所以$∠3+∠4=90°$,
所以$∠1$与$∠2$互余,$∠3$与$∠2$互余,$∠1$与$∠4$互余,$∠3$与$∠4$互余.
(2)由余角的性质可得:$∠1=∠3$,$∠2=∠4$.

【分析】
解决本题首先要明确核心概念：两个角的和为90°则两角互余，同角的余角相等。解题时先从已知条件出发，先找出图中所有90°的角：已知∠AOC、∠DOE为直角，再结合A、O、B共线推出∠COB也是直角，拆分每个直角的组成角就能得到所有互余的角；第二问在互余角的基础上，找同一个角的余角，利用余角的性质就能得到小于90°的相等角。
【解析】
(1) 已知$∠ AOC=∠ DOE=90°$，
所以$∠1+∠2=∠ AOC=90°$，$∠3+∠2=∠ DOE=90°$；
因为A，O，B三点在同一直线上，所以$∠ AOB=180°$，
则$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=180°-90°=90°$，
所以$∠3+∠4=∠ COB=90°$，
同时$∠1+∠4=∠ AOB-∠ DOE=180°-90°=90°$。
根据互余的定义，可得互余的角为$∠1$与$∠2$，$∠3$与$∠2$，$∠1$与$∠4$，$∠3$与$∠4$。
(2) 因为$∠1$和$∠3$都是$∠2$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠1=∠3$；
因为$∠2$和$∠4$都是$∠1$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠2=∠4$，且四个角均小于$90°$，即为所求。
【答案】
(1) 互余的角有：$∠1$与$∠2$，$∠3$与$∠2$，$∠1$与$∠4$，$∠3$与$∠4$；
(2) 小于$90°$的相等角有：$∠1=∠3$，$∠2=∠4$。
【知识点】
余角的定义，同角的余角相等，平角的定义
【点评】
本题是余角相关的基础题，解题关键是先确定图中所有直角，再结合互余定义和余角性质推导，找互余角时要注意全面排查，避免遗漏。
【难度系数】
0.8